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Glatte Mannigfaltigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Sa 20.05.2006
Autor: Langfingerli

Aufgabe
Betrachten Sie die Teilmenge
X ={ [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}):x_{1}^4+x_{2}^2*x_{3}^2+x_{4}^4 [/mm] −1 = 0} des [mm] \IR^4 [/mm]
versehen mit der Teilraumtopologie. Ist X eine glatte Mannigfaltigkeit? Beweisen
Sie Ihre Antwort. Wenn X eine Mannigfaltigkeit ist, welche Dimension hat sie?

Hallo,
kann mir jemand mal skizzieren, wie ich vorgehen soll?
Bin mir irgendwie noch extrem unschlüssig...
Gruß,
Lf

        
Bezug
Glatte Mannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Sa 20.05.2006
Autor: SEcki


>  kann mir jemand mal skizzieren, wie ich vorgehen soll?
>  Bin mir irgendwie noch extrem unschlüssig...

Satz vom regulären wert.

SEcki

Bezug
                
Bezug
Glatte Mannigfaltigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 So 21.05.2006
Autor: Langfingerli

Oke, ich habe jetzt versucht, den Satz für reguläre Werte zu benutzen.
Dieser besagt ja, das [mm] f^{-1}(y) [/mm] eine glatte UMF ist, wenn y ein reg.
Wert ist, f glatt.

Nun ist meine Behauptung, daß [mm] f^{-1}(1) [/mm] ein regulärer Wert
ist, also [mm] f_{*}(x) [/mm] surjektiv ist.
Nun betrachte ich die partiellen Ableitungen nach allen Raumrichtungen
[mm] x_{1} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] , [mm] x_{3} [/mm] ,  [mm] x_{4}. [/mm]
Jetzt bin ich mir allerdings noch nicht ganz sicher, wie ich weitermache.
Ich weiß, daß [mm] \exists [/mm] i mit [mm] x_{i} \not= [/mm] 0.
Betrachte ich nun das totale Differential, also die Summer der part. Ableitungen? Ich will ja zeigen, daß das Diff. ungleich 0 ist und surjektiv.
Wenn ich das gezeigt habe, dann folgt ja aus dem obigen Satz, daß meine Menge X eine glatte UMF ist.
Gruß und Dank,
Lf

Bezug
                        
Bezug
Glatte Mannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 Mo 22.05.2006
Autor: MatthiasKr

Hallo,

das differential deiner abbildung in einem bestimmten punkt ist ja eine lineare abbildung vom [mm] $\IR^4$ [/mm] in den [mm] $\IR$. [/mm] Damit so eine abbildung surjektiv ist, muss sie lediglich ungleich der 0-abbildung sein. du musst also prüfen, dass der gradient der abbildung f in allen punkten des urbilds [mm] $f^{-1}(y)$ [/mm] nicht verschwindet.
Dann bist du fertig!

VG
Matthias

Bezug
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