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| Aufgabe | Ein üblicher Wahrscheinlichkeitsraum wird definiert. a ist ein adaptierter Prozess und B ein Wiener Prozess. Wir definieren [mm] L_{t}:
[/mm]
[mm] L_{t}=exp(\integral_{0}^{t}{a_{s}dB_{s}}-\bruch{1}{2}\integral_{0}^{t}{a_{s}^{2}ds}) [/mm] |
Hallo Leute,
ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
Es geht dabei um das Girsanow Theorem aus der Finanzmathematik.
Dabei frage ich mich warum der Erwartungswert [mm] E(L_{t})=1, [/mm] t [mm] \ge [/mm] 0 ist?
Danke für eure Hilfe!
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Hiho,
ist [mm] $X_t$ [/mm] ein Martingal, so auch [mm] $\exp(X_t [/mm] - [mm] \frac{1}{2}_t)$
[/mm]
Setze [mm] $X_t [/mm] = [mm] \int_0^t a_s dB_s$
[/mm]
Gruß,
Gono
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Danke, dann schreibe ich es mal auf.
OK, wir können davon ausgehen, dass das stochastische Integral bzgl. der BB ein Martinal ist.
Dann sagst du $ [mm] \exp(X_t [/mm] - [mm] \frac{1}{2}_t) [/mm] $ ist auch ein Martinal, da es einfach eine Komposition ist.
Also ist $ <X>_t $ = $ < [mm] \int_0^t a_s dB_s [/mm] > = [mm] \integral_{0}^{t}{a_{s}^{2}ds} [/mm] $. Ist die quadratische Variation für ein stochastisches Integral so definiert ? Also $ < [mm] \int_0^t a_s dB_s [/mm] > = [mm] \integral_{0}^{t}{a_{s}^{2}d} [/mm] $?
Ein Martinal hat einen konstanten Erwartungswert. Wie komme ich jetzt weiter?
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> Danke, dann schreibe ich es mal auf.
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> OK, wir können davon ausgehen, dass das stochastische
> Integral bzgl. der BB ein Martinal ist.
Ja das kann man.
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> Dann sagst du [mm]\exp(X_t - \frac{1}{2}_t)[/mm] ist auch ein
> Martinal, da es einfach eine Komposition ist.
Nein, nein - das hat mit Komposition nix zu tun(du darfst nicht vergessen, dass [mm] X_{t} [/mm] generell ein wesentlich allgemeinerer Prozess sein kann - also empfiehlt sich immer hier genau vorzugehen).
Dass [mm] $L_{t}$ [/mm] tatsächlich ein Martingal ist muss man durchaus ausführlicher begründen.
Eine Möglichkeit bietet die Novikov Bedingung - hierzu ist zz , dass
[mm] $\mathbb{E}[exp(\frac{1}{2}\int_{0}^{t}a_{s}^2ds)] [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Dein Prozess [mm] $L_{t}$ [/mm] ist das stochastische Exponential des Prozesses [mm] $X_{t}$ [/mm] mit [mm] $dX_{t} [/mm] = [mm] a_{t}dB_{t}$
[/mm]
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> Also ist [mm]_t[/mm] = [mm]< \int_0^t a_s dB_s > = \integral_{0}^{t}{a_{s}^{2}ds} [/mm].
> Ist die quadratische Variation für ein stochastisches
> Integral so definiert ? Also [mm]< \int_0^t a_s dB_s > = \integral_{0}^{t}{a_{s}^{2}d} [/mm]?
Üblicherweise meint [X] die quadratische Variation eines Prozesses und <X> meint üblicherweise die vorhersehbare quadratische Variation! Falls der Prozess jedoch stetig ist, so stimmen [X] und <X> überein.
Und ja, die quadratische Variation der BB kennst du allerdings - d.h. [mm] [B]_{t} [/mm] = t
also gilt :
$ < [mm] \int_0^t a_s dB_s [/mm] > = [mm] \integral_{0}^{t}{a_{s}^{2}ds} [/mm] $
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> Ein Martinal hat einen konstanten Erwartungswert. Wie komme
> ich jetzt weiter?
>
Lg
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Ok, danke für deine ausführliche Antwort.
Jetzt sind mir viele Sachen klarer geworden.
Aber wie kommen wir jetzt mit dem Erwartungswert weiter, dass $ [mm] E(L_{t})=1 [/mm] $ ist?
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Es ist sichtlich, dass [mm] $L_{0}=1$ [/mm] ist - oder? (Dies ist gleichermaßen die Anfangsbedingung der SDE : [mm] $dL_{t} [/mm] = [mm] a_{t}L_{t}dB_{t})$
[/mm]
Zeigst du dass [mm] L_{t} [/mm] ein Martingal ist - so gilt : [mm] $\mathbb{E}[L_{t}] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[L_{0}] [/mm] = 1$
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Da der Erwartungswert konstant ist. Vielen lieben Dank nochmal.
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