Gleichmächtigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Di 29.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallo!
Hab mal ne Frage zu folgender Aufgabe:
Ich soll zeigen, dass:
a) die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen die Menge der ganzen Zahlen gleichmächtig sind.
Ist das dazu eine bijektive Abbildung? f(x)=2x+1
b) das abgeschlossene Intervall [mm] [0,1]:=\{x \in \IR: 0 \le x \le 1 \} [/mm] und das offene Intervall (0,1):= [mm] \{x \in \IR: 0 < x < 1 \} [/mm] sind gleichmächtige Teilmengen von [mm] \IR. [/mm] Hier hab ich gar keine Idee. Kann mir jemand helfen, eine bijektive Abbildung zu finden?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mi 30.11.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> Hab mal ne Frage zu folgender Aufgabe:
> Ich soll zeigen, dass:
> a) die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen die Menge
> der ganzen Zahlen gleichmächtig sind.
> Ist das dazu eine bijektive Abbildung? f(x)=2x+1
hast du dir mal überlegt, ob die negativen zahlen als bilder auftreten, also was musst du einsetzen, damit $f(x)$ negativ wird und liegt das im definitionsbereich? um hier ein bijektion hinzubekommen musst du eine "fallunterscheidung" machen, also etas in der art
[m] f(n) = \begin{cases} ... & \textrm{falls } n = 4k - 3\\ ... & \textrm{falls } n = 4k - 1 \end{cases} [/m]
überlege dir mal, was anstatt der punkte hinkommen könnte - die eine hälfte sollte ja auf positive, die andere hälfte auf negative zahlen abgebildet werden.
> b) das abgeschlossene Intervall [mm][0,1]:=\{x \in \IR: 0 \le x \le 1 \}[/mm]
> und das offene Intervall (0,1):= [mm]\{x \in \IR: 0 < x < 1 \}[/mm]
> sind gleichmächtige Teilmengen von [mm]\IR.[/mm] Hier hab ich gar
> keine Idee. Kann mir jemand helfen, eine bijektive
> Abbildung zu finden?
sagt dir das "hilbert-hotel" etwas? so eine ähnliche konstruktion kannst du hier auch verwenden. zum beispiel könnte man $(0, 1)$ auf $(0, 1]$ bijektiv abbilden, indem man folgende abbildungsvorschrift wählt:
[m] b(x) = \begin{cases} \frac{1}{2^{k-1}} & \textrm{falls } x = \frac{1}{2^k} \textrm{ für ein } k \in \mathbb{N} \\ x & \textrm{sonst} \end{cases} [/m]
überlege dir mal, wie du das auf dein problem übertragen kannst?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Do 01.12.2005 | | Autor: | Franzie |
okay, also bei a) hab ich also diese Fallunterscheidung gemacht und einmal (n+1)/2 für n=4k-3 und -n/2 für n=4k-1, damit ich auch die negativen ganzen zahlen dabei hab.
zu b) also vom "hilberts-hotel" hab ich schon gehört, das ist doch die geschichte, wo jeder gast einfach ein zimmer weiter rückt und zum schluss trotzdem alle ein zimmer haben, aber ich kann deinen ansatz trotzdem nicht ganz nachvollziehen. ich soll doch jeweils die beiden intervall bijektiv auf den reellen zahlen abbilden. wie kommst du jetzt auf diese zuordnungsvorschrift, das ist doch eigentlich nur eine abbildung des einen intervalls in das andere, oder hab ich da was missverstanden?
liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Sa 03.12.2005 | | Autor: | felixf |
> okay, also bei a) hab ich also diese Fallunterscheidung
> gemacht und einmal (n+1)/2 für n=4k-3 und -n/2 für n=4k-1,
> damit ich auch die negativen ganzen zahlen dabei hab.
Das ist nicht surjektiv. Setz doch mal fuer n die Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 etc. ein und schau, was da rauskommt. Da wirst du sehen, das eine Menge Zahlen fehlen (werden). Und dann schreib zu jedem 1, 3, 5, 7, 9, ... auf, welcher Fall das ist und welchen Wert k hat. Und dann ueberleg dir mal wie du daraus ne bessere Funktion basteln kannst 
> zu b) also vom "hilberts-hotel" hab ich schon gehört, das
> ist doch die geschichte, wo jeder gast einfach ein zimmer
> weiter rückt und zum schluss trotzdem alle ein zimmer
> haben,
Genau darum geht es hier.
> aber ich kann deinen ansatz trotzdem nicht ganz
> nachvollziehen. ich soll doch jeweils die beiden intervall
> bijektiv auf den reellen zahlen abbilden. wie kommst du
> jetzt auf diese zuordnungsvorschrift, das ist doch
> eigentlich nur eine abbildung des einen intervalls in das
> andere, oder hab ich da was missverstanden?
Erstmal ja. Du musst natuerlich noch nachrechnen, dass es injektiv und surjektiv ist. Hast du das mal gemacht? Wenn nicht, mach das doch bitte. Dann wirst du sehen was passiert, und vielleicht verstehst du es dann etwas besser und kannst es fuer deinen Fall anpassen.
(Tipp: in deinem Fall wuerd ich zwei Funktionen angeben, eine $(0, 1) [mm] \to [/mm] (0, 1]$ und dann eine $(0, 1] [mm] \to [/mm] [0, 1]$, die jeweils bijektiv sind, und dann verkettest du sie einfach: dann hast du die Aufgabe geloest. Ist etwas einfacher als direkt eine Bijektion $(0, 1) [mm] \to [/mm] [0, 1]$ zu suchen.)
LG Felix
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