Gl. lösen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | <br>
[mm] x_n [/mm] = [mm] 6x_{n-1} [/mm] - [mm] 11x_{n-2} [/mm] + [mm] 6x_{n-3}
[/mm]
Randbed.: [mm] x_0 [/mm] = 2, [mm] x_1=5, x_2=15 [/mm] |
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Hallo,
ich soll diese Gleichung lösen.
Leider habe ich keinen blassen Schimmer , wie ich das anstellen soll.
Bin neu auf diesem Gebiet ( Rekursionsgleichungen lösen etc), daher fehlt mir der Ansatz , was ich hier machen soll.
Wie geht man bei so einer Aufgabe vor ?
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Mo 13.01.2014 | | Autor: | fred97 |
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> [mm]x_n[/mm] = [mm]6x_{n-1}[/mm] - [mm]11x_{n-2}[/mm] + [mm]6x_{n-3}[/mm]
> Randbed.: [mm]x_0[/mm] = 2, [mm]x_1=5, x_2=15[/mm]
>
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>
> Hallo,
>
> ich soll diese Gleichung lösen.
> Leider habe ich keinen blassen Schimmer , wie ich das
> anstellen soll.
> Bin neu auf diesem Gebiet ( Rekursionsgleichungen lösen
> etc), daher fehlt mir der Ansatz , was ich hier machen
> soll.
> Wie geht man bei so einer Aufgabe vor ?
Google: " lineare Differenzengleichung"
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus
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Hallo,
danke für die Antwort.
Ich habe mir verschiedene pdf's angeguckt und nirgendswo steht irgendwie der Ansatz. Überall steht ne Definition einer inhomogenen Gleichung.
Wie z.B hier http://wwz.unibas.ch/fileadmin/wwz/redaktion/statistik/downloads/Lehre/Mathe2/Foilen/PR7.pdf
Leider bringt mich das nicht weiter...
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Hallo pc_doctor,
> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
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> Ich habe mir verschiedene pdf's angeguckt und nirgendswo
> steht irgendwie der Ansatz. Überall steht ne Definition
> einer inhomogenen Gleichung.
> Wie z.B hier
> http://wwz.unibas.ch/fileadmin/wwz/redaktion/statistik/downloads/Lehre/Mathe2/Foilen/PR7.pdf
>
> Leider bringt mich das nicht weiter...
Die Lösungen einer linearen homogenen Differenzengleichung
werden durch den Ansatz [mm]x_{n}=\lambda^{n}[/mm] bestimmt.
Gruss
MathePower
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Hallo,
muss ich also alle [mm] x_n [/mm] 's mit [mm] \lambda^{n} [/mm] ersetzen ?
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Hallo pc_doctor,
> Hallo,
>
>
> muss ich also alle [mm]x_n[/mm] 's mit [mm]\lambda^{n}[/mm] ersetzen ?
Ja.
Gruss
MathePower
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Hallo,
danke für die Antwort.
Ich habe jetzt:
[mm] \lambda^{n} [/mm] = [mm] 6\lambda^{n-1} [/mm] - [mm] 11\lambda^{n-2} +6\lambda^{n-3}
[/mm]
Ist das so richtig ?
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Hallo pc_doctor,
> Hallo,
> danke für die Antwort.
>
> Ich habe jetzt:
>
> [mm]\lambda^{n}[/mm] = [mm]6\lambda^{n-1}[/mm] - [mm]11\lambda^{n-2} +6\lambda^{n-3}[/mm]
>
> Ist das so richtig ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Vielen Dank.
Wie geht es nun weiter ? Das war ja eine Substitution ( ? ). Was muss ich nun machen ?
Noch eine kleine Zwischenfrage:
Ich soll ja die Gleichung lösen, was soll am Ende rauskommen ? Kommt am Ende wieder eine Gleichung raus ?
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Hallo pc_doctor,
> Vielen Dank.
>
> Wie geht es nun weiter ? Das war ja eine Substitution ( ?
> ). Was muss ich nun machen ?
>
Die Gleichung nach [mm]\lambda[/mm] auflösen.
>
> Noch eine kleine Zwischenfrage:
> Ich soll ja die Gleichung lösen, was soll am Ende
> rauskommen ? Kommt am Ende wieder eine Gleichung raus ?
Nein.
Gruss
MathePower
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Hallo,
okay ich versuchs mal:
[mm] \lambda^{n}=6\lambda^{n-1} [/mm] - [mm] 11\lambda^{n-2} +6\lambda^{n-3}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = 6 - [mm] 11\lambda^{n-1} [/mm] + [mm] 6\lambda^{n-2}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] -6 = [mm] -11\lambda^{n-1} [/mm] + [mm] 6\lambda^{n-2}
[/mm]
Kann ich hier irgendetwas ausklammern? Das [mm] \lambda^{n-1} [/mm] z.B ?
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Hallo pc_doctor,
> Hallo,
>
> okay ich versuchs mal:
> [mm]\lambda^{n}=6\lambda^{n-1}[/mm] - [mm]11\lambda^{n-2} +6\lambda^{n-3}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] = 6 - [mm]11\lambda^{n-1}[/mm] + [mm]6\lambda^{n-2}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] -6 = [mm]-11\lambda^{n-1}[/mm] + [mm]6\lambda^{n-2}[/mm]
>
> Kann ich hier irgendetwas ausklammern? Das [mm]\lambda^{n-1}[/mm]
> z.B ?
Dividiere die erste Gleichung durch [mm]\lambda^{n-3}[/mm].
Gruss
MathePower
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Hallo,
ich hatte vorher anders gerechnet und bin auf [mm] \lambda [/mm] = 1 gekommen.
Jetzt habe ich schnell deine Variante genommen, die ging schneller , udn da kam ich auch auf -5+6 also 1.
Ist das richtig ? [mm] \lambda [/mm] = 1 ?
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Hallo pc_doctor,
> Hallo,
>
> ich hatte vorher anders gerechnet und bin auf [mm]\lambda[/mm] = 1
> gekommen.
>
> Jetzt habe ich schnell deine Variante genommen, die ging
> schneller , udn da kam ich auch auf -5+6 also 1.
>
> Ist das richtig ? [mm]\lambda[/mm] = 1 ?
Ja, das ist richtig.
Es gibt aber noch 2 weiter Lösungen für [mm]\lambda[/mm]
Gruss
MathePower
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Wieso 2 weitere ?
Wegen Randbedingungen ? Wenn es wegen denen sind , gibt es ja dann noch 3 weitere , oder ? Weil es 3 Randbedingungen gibt.
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Hallo pc_doctor,
> Wieso 2 weitere ?
>
> Wegen Randbedingungen ? Wenn es wegen denen sind , gibt es
> ja dann noch 3 weitere , oder ? Weil es 3 Randbedingungen
> gibt.
>
Nichts dergleichen.
Du hast eine Gleichung 3.Grades in [mm]\lambda[/mm].
Die hat bekanntlich 3 Lösungen über [mm]\IC[/mm].
Gruss
MathePower
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Hallo,
da bin ich jetzt ein wenig verwirrt.
Meine Gleichung nach der Umformung war folgende:
[mm] \lambda^{3} [/mm] = [mm] 6\lambda^{2} [/mm] - 5
Das ist ja der 3. Grad. Hier kann ich doch aber einfach durch [mm] \lambda^{2} [/mm] dividieren , dann habe ich nur noch [mm] \lambda [/mm] ersten Grades.
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Hallo,
> Hallo,
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> da bin ich jetzt ein wenig verwirrt.
>
> Meine Gleichung nach der Umformung war folgende:
>
> [mm]\lambda^{3}[/mm] = [mm]6\lambda^{2}[/mm] - 5
> Das ist ja der 3. Grad. Hier kann ich doch aber einfach
> durch [mm]\lambda^{2}[/mm] dividieren , dann habe ich nur noch
> [mm]\lambda[/mm] ersten Grades.
Das ist Unsinn: durch [mm] \lambda^2 [/mm] dividert ergibt das
[mm] \lambda=6-\bruch{5}{\lambda^2}
[/mm]
und da brauchst du dir um den Grad der Gleichung keinerlei Gedanken mehr machen, da es eine Bruchgleichung ist.
Bringe alles auf eine Seite:
[mm] \lambda^3-6\lambda^2+5=0
[/mm]
Schaue die Gleichung einmal scharf an, um eine Lösung zu raten und führe dann eine Polynomdivision durch um zu prüfen, ob es weitere Lösungen gibt.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
wenn ihr hier weitermacht, müsst ihr in zwei Stunden noch mal von vorne anfangen.
[mm] 11\lambda-6 \not= [/mm] 5
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Sax,
> Hi,
>
> wenn ihr hier weitermacht, müsst ihr in zwei Stunden noch
> mal von vorne anfangen.
>
> [mm]11\lambda-6 \not=[/mm] 5
>
> Gruß Sax.
ok, mein Fehler. Ich bin einfach von der Gleichung in der Frage direkt oberhalb meiner Antwort ausgegangen ohne zu überprüfen, ob sie überhaupt relevant weil richtig ist...
GRuß, Diophant
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Hallo,
okay, [mm] \lambda [/mm] = 1 habe ich erraten.
Berechnet habe ich nocht [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \bruch{5-3\wurzel{5}}{2} [/mm] und [mm] \lambda_3 [/mm] = [mm] \bruch{5+3\wurzel{5}}{2}
[/mm]
Das sollte stimmen, habs eingesetzt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Mo 13.01.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
sorry, in der Gleichung ist ein Zahlendreher drin. Danke Sax !
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Hallo pc_doctor,
> Hallo,
>
> okay, [mm]\lambda[/mm] = 1 habe ich erraten.
> Berechnet habe ich nocht [mm]\lambda_2[/mm] =
> [mm]\bruch{5-3\wurzel{5}}{2}[/mm] und [mm]\lambda_3[/mm] =
> [mm]\bruch{5+3\wurzel{5}}{2}[/mm]
>
> Das sollte stimmen, habs eingesetzt.
>
Die weiteren Lösungen stimmen nicht,
da die Gleichung nicht stimmt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo pc_doctor,
ich kann mir auch nicht erklären weshalb: aber mich überkommt gerade ein starker Drang darauf hinzuweisen, dass wir hier kein Chatroom sondern eine Fachberatung sind, und dementsprechend gründlich sollte man seine Fragen und Rückfragen vorbereiten.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Mo 13.01.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo Diophant,
ja du hast Recht.
Ich habe kurz nicht aufgepasst und hatte eine falsche Gleichung. Deswegen das Hin- und her.
Kommt nicht mehr vor.
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Hallo pc_doctor,
> Hallo,
>
> da bin ich jetzt ein wenig verwirrt.
>
> Meine Gleichung nach der Umformung war folgende:
>
> [mm]\lambda^{3}[/mm] = [mm]6\lambda^{2}[/mm] - 5
> Das ist ja der 3. Grad. Hier kann ich doch aber einfach
> durch [mm]\lambda^{2}[/mm] dividieren , dann habe ich nur noch
> [mm]\lambda[/mm] ersten Grades.
>
Die Gleichung
[mm]\lambda^{3}-6*\lambda^{2}+11*\lambda-6=0[/mm]
ist nach [mm]\lambda[/mm] aufzulösen.
Gruss
MathePower
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Hallo,
ich habe geschlafen. Die Gleichung stimmte nicht. (Danke nochmal an Sax)
Meine Lösungen für
[mm] \lambda^{3}-6\cdot{}\lambda^{2}+11\cdot{}\lambda-6=0 [/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = 1
[mm] \lambda_2 [/mm] = 2
[mm] \lambda_3 [/mm] = 3
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Hallo pc_doctor,
> Hallo,
>
> ich habe geschlafen. Die Gleichung stimmte nicht. (Danke
> nochmal an Sax)
>
> Meine Lösungen für
> [mm]\lambda^{3}-6\cdot{}\lambda^{2}+11\cdot{}\lambda-6=0[/mm]
>
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 1
> [mm]\lambda_2[/mm] = 2
> [mm]\lambda_3[/mm] = 3
>
Das stimmt.
Damit kannst Du jetzt die Lösung der
homogenen Differenzengleichung angeben.
Gruss
MathePower
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Hallo,
vielen Dank für die Hilfe.
Bevor ich die Differenzengleichung noch aufstelle ,habe ich eine kleine Zwischenfrage, die vielleicht daran anknüpft.
Wann werden die Anfangsbedingungen für die Gleichung gebraucht ? Werden diese erst beim Aufstellen der homogenen Differenzengleichung gebraucht? Denn um die Gleichung zu lösen , haben wir die Anfangsbedingungen außen vor gelassen.
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Hallo pc_doctor,
> Hallo,
>
> vielen Dank für die Hilfe.
> Bevor ich die Differenzengleichung noch aufstelle ,habe
> ich eine kleine Zwischenfrage, die vielleicht daran
> anknüpft.
>
> Wann werden die Anfangsbedingungen für die Gleichung
> gebraucht ? Werden diese erst beim Aufstellen der homogenen
> Differenzengleichung gebraucht? Denn um die Gleichung zu
> lösen , haben wir die Anfangsbedingungen außen vor
> gelassen.
Sobald Du die allgemeine Lösung der Differenzengleichung
aufgestellt hast, kannst Du die Anfangsbedingungen verwenden,
um so die fehlenden Konstanten zu ermitteln.
Gruss
MathePower
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Hallo.
Oh je, also wir hatten ja 3 Lösungen
[mm] \lambda [/mm] = 1
[mm] \lambda_1 [/mm] = 2
[mm] \lambda_2 [/mm] = 3
Und wir hatten gesagt , dass [mm] x_n [/mm] = [mm] \lambda^{n} [/mm] gelte.
Muss ich jetzt sozusagen resubstituieren ? Ich habe gegoogelt und dort haben sie ein charakteristisches Polynom , von dem sie die Nullstellen berechnet haben. Wir haben ja auch quasi die Nullstellen berechnet und die 3 Lösungen bekommen. Was sollte ich zuerst machen? Es soll ja am Ende eine allgemeine Lösung rauskommen.
Muss ich also jetzt zuerst etwas mit den Lösungen machen oder die Anfangsbedingungen einsetzen?
(PS:Hier nochmal der Link zur PDF-Datei, ab Seite 8 ist es interessant http://www2.inf.h-brs.de/~rhartm2m/tuc/inf1-ws2006-07_zusatzmaterial-rekursionsgleichungen.pdf )
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Hallo pc_doctor,
> Hallo.
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> Oh je, also wir hatten ja 3 Lösungen
> [mm]\lambda[/mm] = 1
> [mm]\lambda_1[/mm] = 2
> [mm]\lambda_2[/mm] = 3
>
> Und wir hatten gesagt , dass [mm]x_n[/mm] = [mm]\lambda^{n}[/mm] gelte.
>
> Muss ich jetzt sozusagen resubstituieren ? Ich habe
> gegoogelt und dort haben sie ein charakteristisches Polynom
> , von dem sie die Nullstellen berechnet haben. Wir haben ja
> auch quasi die Nullstellen berechnet und die 3 Lösungen
> bekommen. Was sollte ich zuerst machen? Es soll ja am Ende
> eine allgemeine Lösung rauskommen.
> Muss ich also jetzt zuerst etwas mit den Lösungen machen
> oder die Anfangsbedingungen einsetzen?
>
Die allgemeine Lösung der Differenzengleichung ergibt sich zu:
[mm]x_{n}=c_{1}*1^{n}+c_{2}*2^{n}+c_{3}*3^{n}[/mm]
Mit Hilfe der Anfangsbedingungen kannst Du
die Konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}, \ c_{3}[/mm] bestimmen.
>
> (PS:Hier nochmal der Link zur PDF-Datei, ab Seite 8 ist es
> interessant
> http://www2.inf.h-brs.de/~rhartm2m/tuc/inf1-ws2006-07_zusatzmaterial-rekursionsgleichungen.pdf
> )
Gruss
MathePower
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Alles klar, vielen Dank. Sowas hatte ich gebraucht.
Das ist dann jetzt die allgemeine Form einer Differenzengleichung , egal welche homogene Rekursionsgleichung man hat, stimmts ?
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Hallo pc_doctor,
> Alles klar, vielen Dank. Sowas hatte ich gebraucht.
>
> Das ist dann jetzt die allgemeine Form einer
> Differenzengleichung , egal welche homogene
> Rekursionsgleichung man hat, stimmts ?
Nein, wie die Form der Lösung aussieht,
hängt von der gegebenen Rekursionsgleichung ab.
Der Ansatz bei einer linearen homogenen Differenzengleichung
mit konstanten Koeffizienten ist aber immer derselbe:
[mm]x_{n}=\lambda^{n}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Mo 13.01.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , jetzt hab ich es verstanden.
Vielen vielen Dank für die tolle Hilfe.
Schönen Abend noch.
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