Gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(x+n)*(x+n+1)} [/mm] auf [mm] \IR_+ [/mm] gleichmäßig gegen f(x) = 1/x konvergiert. |
Also die gleichmäßige Konvergenz würde ich mit dem Weierstraß-Kritierium beweisen.
Also [mm] |\bruch{1}{(x+n)*(x+n+1)}| [/mm] < [mm] 1/n^2
[/mm]
Und da [mm] \summe_{n=1}^{\infty}1/n^2 [/mm] konvergiert, folgt: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(x+n)*(x+n+1)} [/mm] konvergiert normal und somit auch gleichmäßig.
Die Grenzfunktion bestimme ich [mm] so:\summe_{n=0}^{n}\bruch{1}{(x+n)*(x+n+1)} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{n}(\bruch{1}{x+n}-\bruch{1}{x+n+1})
[/mm]
= 1/x - 1/(x+n+1)
Kann man die Aufgabe so lösen?
Was ich noch nicht ganz verstehe: Was ist der Unterschied zwischen gleichmäßiger Konvergenz von Funktionenfolgen und Funktionenreihen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mo 23.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(x+n)*(x+n+1)}[/mm] auf [mm]\IR_+[/mm]
> gleichmäßig gegen f(x) = 1/x konvergiert.
> Also die gleichmäßige Konvergenz würde ich mit dem
> Weierstraß-Kritierium beweisen.
>
> Also [mm]|\bruch{1}{(x+n)*(x+n+1)}|[/mm] < [mm]1/n^2[/mm]
>
> Und da [mm]\summe_{n=1}^{\infty}1/n^2[/mm] konvergiert, folgt:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(x+n)*(x+n+1)}[/mm] konvergiert
> normal und somit auch gleichmäßig.
> Die Grenzfunktion bestimme ich
> [mm]so:\summe_{n=0}^{n}\bruch{1}{(x+n)*(x+n+1)}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{n}(\bruch{1}{x+n}-\bruch{1}{x+n+1})[/mm]
> = 1/x - 1/(x+n+1)
> Kann man die Aufgabe so lösen?
Ja, alles O.K.
> Was ich noch nicht ganz verstehe: Was ist der Unterschied
> zwischen gleichmäßiger Konvergenz von Funktionenfolgen und
> Funktionenreihen.
Sei [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_n [/mm] eine Funktionenreihe und [mm] s_n [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n}f_k.
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_n [/mm] heißt gleichmäßig konvergent [mm] \gdw (s_n) [/mm] konv. gleichmäßig
FRED
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