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Geschlossene 2-Form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:13 Sa 12.05.2012
Autor: WWatson

Aufgabe
Wir betrachten den singulären 2-Würfel f : [0, [mm] 2\pi] \to S^{2} \subset \IR^{3}, [/mm] welcher durch f(u,v) = (cos(u)sin(v), sin(u)sin(v), cos(v)) gegeben ist, sowie die 2-Form

    [mm] \omega^{2} [/mm] = [mm] \bruch{xdy \wedge dz + ydz \wedge dx + zdx \wedge dy}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}. [/mm]

Zeigen Sie:

1. [mm] \omega^{2} [/mm] ist geschlossen, aber nicht exakt.
2. Es existiert keine singuläre 3-Kette [mm] c^{3} [/mm] im Raum [mm] \IR^{3} [/mm] mit [mm] \partial c^{3} [/mm] = f.

Hallo zusammen,

ich bin bei der Bearbeitung dieser Aufgabe auf einige Probleme gestoßen.
Ich habe bei 1. bereits durch Nachrechnen gezeigt, dass die 2-Form geschlossen ist. Ich weiß jetzt allerdings nicht, wie ich zeigen kann, dass sie nicht exakt ist. Wir hatten in der Vorlesung bisher auch nur Sätze, die etwas darüber aussagen, wann eine geschlossene 1-Form exakt ist, und die werden mir ja wahrscheinlich nicht weiterhelfen.
Bei der zweiten Aufgabe weiß ich eigentlich gar nicht recht, wie ich ansetzen soll. Ich habe mir zwar mal die Gleichheit, die ich negieren soll, ausgeschrieben, sehe aber nicht, wie mich das weiterbringt.
Hat eventuell jemand eine Idee?

Gruß,

WWatson

        
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Geschlossene 2-Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 Sa 12.05.2012
Autor: SEcki


> Ich habe bei 1. bereits durch Nachrechnen gezeigt, dass die
> 2-Form geschlossen ist.

Der Standardweg ist: das Integral der 2-Form eingeschränkt bzw. zurückgezogen auf [m]S^s[/m] ist ungleich 0.

> Bei der zweiten Aufgabe weiß ich eigentlich gar nicht
> recht, wie ich ansetzen soll. Ich habe mir zwar mal die
> Gleichheit, die ich negieren soll, ausgeschrieben, sehe
> aber nicht, wie mich das weiterbringt.
> Hat eventuell jemand eine Idee?

Was sind bei dir singuläre 3-Ketten und was bedeutet das [m]\del[/m]? Im Wesentlichen wird es aber ein ähnliches Argument wie oben sein.

SEcki


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Geschlossene 2-Form: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:00 So 13.05.2012
Autor: WWatson

OK, erstmal vielen Dank für Deine Hilfe. Ich hab' jetzt zunächst mal versucht, den pullback der Form unter f zu berechnen:

    [mm] f\*( \omega^{2}) [/mm] = [mm] f\*(\bruch{xdy \wedge dz + ydz \wedge dx + zdx \wedge dy}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}) [/mm] = (x [mm] \circ f)f\*(\bruch{dy \wedge dz}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} [/mm] + (y [mm] \circ f)f\*(\bruch{dz \wedge dx}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} [/mm] + (z [mm] \circ f)f\*(\bruch{dx \wedge dy}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} [/mm] = (x [mm] \circ [/mm] f) [mm] \bruch{d(f\*(y)) \wedge d(f\*(z))}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} [/mm] + (y [mm] \circ [/mm] f) [mm] \bruch{d(f\*(z)) \wedge d(f\*(x))}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} [/mm] + (z [mm] \circ [/mm] f) [mm] \bruch{d(f\*(x)) \wedge d(f\*(z))}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} [/mm] = (x [mm] \circ [/mm] f) [mm] \bruch{d(y \circ f) \wedge d(z \circ f)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} [/mm] + (y [mm] \circ [/mm] f) [mm] \bruch{d(z \circ f)) \wedge d(x \circ f))}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} [/mm] + (z [mm] \circ [/mm] f) [mm] \bruch{d(x \circ f) \wedge d(z \circ f)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} [/mm] = (cos(u)sin(v)) [mm] \bruch{d(sin(u)sin(v)) \wedge d(cos(v))}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} [/mm]  + (sin(u)sin(v)) [mm] \bruch{d(cos(v)) \wedge d(cos(u)sin(v))}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} [/mm] + cos(v) [mm] \bruch{d(cos(u)sin(v) \wedge d(sin(u)sin(v)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}} [/mm]

Jetzt weiß ich nicht so ganz genau, wie ich weitermachen kann. Also, die x,y und z im Nenner muss ich ja sicherlich mit den jeweiligen Komponentenfunktionen ersetzen?! Mir ist aber dann wiederum nicht klar, wie ich mit den Wedge-Produkten weiter umgehen, geschweige denn, wie ich über sowas integrieren soll.

Zur singulären 3-Kette:

Definition. Eine singuläre k-Kette in O [mm] \subset \IR^{n} [/mm] ist eine formale Summe

   [mm] s^{k} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{j} l_{i} c_{i}^{k} [/mm]

, wobei [mm] l_{i} \in \IZ [/mm] und [mm] c_{i}^{k} [/mm] singuläre Würfel sind.

Gruß,

WWatson

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Geschlossene 2-Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 So 13.05.2012
Autor: SEcki


> Jetzt weiß ich nicht so ganz genau, wie ich weitermachen
> kann. Also, die x,y und z im Nenner muss ich ja sicherlich
> mit den jeweiligen Komponentenfunktionen ersetzen?! Mir ist
> aber dann wiederum nicht klar, wie ich mit den
> Wedge-Produkten weiter umgehen, geschweige denn, wie ich
> über sowas integrieren soll.

Puh, ich finde dein Vorgehen schon sehr unübersichtlich. Allerdings habe ich schon lange nichts mehr so berechnet. Als Tip: [m]x^2+y^2+z^2=1[/m], das macht einiges einfacher. Anderseits würde ich so vorgehen: [m]df[/m] berechnen und dann in jedem Punkt [m](x_0,y_0)[/m] gilt, dass der Wert für [m]dx\wedge dy[/m] gleich [m]\omega(df(e_1),df(e_2))[/m] ist; damit hat man dann alles, da 2-Formen auf 2-Mgf. eben genau diese Form haben.

> Zur singulären 3-Kette:

Ahhhh, Brett vorm Kopf - sorry. f wird dann hier als singuläe Kette aufgefasst. Wenn diese aber null-homolog wäre, so müsste dann auch jedes Integral über diese Kette als Pullback 0 sein (wenn man das definieren kann, zB wenn die Abbildungen immer glatt sein sollen). Also eigentlich die gleiche Idee in neuen Schläuchen.

SEcki


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Geschlossene 2-Form: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Do 17.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Geschlossene 2-Form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 So 13.05.2012
Autor: WWatson


> > Ich habe bei 1. bereits durch Nachrechnen gezeigt, dass die
> > 2-Form geschlossen ist.
>  
> Der Standardweg ist: das Integral der 2-Form eingeschränkt
> bzw. zurückgezogen auf [m]S^s[/m] ist ungleich 0.
>  

Mir ist auch nicht so ganz klar, wieso sich aus der Tatsache, dass das Integral der 2-Form unter f zurückgezogen ungleich 0 ist, schließen lässt, dass die Form nicht exakt ist. Kannst Du das bitte nochmal etwas näher erklären?

Gruß,

WWatson

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Geschlossene 2-Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 So 13.05.2012
Autor: SEcki


> Mir ist auch nicht so ganz klar, wieso sich aus der
> Tatsache, dass das Integral der 2-Form unter f
> zurückgezogen ungleich 0 ist, schließen lässt, dass die
> Form nicht exakt ist. Kannst Du das bitte nochmal etwas
> näher erklären?

Mit dem Satz von Stokes: [mm]\int_{S^2} f^\star \omega=\int_{\partial S^2=\emptyset} d(f^\star \omega)=0[/mm]. Man muss sichdas vielleicht direkt mit dem Beweis klar machen, wenn die leere Menge nicht als Mgf. mag, es stimmt so.

SEcki


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Geschlossene 2-Form: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:59 Mo 14.05.2012
Autor: WWatson

Alles klar, danke Dir. Habe jetzt doch meinen obigen Ansatz weiter verfolgt, allerdings mit Deinem Hinweis, dass natürlich [mm] x^{2}+y^{2}+z^{2} [/mm] = 1. Nach Ausrechnen unter Nutzung von

     [mm] cos^{2}(x) [/mm] = [mm] (1-sin^{2}(x)) [/mm]

bleibt nur noch -sin(v)dv [mm] \wedge [/mm] du übrig. Das Integral kann man dann einfach mit Fubini lösen und erhält als Wert - 4 [mm] \pi. [/mm]
Mit dem Satz von Stokes folgt dann bereits, dass die Form nicht exakt sein kann.
Vielen Dank nochmal für Deine Hilfe, SEcki!

Gruß,

WWatson

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