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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Gew. Differentialgleichung
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Gew. Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 Do 23.04.2020
Autor: makke306

Ermitteln Sie für folgendes Störglied einen Lösungsansatz für eine partikuläre Lösung der inhomgenen Differentialgleichung.

Aufgabe
y''+2y'+y=g(x)
[mm] g(x)=2*e^x+cosx [/mm]






Habe für die Homogene Lösung [mm] x_h= c_1*e^{-x}+c_2x*e^{-x} [/mm] herausbekommen.
Aber welchen Ansatz wähle ich für die Partikuläre Lösung?

        
Bezug
Gew. Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 Do 23.04.2020
Autor: fred97


> [mm]y''+2y'+y=2*e^x+cosx[/mm]
>  
>
> Habe für die Homogene Lösung [mm]x_h= c_1*e^{-x}+c_2x*e^{-x}[/mm]
> herausbekommen.
>  Aber welchen Ansatz wähle ich für die Partikuläre
> Lösung?


Bestimme eine partikuläre Lösung [mm] y_1 [/mm] von [mm]y''+2y'+y=2*e^x[/mm] und bestimme eine partikuläre Lösung [mm] y_2 [/mm] von [mm]y''+2y'+y= \cos x[/mm].

Dann ist [mm] $y_p:= y_1+y_2$ [/mm] eine partikuläre Lösung von [mm]y''+2y'+y=2*e^x+ \cos x[/mm].



Bezug
                
Bezug
Gew. Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Do 23.04.2020
Autor: makke306

Ah ok. Ich habe als Lösung [mm] y=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}+\frac{e^x+\sin \left(x\right)}{2} [/mm] herausbekommen.

Allerdings stimmt dies nicht mit der Lösung überein die mir mein Prof gegegen hat.

Die Lösung lautet da so:
c = 1, b = 1; Weder 1 noch jß = j sind Lösungen der charakteristischen Gleichung => [mm] y_p [/mm] = A * [mm] e^x [/mm] + B  sinx + C*cos x

Habe keine Ahnung wieso da diese Lösung angegeben ist.

Bezug
                        
Bezug
Gew. Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Do 23.04.2020
Autor: fred97


> Ah ok. Ich habe als Lösung
> [mm]y=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}+\frac{e^x+\sin \left(x\right)}{2}[/mm]
> herausbekommen.

Das stimmt, [mm] y_p(x)=\frac{e^x+\sin \left(x\right)}{2} [/mm] ist eine spezielle Lösung, wie man sofort nachrechnen kann.

>  
> Allerdings stimmt dies nicht mit der Lösung überein die
> mir mein Prof gegegen hat.

Das ist ja auch kein Wunder, eine spezielle Lösung ist nicht eindeuteig bestimmt !

Z.B. sind

  [mm] y=e^{-x}+xe^{-x}+\frac{e^x+\sin \left(x\right)}{2} [/mm]

oder

  [mm] y=2020e^{-x}-1234567xe^{-x}+\frac{e^x+\sin \left(x\right)}{2} [/mm]

ebenfalls spezielle Lösungen der DGL.

>  
> Die Lösung lautet da so:
>  c = 1, b = 1; Weder 1 noch jß = j sind Lösungen der
> charakteristischen Gleichung => [mm]y_p[/mm] = A * [mm]e^x[/mm] + B  sinx +
> C*cos x
>  
> Habe keine Ahnung wieso da diese Lösung angegeben ist.


Bezug
                                
Bezug
Gew. Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:02 Fr 24.04.2020
Autor: makke306

Aber dann stimmt da diese Lösung? :

c = 1, b = 1; Weder 1 noch jß = j sind Lösungen der
charakteristischen Gleichung => $ [mm] y_p [/mm] $ = A * $ [mm] e^x [/mm] $ + B  sinx + C*cos x

Woher kommt da jß = j?

Bezug
                                        
Bezug
Gew. Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Fr 24.04.2020
Autor: leduart

Hallo
gemeint ist j also die imaginäre Einheit mt [mm] j\beta [/mm] vielleicht -j oder einfach ein vielfaches von j? da da ja steht  [mm] j\beta [/mm] =j ist [mm] \beta=1 [/mm]
Gruß ledum

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