Gleichmäßige Konvergenz -allg. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:17 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Casy |
| Aufgabe | | Keine konkrete Aufgabe - allgemeine Erklärung von Grund auf, wie man gleichmäßige Konvergenz zeigt |
Hallo!
Ich habe leider überhaupt nicht verstanden, wie man gleichmäßige Konvergenz nachweist/widerlegt, obwohl ich die Definition weiß und mir auch bildlich vorstellen kann, wie sich eine Funktionenschar an eine Funktion annähert.
Ich habech auch keine konkrete Aufgabe.
Ich bitte Euch, mir einmal von der Pike auf in ganz kleinen, einfachen Schritten (evtl. an einem Beispiel) zu erklären, wie ich glm. Konvergenz zeigen kann, da ich leider überhaupt keine Ahnung habe, wie ich so etwas angehen soll!
Vielen Dank schonmal und Gruß!
Ich habe diese Frage in kein anderes Internet-Forum gestellt.
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> Keine konkrete Aufgabe - allgemeine Erklärung von Grund
> auf, wie man gleichmäßige Konvergenz zeigt
Hallo,
ich nehme an, daß es um Funktionenfolgen geht.
Kannst Du denn die punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen zeigen?
Wenn ja: mach das doch mal vor an einem Beispiel.
Wie unterscheiden sich punktweise und gleichmäßige Konvergenz? (Definitionen?)
> Ich habech auch keine konkrete Aufgabe.
Such Dir mal eine Aufgabe (in einem Buch zum Beispiel.)
Schildere, was Du tun müßest, wenn Du der Def. folgst.
Wenn hier irgendwas Konkretes stünde, könnte man nämlich viel besser helfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Di 26.02.2008 | | Autor: | Casy |
Hallo, also ich hoffe, ich habe den Unterschied zwischen glm und pktw Konvergenz verstanden:
Sei [mm] f_{n} [/mm] Funktionenfolge, [mm] f_{n}, [/mm] f: [mm] M\toN
[/mm]
pktw Konv.: Für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 und für alle [mm] x\inM [/mm] gibt es ein [mm] n_{0}\in\IN [/mm] für alle [mm] n\gen_{0}, [/mm] so dass gilt: [mm] If_{n}(x)-f(x)I \le \varepsilon
[/mm]
das heißt: FÜR JEDES beliebig gewählte x aus M findet man ein [mm] n_{0}, [/mm] das die Bedingung erfüllt.
glm Konv.: Für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] n_{0}\in\IN [/mm] für alle [mm] x\inM [/mm] für alle [mm] n\gen_{0}, [/mm] so dass gilt: [mm] If_{n}(x)-f(x)I \le \varepsilon
[/mm]
das heißt: das [mm] n_{0} [/mm] hängt NICHT vom x ab.
Ich glaub, ich kann pktw. Konv. zeigen und hab eine Beispielfolge zu untersuchen aus einem Buch:
[mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] nxe^{-nx} [/mm] (kein Intervall für x gegeben)
pktw Konv: ich setze alle möglichen Fälle für x ein und schau, was passiert:
x=0: [mm] f_{n}(x)=0 [/mm] für alle n
x<0: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}nxe^{-nx} [/mm] = [mm] -\infty, [/mm] da [mm] e\to+\infty [/mm] und durch die Multiplikation mit negativem x das Ganze gegen [mm] -\infty [/mm] strebt.
x>0: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}nxe^{-nx} [/mm] = 0
Jetzt habe ich für alle möglichen x gezeigt, dass [mm] f_{n} [/mm] konvergiert, also pktw konv ist.
ZWISHCENFRAGE: richtig verstanden bis hier? und wie komme ich auf eine GRENZFUNKTION?
So, wenn ich jetzt mal die glm Konv versuche: Ich muss ein [mm] n_{0} [/mm] finden, ab dem [mm] If_{n}-fI \le \varepsilon, [/mm] d.h. ab dem [mm] f_{n} [/mm] konvergiert....
mist, wie mach ich das?? In diesem Fall darf ich ja gerade NICHT versch. x einsetzen, da's ja unabhängig von x ist!
ich kann mirs anhand der Definition leider nicht erklären, wie's weitergeht.
Es wäre echt toll, wenn du mir weiterhelfen würdest!
Gruß!
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> Hallo, also ich hoffe, ich habe den Unterschied zwischen
> glm und pktw Konvergenz verstanden:
Hallo,
ja, ich bin mir sehr sicher, daß Du das verstanden hast.
Im Falle der glm. Konvergenz hängt das zu findende [mm] n_0 [/mm] nicht von der Stelle x ab, die man gerade betrachtet.
Bei glm. Konvergenz nähern sich die Funktionen [mm] f_n [/mm] an allen Stellen "gleichschnell" einer Grenzfunktion f.
> Ich glaub, ich kann pktw. Konv. zeigen und hab eine
> Beispielfolge zu untersuchen aus einem Buch:
>
> [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]nxe^{-nx}[/mm] (kein Intervall für x gegeben)
>
> pktw Konv: ich setze alle möglichen Fälle für x ein und
> schau, was passiert:
>
> x=0: [mm]f_{n}(x)=0[/mm] für alle n
> x<0: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}nxe^{-nx}[/mm] = [mm]-\infty,[/mm] da
> [mm]e\to+\infty[/mm] und durch die Multiplikation mit negativem x
> das Ganze gegen [mm]-\infty[/mm] strebt.
> x>0: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}nxe^{-nx}[/mm] = 0
Bis hierher hast Du alles richtig gemacht.
Da für x<0 [mm] f_n(x) [/mm] gegen [mm] -\infty [/mm] strebt haben wir hier keine (bestimmte) Konvergenz.
Die Grenzfunktion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] müßte ja so definiert sein:
[mm] f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\ge 0 \mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{für } x<0 \mbox{} \end{cases},
[/mm]
und das geht nicht. Also haben wir hier keine punktweise Konvergenz gegen eine reelle Funktion vorliegen.
Aber machen wir doch jetzt mal folgendes:
Wir betrachten die von Dir gegebene Funktionenfolge eingeschränkt auf die nichtnegativen Zahlen.
Die Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] konvergiert nun punktweise gegen die Nullfunktion.
Nun bietet es sich an, zu überlegen, ob diese Konvergenz gleichmäßig ist.
Finden wir zu vorgegebenem [mm] \varepsilon>0 [/mm] also ein [mm] n_0 [/mm] so, daß an allen Stellen x für [mm] n>n_0
[/mm]
[mm] |f_n(x) [/mm] - [mm] 0|=|f_n(x)|=f_n(x)=nxe^{-nx}\le\varepsilon [/mm] gilt?
Hier gibt es eine böse Falle. Plotte Dir die Funktion doch mal für verschiedene n, habe ich eben auch gemacht, da springt einem das förmlich ins Auge:
die Stelle [mm] x=\bruch{1}{n} [/mm] .
Es ist nämlich [mm] f_n(\bruch{1}{n})=\bruch{1}{e}.
[/mm]
Angenommen die Funktion wäre glm konvergent.
Zu [mm] \varepsilon =\bruch{1}{4} [/mm] fände man dann ein [mm] n_0 [/mm] so, daß an allen Stellen x für [mm] n>n_0
[/mm]
[mm] |f_n(x) [/mm] - [mm] 0|=|f_n(x)|=f_n(x)=nxe^{-nx}\le\bruch{1}{4} [/mm] gilt.
Also müßte dies auch an der Stelle [mm] x=\bruch{1}{n_0} [/mm] gelten.
[mm] ==>n_0\bruch{1}{n_0}e^{-n_0\bruch{1}{n_0}}=\bruch{1}{2}\le\bruch{1}{4}. [/mm] Widerspruch.
Die Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] konvergiert nicht glm gegen die Nullfunktion.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Casy |
Hallo!
Vielen Dank erstmal, die Erklärung ist super!
Hab aber immer noch ne Fragezu dem, was du geschrieben hast:
> Da für x<0 [mm]f_n(x)[/mm] gegen [mm]-\nfty[/mm] strebt haben wir hier keine
> (bestimmte) Konvergenz.
=> klar bis hierhin.
....
> Aber machen wir doch jetzt mal folgendes:
> Wir betrachten die von Dir gegebene Funktionenfolge
> eingeschränkt auf die nichtnegativen Zahlen.
>
DARF man das denn? Eigentlich war ja die Konvergenz der gesamten Fkt.folge gefragt, nicht nur die für nichtnegative x ??!!
> Angenommen die Funktion wäre glm konvergent.
>
> Zu [mm]\varepsilon =\bruch{1}{4}[/mm] fände man dann ein [mm]n_0[/mm] so, daß
> an allen Stellen x für [mm]n>n_0[/mm]
>
> [mm]|f_n(x)[/mm] - [mm]0|=|f_n(x)|=f_n(x)=nxe^{-nx}\le\bruch{1}{4}[/mm]
> gilt.
[mm] \varepsilon=1/4 [/mm] hast du "geraten", oder? Und reicht es zu zeigen, DASS [mm]|f_n(x)[/mm] - [mm]0|=|f_n(x)|=f_n(x)=nxe^{-nx}\le\bruch{1}{4}[/mm] gilt, oder muss man ein bestimmtes [mm] n_{0} [/mm] angeben?
Den Widerspruch verstehe ich.
Aber: Was stelle ich fest, falls die Funktionenfolge glm. konv. ist? Dann finde ich ja logischerweise keinen Widerspruch; andererseits kann ich ja nicht alle möglichen [mm] \varepsilon [/mm] testen....es gibt ja kein kleinstes [mm] \varepsilon.
[/mm]
Ich hab da noch eine Beispielfkt.folge gefunden, die (laut Lösung) glm. konvergiert:
[mm] f_{n}(t)=sin(t/n); -1\let\le1
[/mm]
Wenn ich hier die Grenzfkt. will, setze ich "alle" t ein, also sprich -1 und 1 (dazwischen liegen ja alle t) und lasse dann n gegen [mm] \infty [/mm] laufen, gibt dann =sin0 =0; also ich die Grenzfunktion die Nullfunktion.
Richtige Vorgehensweise?
Leider weiß ich jetzt nicht, wie ich zeigen soll, dass
Isin(t/n) - 0I [mm] \le \varepsilon; [/mm] also, dass die glm-Konv-Bedingung erfüllt ist....
Könntest du mir das nochmal zeigen?
Sorry, dass ich so blöd nachfrage, aber ich würde das schon gern so richtig verstehen....
Grüße!
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> > Aber machen wir doch jetzt mal folgendes:
> > Wir betrachten die von Dir gegebene Funktionenfolge
> > eingeschränkt auf die nichtnegativen Zahlen.
> >
> DARF man das denn? Eigentlich war ja die Konvergenz der
> gesamten Fkt.folge gefragt, nicht nur die für nichtnegative
> x ??!!
Hallo,
wenn die Aufgabe lautet, ob die Funktionenfolge [mm] (f_n) [/mm] mit [mm] f_n:\IR \to \IR [/mm] punktweise konvergent ist, darf man den Definitionsbereich nicht einfach einschränken.
Man wäre mit dem Satz "Es gibt keine Grenzfunktion f, gegen die [mm] f_n [/mm] konvergiert" fertig gewesen.
Die Einschränkung des Defbereiches habe ich dann vorgenommen, um Dir noch ein bißchen mehr an der Funktion zeigen zu können - sie war ja recht brauchbar.
> > Angenommen die Funktion wäre glm konvergent.
> >
> > Zu [mm]\varepsilon =\bruch{1}{4}[/mm] fände man dann ein [mm]n_0[/mm] so, daß
> > an allen Stellen x für [mm]n>n_0[/mm]
> >
> > [mm]|f_n(x)[/mm] - [mm]0|=|f_n(x)|=f_n(x)=nxe^{-nx}\le\bruch{1}{4}[/mm]
> > gilt.
>
> [mm]\varepsilon=1/4[/mm] hast du "geraten", oder?
Naja, so richtig geraten ist mein [mm] \varepsilon=1/4 [/mm] nicht. Ich würde es eher als "gefunden" bezeichnen.
Wenn wir glm Konvergenz nachweisen, müssen wir ja beweisen, daß die Bedingung für jedes [mm] \varepsilon [/mm] gilt. Wenn ich ein einziges [mm] \varepsilon [/mm] vorzeigen kann, für welches die Bedingung nicht gilt, habe ich die glm Konvergenz widerlegt.
Und das habe ich getan. Mit [mm] \varepsilon=1/2 [/mm] wäre mir das Widerlegen der Behauptung nicht geglückt.
Mit [mm] \varepsilon=1/15, \varepsilon=3/4711 [/mm] und vielen anderen wäre es aber ebensogut gegangen.
> Und reicht es zu
> zeigen, DASS [mm]|f_n(x)[/mm] -
> [mm]0|=|f_n(x)|=f_n(x)=nxe^{-nx}\le\bruch{1}{4}[/mm] gilt, oder muss
> man ein bestimmtes [mm]n_{0}[/mm] angeben?
Ich habe die Aussage ja widerlegt, indem ich gezeigt habe, daß die Annahme, daß ein passendes [mm] n_0 [/mm] existiert, zum Widerspruch führt.
Damit habe ich gezeigt: für [mm] \varepsilon=1/4 [/mm] findet man kein einziges [mm] n_0, [/mm] welches es tut.
Es ist hier zum Widerlegen der Aussage also sehr wichtig, kein konkretes [mm] n_0 [/mm] zu nehmen.
Denn wenn ich anfange zu zeigen, daß es für [mm] n_0 [/mm] =1234 nicht klappt, muß ich es gleich danach noch für 1235, 1236, 1237 usw. zeigen, und ich wäre bis an mein Lebensende mit diesem Beweis beschäftig. Etwas öde.
Das, was ich eben geschrieben habe, beschäftigte sich mit dem Widerlegen.
Beim Beweisen hingegen starte ich mit "sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0".
Dann nehme ich ein ganz konketes [mm] n_0 [/mm] und zeige die Gültigkeit der Behauptung.
Was meine ich hier mit "ganz konkret".
Manchmal kann "ganz konkret" vielleicht so aussehen, daß ich sage: für [mm] n_0:=1234 [/mm] gilt das.
Meist wird die Angabe allerdings vom [mm] \varepsilon [/mm] abhängen. Da zeige ich dann z.B. daß die Bedingung für [mm] n_0> \bruch{2\pi^2\wurzel{3}}{\varepsilon^5} [/mm] erfüllt ist.
Für den Beweis, daß die Bedingung gilt, muß man also ein real existierendes [mm] n_0 [/mm] angeben.
(Im Prinzip ist das ja nichts Neues: hat man ja beim Beweisen der Konvergenz von Zahlenfolgen auch getan.)
> Aber: Was stelle ich fest, falls die Funktionenfolge glm.
> konv. ist? Dann finde ich ja logischerweise keinen
> Widerspruch; andererseits kann ich ja nicht alle möglichen
> [mm]\varepsilon[/mm] testen....es gibt ja kein kleinstes
> [mm]\varepsilon.[/mm]
S.o.: Du zeigst dann, daß Du zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein passendes [mm] n_0 [/mm] findest.
Wie Du das [mm] n_0 [/mm] findest, interessiert niemanden. Du schreibst "sei [mm] \varepsilon>0", [/mm] Du stellst das [mm] n_0 [/mm] in dem Raum und zeigst, daß die Bedingung erfüllt ist.
>
> Ich hab da noch eine Beispielfkt.folge gefunden, die (laut
> Lösung) glm. konvergiert:
>
> [mm]f_{n}(t)=sin(t/n); -1\le t \le1[/mm]
>
> Wenn ich hier die Grenzfkt. will, setze ich "alle" t ein,
> also sprich -1 und 1 (dazwischen liegen ja alle t) und
> lasse dann n gegen [mm]\infty[/mm] laufen, gibt dann =sin0 =0; also
> ich die Grenzfunktion die Nullfunktion.
> Richtige Vorgehensweise?
Ja. Für die punktweise Konvergenz betrachtet man ein festes t aus dem Def.bereich.
Es ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(t)=0 [/mm] für sämtliche t, also konvergiert die Funktion punktweise gegen die Nullfunktion, welche ich jetzt mal f nenne.
Nun ist festzustellen, ob [mm] f_n [/mm] glm gegen f konvergiert.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 . Für [mm] n_0 [/mm] mit [mm] n_0> \bruch{1}{arcsin\varepsilon} [/mm] gilt folgendes:
Für alle [mm] t\in [/mm] [-1,1] und für alle [mm] n>n_0:
[/mm]
[mm] |f_n(t)- f(t)|=|/sin\bruch{t}{n}- [/mm] 0|= [mm] /sin\bruch{|t|}{n}
[/mm]
[mm] \le /sin\bruch{1}{n} [/mm] (Monotonie d. sin im Bereich [mm] [0,\pi/2]
[/mm]
< [mm] /sin\bruch{1}{n_0} [/mm] (denn [mm] n>n_0)
[/mm]
[mm] =/sin(arcsin\varepsilon)=\varepsilon.
[/mm]
Also glm konvergent.
Das von mir gewählte [mm] n_0 [/mm] hängt nicht von t ab, und es tut seinen Dienst im kompletten Definitionsbereich von [mm] f_n.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Do 28.02.2008 | | Autor: | Casy |
OK, danke. das war sehr ausführlich und ich denke, ich habs verstanden. Keine weitere Frage (vorerst....).
Ich übe einfach ein paar glm-Konv-Beweise und hoffe, dass ich's alleine hinbekomme!
Vielen Dank und Gruß!
(achso, ich bin bis Montag verreist; also es ist kein Desinteresse, wenn ich mich die nächsten Tage nicht melde!)
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