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| Aufgabe | Die Zementfabrik in Peteuningen stellt einen hochwertigen Spezialzement her und kann diesen regional mit der Nachfragefunktion x=-10p+12 absetzen. x gibt dabei die an einem Tag produzierte Menge in 1000t an. Die Kostenfunktion des Unternehmens wird wie folgt angegeben: [mm] K(x)=x^3-4x^2+6x-1,9 [/mm] für [mm] x\ge\bruch{1}{2}.
[/mm]
a.) Bestimmen Sie die tägliche Produktionsmenge, die den Gewinn maximiert.
b.) Bestimmen Sie die Produktionsmenge, für die der Betrieb in der Gewinnzone arbeitet. Betrachten Sie dazu den Gewinn für die Produktionsmenge 1. |
Hallo liebe Forumsmitglieder,
meine Lösung sieht bisher folgendermaßen aus:
a.) Umstellen der Nachfragefunktion nach p: p=-0,1x+1,2
Daraus folgt die Umsatzfunktion [mm] U(x)=-0,1x^2+1,2x, [/mm] sowie die Gewinnfunktion [mm] G(x)=-x^3+3,9x^2-4,8x+1,9.
[/mm]
Zur Ermittlung des maximalen Gewinns leite ich nun die Gewinnfunktion ab und setze diese dann 0. Nullstellen liegen bei [mm] x_{1}=1,6 [/mm] und [mm] x_{2}=1. [/mm] Mit Hilfe der 2ten Ableitung habe ich dann überprüft, wo ein Maximum vorliegt hierbei zeigte sich, dass [mm] x_{1} [/mm] ein lokales Maximum vorliegen hat, und somit die optimale Produktionsmenge 1600 Tonnen beträgt.
b.) In der zweiten Teilaufgabe soll nun die Gewinnzone ermittelt werden. Per Definition wäre das G(x)=0. Nun hab ich aus der Gewinnfunktion ein x ausgeklammert und dann erhalten [mm] G(x)=x(-x^2+3,9x-4,8)+1,9.
[/mm]
Meine Frage: Ist das x in G(x) richtig ausgeklammert worden? Ist der Ansatz überhaupt richtig? Welche Werte habt Ihr rausbekommen?
Vielen Dank schon mal im Voraus
Grüße
Das Erdbeerfischbonbon
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Do 04.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Zementfabrik in Peteuningen stellt einen hochwertigen
> Spezialzement her und kann diesen regional mit der
> Nachfragefunktion x=-10p+12 absetzen. x gibt dabei die an
> einem Tag produzierte Menge in 1000t an. Die Kostenfunktion
> des Unternehmens wird wie folgt angegeben:
> [mm]K(x)=x^3-4x^2+6x-1,9[/mm] für [mm]x\ge\bruch{1}{2}.[/mm]
>
> a.) Bestimmen Sie die tägliche Produktionsmenge, die den
> Gewinn maximiert.
>
> b.) Bestimmen Sie die Produktionsmenge, für die der
> Betrieb in der Gewinnzone arbeitet. Betrachten Sie dazu den
> Gewinn für die Produktionsmenge 1.
> Hallo liebe Forumsmitglieder,
>
> meine Lösung sieht bisher folgendermaßen aus:
>
> a.) Umstellen der Nachfragefunktion nach p: p=-0,1x+1,2
>
> Daraus folgt die Umsatzfunktion [mm]U(x)=-0,1x^2+1,2x,[/mm] sowie
> die Gewinnfunktion [mm]G(x)=-x^3+3,9x^2-4,8x+1,9.[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Zur Ermittlung des maximalen Gewinns leite ich nun die
> Gewinnfunktion ab und setze diese dann 0. Nullstellen
> liegen bei [mm]x_{1}=1,6[/mm] und [mm]x_{2}=1.[/mm] Mit Hilfe der 2ten
> Ableitung habe ich dann überprüft, wo ein Maximum
> vorliegt hierbei zeigte sich, dass [mm]x_{1}[/mm] ein lokales
> Maximum vorliegen hat, und somit die optimale
> Produktionsmenge 1600 Tonnen beträgt.
>
> b.) In der zweiten Teilaufgabe soll nun die Gewinnzone
> ermittelt werden. Per Definition wäre das G(x)=0. Nun hab
> ich aus der Gewinnfunktion ein x ausgeklammert und dann
> erhalten [mm]G(x)=x(-x^2+3,9x-4,8)+1,9.[/mm]
>
> Meine Frage: Ist das x in G(x) richtig ausgeklammert
> worden? Ist der Ansatz überhaupt richtig?
Das Ausklammern ist korrekt, aber Sinnlos. Damit bekommst du am Ende kein Produkt heraus, so dass du keinerlei Vorteile daraus ziehst. Du musst leider hier eine Polynomdivision machen, um die Gewinnfunktion in Linearfaktoren zu zerlegen, so dass du dann bequem die Nullstellen ablesen kannst.
Bei x=1 hast du eine Nullstelle von G(x) (das kann man durch geschicktes Raten oder einem Funktionsplot erkennen), also berechne mal
[mm] (-x^3+3,9x^2-4,8x+1,9):(x\red{-}1)=\ldots
[/mm]
Also: [mm] G(x)=(x-1)*(\ldots)
[/mm]
Die Weiteren Nullstellen kannst du mit der p-q-Formel bestimmen, da [mm] \ldots [/mm] ein quadratischer Term ist.
> Welche Werte habt Ihr rausbekommen?
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus
>
> Grüße
>
> Das Erdbeerfischbonbon
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Marius
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