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Hallo,
gegeben sind Vektoren des [mm] \IR^{n}, [/mm] die eine Basis beinhalten und ich moechte eine Basis des von Ihnen erzeugten Gitters angeben. Wie stelle ich das genau an? Im genauen habe ich ein Gitter [mm] \Lambda [/mm] mit einer Basis [mm] b_{1}, [/mm] ..., [mm] b_{n} [/mm] und schmeisse einen weiteren Vektor $ u $ hinzu.
Zum Beispiel: [mm] \Lambda [/mm] = [mm] \{ x \in \IZ^{n} | \sum_{i} x_{i} \equiv 0 \ mod \ 2 \} [/mm] mit Basis [mm] b_{i} [/mm] = [mm] e_{1} [/mm] + [mm] e_{i} [/mm]
und $ u = [mm] \frac{1}{2} \sum_{i} e_{i} [/mm] $
Wie bestimmen ich dann eine Basis des Gitters [mm] \Lambda' [/mm] = [mm] \Lambda [/mm] + u [mm] \IZ [/mm] ?
Ich habe schon probiert, alle Basisvektoren um $ u $ zu verschieben, nur einen oder $ [mm] v_{1} [/mm] $ durch $ u $ zu ersetzen, aber nichts passt. Wie stelle ich das also i. A. an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Fr 26.06.2015 | | Autor: | hippias |
Es gibt sicherlich schoene Algorithmen um Gitterbasen zu berechnen - da wuerde ich in die entsprechende Literatur schauen. Viellicht hilft es schon sich nocheinmal die Beweise fuer die Existenz einer Gitterbasis anzusehen: die sind manchmal einigermassen konstruktiv.
Deine Idee sollte bei diesem Beispiel aber auch ohne weitere Hilfsmittel erfolgreich sein. Es koennte eine Fallunterscheidung nach der Paritaet von $n$ hilfreich sein. Wenn $n$ ungerade ist, erhalte ich z.B. [mm] $e_{1},\ldots, e_{n-1}, [/mm] u$ als moegliche Basis von [mm] $\Gamma'$.
[/mm]
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