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| Aufgabe | Untersuchen sie für [mm] x\in \IR [/mm] die Reihe:
(a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^n [/mm] auf Punktweise und Gleichmäßige konvergenz.
(b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{sin(nx)}{2^{n}} [/mm] |
Also wir haben bislang noch nichts anderes gemacht als das Majorantenkriterium von Weierstraß.
Deswegen wollte ich dieses hier auch benutzen, allerdings müsste ich dafür den Term erstmal irgendwie abschätzen oder die Supremumsnorm bestimmen.
(a) Der term wähst jedoch exponentiell, weswegen es kein Supremum geben dürfte.
Die folge [mm] f_n(x):=x^n [/mm] ist doch garnicht Punktweise konvergent oder ?
Den der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x^n [/mm] exestiert doch garnicht.
Und Punktweise konvergent müsste gelten, wenn die reihe gleichmäßig Konvergent ist.
Also einen ansatz zu haben wäre nicht schlecht.
(b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{sin(nx)}{2^{n}} \le (\bruch{1}{2})^n
[/mm]
Und [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{2})^n [/mm] ist konvergent, somit ist die Reihe gleichmäßig konvergent und erst recht Punktweise konvergent.
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Hiho,
> (a) Der term wähst jedoch exponentiell, weswegen es kein
> Supremum geben dürfte.
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> Die folge [mm]f_n(x):=x^n[/mm] ist doch garnicht Punktweise
> konvergent oder ?
>
> Den der [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x^n[/mm] exestiert doch
> garnicht.
Nicht? Also für $x=0$ existiert er offensichtlich doch, also scheint deine Aussage so doch nicht zu stimmen.
Also mach dir mal Gedanken, für welche x dieser Ausdruck konvergieren könnte....
> (b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{sin(nx)}{2^{n}} \le (\bruch{1}{2})^n[/mm]
>
> Und [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{2})^n[/mm] ist konvergent,
> somit ist die Reihe gleichmäßig konvergent und erst recht
> Punktweise konvergent.
Aha. Nach deiner Argumentation könnte ich auch so vorgehen:
Offensichtlich ist $-1 [mm] \le [/mm] 0$ und [mm] $\summe_{n=0}^\infty [/mm] 0$ konvergiert, damit dann auch [mm] $\summe_{n=0}^\infty [/mm] (-1)$?
Finde den Fehler und du hast deinen bei Aufgabe b) gefunden.
Dein Ansatz ist aber schonmal nicht schlecht. Zumindest für die b)
Und: Sauber aufschreiben. Du willst die Summanden abschätzen, nicht die ganze Summe. Ausdrücke wie:
> (b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{sin(nx)}{2^{n}} \le (\bruch{1}{2})^n[/mm]
sind Blödsinn und zeugen von schlampigem Aufschreiben.
MFG,
Gono.
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> Hiho,
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> > (a) Der term wähst jedoch exponentiell, weswegen es kein
> > Supremum geben dürfte.
> >
> > Die folge [mm]f_n(x):=x^n[/mm] ist doch garnicht Punktweise
> > konvergent oder ?
> >
> > Den der [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x^n[/mm] exestiert doch
> > garnicht.
>
> Nicht? Also für [mm]x=0[/mm] existiert er offensichtlich doch, also
> scheint deine Aussage so doch nicht zu stimmen.
> Also mach dir mal Gedanken, für welche x dieser Ausdruck
> konvergieren könnte....
Stimmt [mm] f_n(x):=x^n [/mm] konvergiert für [mm] x\in[0,1) [/mm] Punktweise gegen 0,
und für x=1
konvergiert [mm] f_n(1)=1^n [/mm] -> 1
Für x=0 ist die Reihe ebenfalls konvergent, denn sie besteht ja nur aus nullen.
Für [mm] x\in(0,1) [/mm] gilt dann:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x^n}
[/mm]
Das wäre dann aber nur die Punktweise konvergenz.
Also sind nur solche x zugelassen.
So nach fred soll ich jetz zeigen das für 0<a<1, so konvergiert die Reihe auf [-a,a] gleichmäßig konvergiert.
Mir fällt da allerdings wie gesagt nichts anderes ein als der Weierstraß M-test, da wir auch nichts anderes für Gleichmäßige konvergenz hatte.
Also müsste ich [mm] f_n:=x^n [/mm] wieder durch eine Folge cn mit [mm] x^n\lecn [/mm] abschätzen.
Wenn ich nun annehme das a die größte Zahl <1 ist würde mir halt nur einfallen zu sagen
[mm] x^n\le a^n [/mm] und wegen a<1 gilt das:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^n \le \summe_{n=0}^{\infty} a^n
[/mm]
Wie gesagt, wir haben nichts anderes als den M-Test gemacht deswegen denke ich auchmal das ich nichts anderes benutzen kann.
Zu 2) Sie meinte das Intervall [-1,1] oder ?
bzw. nochmal die Gleichmäßige konvergenz für -1, bzw. 1 prüfen.
Ansonsten wäre das doch genau das selbe wie 1) oder nicht ?
Also für 1 Divergiert die Reihe eigentlich sowieso, da [mm] 1^n [/mm] gegen 1 Konvergiert, eine reihe aber nur dan konvergieren kann wenn die Folge eine 0 Folge ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Di 08.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hiho,
> >
> >
> > > (a) Der term wähst jedoch exponentiell, weswegen es kein
> > > Supremum geben dürfte.
> > >
> > > Die folge [mm]f_n(x):=x^n[/mm] ist doch garnicht Punktweise
> > > konvergent oder ?
> > >
> > > Den der [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x^n[/mm] exestiert doch
> > > garnicht.
> >
> > Nicht? Also für [mm]x=0[/mm] existiert er offensichtlich doch, also
> > scheint deine Aussage so doch nicht zu stimmen.
> > Also mach dir mal Gedanken, für welche x dieser
> Ausdruck
> > konvergieren könnte....
>
> Stimmt [mm]f_n(x):=x^n[/mm] konvergiert für [mm]x\in[0,1)[/mm] Punktweise
> gegen 0,
>
> und für x=1
> konvergiert [mm]f_n(1)=1^n[/mm] -> 1
>
> Für x=0 ist die Reihe ebenfalls konvergent, denn sie
> besteht ja nur aus nullen.
>
> Für [mm]x\in(0,1)[/mm] gilt dann:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-x^n}[/mm]
>
> Das wäre dann aber nur die Punktweise konvergenz.
>
> Also sind nur solche x zugelassen.
> So nach fred soll ich jetz zeigen das für 0<a<1, so
> konvergiert die Reihe auf [-a,a] gleichmäßig
> konvergiert.
>
> Mir fällt da allerdings wie gesagt nichts anderes ein als
> der Weierstraß M-test, da wir auch nichts anderes für
> Gleichmäßige konvergenz hatte.
>
> Also müsste ich [mm]f_n:=x^n[/mm] wieder durch eine Folge cn mit
> [mm]x^n\lecn[/mm] abschätzen.
>
> Wenn ich nun annehme das a die größte Zahl <1 ist würde
die da lauten sollte? Wenn Du mir eine nennst, nenn' ich Dir immer eine größere:
Für jedes $a < 1$ ist nämlich [mm] $b:=a+(1-a)/2\,$ [/mm] größer als [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $<\,1\,.$
[/mm]
> mir halt nur einfallen zu sagen
>
> [mm]x^n\le a^n[/mm] und wegen a<1 gilt das:
>
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n \le \summe_{n=0}^{\infty} a^n[/mm]
>
> Wie gesagt, wir haben nichts anderes als den M-Test gemacht
> deswegen denke ich auchmal das ich nichts anderes benutzen
> kann.
Um zu zeigen, dass [mm] $f(x)=\sum_n x^n$ [/mm] gleichmäßig konvergiert auf [mm] $[-a,a]\,$ [/mm] für jedes $0 < a < 1:$
Diese Potenzreihe (hattet ihr den Begriff schon?) hat den Konvergenzradius [mm] $1\,.$ [/mm] (Das sei mal nur am Rande erwähnt.)
Wenn ihr nur den M-Test hattet: Benutze dafür einfach obiges [mm] $b:=a+(1-a)/2\;\;\;(=(a+1)/2)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:14 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Hellsing89 |
Ah okay danke. Ne den Begriff Konvergenzradius hatten wir noch nicht. Halt wirklich nur den M-Test.
Ich hatte mich auch jetzmal an einer änlichen Reihe versucht:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} x^{i}(1-x).
[/mm]
Dort habe ich festgestelt:
Punktweise Konvergiert die Reihe gegen 0, für x=1 und x=0.
Und für [mm] x\in(1,+\infty) \cup (-\infty,-1) [/mm] konvergiert die Reihe gegen x.
Gleichmäßige konvergenz:
Hier dachte ich mir, dass ich mit der Stetigkeit Argumentieren kann:
Denn hier gilt nun wirklich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} [/mm] x = 1 [mm] \not= [/mm] f(1)=0 oder ?
Also ist diese Reihe nicht Gleichmäig Konvergent.
gruß. Hellsing.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:26 Do 10.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ah okay danke. Ne den Begriff Konvergenzradius hatten wir
> noch nicht. Halt wirklich nur den M-Test.
>
>
> Ich hatte mich auch jetzmal an einer änlichen Reihe
> versucht:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} x^{i}(1-x).[/mm]
da gibt es nichts neues wegen
[mm] $$\summe_{i=1}^{\infty} x^{i}(1-x)=(1-x)\cdot \summe_{i=1}^{\infty} x^{i}\,.$$
[/mm]
Meinst Du vielleicht
[mm] $$\summe_{i=1}^{\infty} x^{i}(1-x^\red{i})\text{ ?}$$
[/mm]
> Punktweise Konvergiert die Reihe gegen 0, für x=1 und x=0.
Das ist schlecht formuliert: Du meinst sicher, dass die Reihe an den Stellen [mm] $x=0\,$ [/mm] oder [mm] $x=1\,$ [/mm] den Wert [mm] $0\,$ [/mm] hat (meinetwegen kannst Du auch sagen, dass sie dagegegen konvergiert) - nur, wenn Du sagst "pktw. konvergiert [mm] $irgendwas(x)\,$ [/mm] gegen [mm] $irgendwasanderes\ldots$", [/mm] dann meint das meist, dass das für alle [mm] $x\,$ [/mm] (aus einem betrachteten Bereich) gilt. Nun gut: Du kannst nun auch sagen, dass bei Dir halt der Bereich [mm] $\{0,1\}$ [/mm] lautet - aber Deine Ausdrucksweise suggeriert was anderes, als Du meinst. Denn normalerweise meint man mit "Bereichen" hier 'mindestens' irgendwelche Intervallstücke!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 10.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu a)
Die geometrische Reihe ist für jedes x mit |x| [mm] \ge [/mm] 1 divergent. Das dürfte bekannt sein.
Sie konv. sie für |x|<1. Auch das sollte bekannt sein.
Damit ist die punktweise Konvergenz geklärt.
Zeige nun:
1. ist 0<a<1, so konvergiert die Reihe auf [-a,a] gleichmäßig.
2. Auf (1-,1) konv. die Reihe nicht gleichmäßig.
FRED
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> Zu a)
>
> Die geometrische Reihe ist für jedes x mit |x| [mm]\ge[/mm] 1
> divergent. Das dürfte bekannt sein.
>
> Sie konv. sie für |x|<1. Auch das sollte bekannt sein.
>
> Damit ist die punktweise Konvergenz geklärt.
Jup Punktweise konvergiert die Reihe für alle [mm] x\in(-1,1)
[/mm]
> Zeige nun:
>
> 1. ist 0<a<1, so konvergiert die Reihe auf [-a,a]
> gleichmäßig.
Wie ich bereits oben schrieb, ist mir hier ungewiss wie ich vorgehen soll, um hier die gleichmäßige Konvergenz zu zeigen.
Abgesehen davon, gilt für dieses Intervall nicht das selbe wie fürs Zweite.
Den von -a bis a, habe ich alle Werte außer die -1 und 1. Oder verstehe ich hier etwas falsch ?
Mein erster denkfehler war, dass ich dachte die Konvergenz soll für alle x gelten, für alle x konvergiert sie aber nicht.
Wenn man sie einschränkt schon. Aber gleichmäßige Konvergenz gilt nur für [mm] x\in(-1,0)\cup(0,1).
[/mm]
Das mit dem M-test zu teigen wirkt ein wenig, naja komisch. Da die Reihe ja schon die Geometrische Reihe ist. Ein Supremum kann man auch nicht bestimmen, um eine Majorante zu bekommen.
> 2. Auf (1-,1) konv. die Reihe nicht gleichmäßig.
Also auf (-1,1) kann die Reihe nicht gleichmäßig konvergieren, denn es gilt
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{gleich 0} \\ \bruch{1}{1-x}, & \mbox{für } x \mbox{ungleich 0} \end{cases}
[/mm]
Somit ist die Funktion nicht Stetig, dass ist aber ein notwendiges Kriterium für die Gleichmäßige Konvergenz.
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> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{gleich 0 } \\ \bruch{1}{1-x}, & \mbox{für } x \mbox{ungleich 0} \end{cases}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
f(0) = [mm] 0^0+0^1+0^2+0^3+...=1+0+0+0+0+...=1.
[/mm]
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