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Geradenkonstellationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Di 19.04.2016
Autor: Rebellismus

Aufgabe
a) Stellen Sie sich zwei Geraden im Raum [mm] \IR^3 [/mm] vor: wie können die zueinander liegen?

b) Gegeben seien die Geraden

[mm] g_1: x=\vektor{3 \\ 4 \\ 7}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] mit [mm] t\in\IR [/mm]

[mm] g_2: x=\vektor{1 \\ 3 \\ 3}+s*\vektor{0 \\ -1 \\ 2} [/mm] mit [mm] s\in\IR [/mm]

Sind sie parallel? Gibt es einen Schnittpunkt? Wenn ja: welchen?

c) Geben Sie [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] in Koordinatenform an.

a)

Es gibt 4 Fälle:

Fall 1: die Geraden sind parallel

Fall 2: die Geraden sind identisch

Fall 3: die Geraden schneiden sich

Fall 4: die Geraden sind windschief

Es gibt noch die Bezeichnung "echt parallel". Gehört das zu Fall 1 oder 2?


        
Bezug
Geradenkonstellationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Di 19.04.2016
Autor: Leopold_Gast

Die Falleinteilung ist nicht konsequent. Denn die von dir genannten Fälle schließen sich nicht gegenseitig aus. Ich würde zunächst die Fälle

A Geraden sind parallel
B Geraden sind nicht parallel

betrachten. Sie schließen sich gegenseitig aus. Parallelität erkennt man daran, daß die Richtungsvektoren linear abhängig sind. Sind sie es nicht, so sind die Geraden auch nicht parallel.

Im nächsten Schritt sucht man nach gemeinsamen Punkten.

Wir nehmen zunächst den Fall A. Die Geraden sind also parallel. Liegt nun ein beliebig gewählter Punkt der einen Geraden auf der anderen, dann müssen die Geraden identisch sein (Fall A1), liegt dagegen der beliebig gewählte Punkt der einen Geraden nicht auf der anderen, so sind die Geraden echt-parallel (Fall A2). Zusammengefaßt hat man die Fälle

A1 Geraden sind identisch
A2 Geraden sind echt-parallel

Jetzt der Fall B. Die Geraden sind also nicht parallel. Besitzen die Geraden einen gemeinsamen Punkt, so schneiden sie sich. Besitzen sie dagegen keinen gemeinsamen Punkt, so sind sie windschief. Das gibt die Fälle

B1 Geraden schneiden sich in einem Punkt
B2 Geraden sind windschief

Im allgemeinen wird man also so vorgehen: Man schaut zunächst, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind und kann so über A oder B entscheiden. Dann schaut man, ob die Geraden gemeinsame Punkte besitzen. Jetzt kann man über A1/A2 bzw. B1/B2 entscheiden.

Bezug
                
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Geradenkonstellationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Mi 20.04.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

> Parallelität erkennt man daran, daß die Richtungsvektoren
> linear abhängig sind. Sind sie es nicht, so sind die
> Geraden auch nicht parallel.

Die blauen Vektoren sind linear abhängig, aber sie sind nicht parallel

[]lineare abhängigkeit von 3 vektoren

linear abhängig muss nicht heißen das vektoren parallel sind oder habe ich einen denkfehler?

Bezug
                        
Bezug
Geradenkonstellationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 Mi 20.04.2016
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> > Parallelität erkennt man daran, daß die Richtungsvektoren
> > linear abhängig sind. Sind sie es nicht, so sind die
> > Geraden auch nicht parallel.
>  
> Die blauen Vektoren sind linear abhängig, aber sie sind
> nicht parallel

Ja, da gehts auch um 3(!) Vektoren.

>  
> []lineare abhängigkeit von 3 vektoren
>  
> linear abhängig muss nicht heißen das vektoren parallel
> sind oder habe ich einen denkfehler?

Kurz und knapp: sind u und v zwei Vektoren im [mm] \IR^n, [/mm] beide [mm] \ne [/mm] 0, so gilt:

   u und v sind linear abhängig [mm] \gdw [/mm] es ex. [mm] \alpha \in \IR [/mm] mit [mm] $u=\alpha [/mm] v$

FRED


Bezug
                                
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Geradenkonstellationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 Mi 20.04.2016
Autor: Rebellismus

Ich habe eine frage zur linearen Abhängigkeit

Allgemein gilt:

n Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt

[mm] \lambda_1\vec{v_1}+\lambda_2\vec{v_2}+...+\lambda_n\vec{v_n}=0 [/mm]

Dabei dürfen die koeffizienten [mm] \lambda [/mm] nicht alle Null sein.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Für zwei Vektoren gilt:

Zwei Vektoren [mm] \vec{v_1} [/mm] und [mm] \vec{v_2} [/mm] sind linear abhängig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: [mm] \vec{v_1}=k*\vec{v_2} [/mm] mit [mm] k\in [/mm] R
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Wieso gibt es bei der Definition von zwei Vektoren nur ein Faktor? Laut der Allgemeinen Definition muss gelten:

[mm] \lambda_1\vec{v_1}+\lambda_2\vec{v_2}=0 [/mm]

[mm] \lambda_1\vec{v_1}=-\lambda_2\vec{v_2} [/mm]

hier habe ich 2 Faktoren und ein negatives Vorzeichen auf der rechten seite. Das unterscheidet sich ja von der Definition für zwei vektoren

Bezug
                                        
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Geradenkonstellationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:34 Mi 20.04.2016
Autor: Rebellismus

Die frage hat sich erledigt.

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Geradenkonstellationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Mi 20.04.2016
Autor: Al-Chwarizmi


>  Für zwei Vektoren gilt:
>  
> Zwei Vektoren [mm]\vec{v_1}[/mm] und [mm]\vec{v_2}[/mm] sind linear
> abhängig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist:
> [mm]\vec{v_1}=k*\vec{v_2}[/mm] mit [mm]k\in[/mm] R
>  
> ------------------------------------------------------------------
>  
> Wieso gibt es bei der Definition von zwei Vektoren  
> nur einen Faktor? Laut der Allgemeinen Definition muss gelten:   .......


Man sollte den obigen Satz besser so formulieren:

Zwei Vektoren [mm]\vec{v_1}[/mm] und [mm]\vec{v_2}[/mm] sind genau dann linear abhängig,
wenn einer ein Vielfaches des anderen ist:
[mm]\vec{v_1}=k*\vec{v_2}[/mm] mit [mm]k\in[/mm] [mm] \IR [/mm]  oder [mm]\vec{v_2}=t*\vec{v_1}[/mm] mit [mm]t\in[/mm] [mm] \IR [/mm]

Grund:  Ein Problem ergibt sich dann, wenn einer der
beiden Vektoren der Nullvektor ist, der andere aber nicht:
dann klappt es entweder mit dem k oder mit dem t nicht
(aber wenigstens mit einem der beiden).

LG  ,    Al-Chw.

Bezug
        
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Geradenkonstellationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:33 Di 19.04.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> a) Stellen Sie sich zwei Geraden im Raum [mm]\IR^3[/mm] vor: wie
> können die zueinander liegen?


>  a)
>  
> Es gibt 4 Fälle:
>  
> Fall 1: die Geraden sind parallel
>
> Fall 2: die Geraden sind identisch
>  
> Fall 3: die Geraden schneiden sich

Beachte, dass sich zwei Geraden, die identisch sind, eben
auch schneiden (und zwar sogar in unendlich vielen Schnittpunkten !)
Die Fälle 2 und 3  schließen sich also (so wie auch die Fälle 1 und 2)
nicht gegenseitig aus !
  

> Fall 4: die Geraden sind windschief
>  
> Es gibt noch die Bezeichnung "echt parallel". Gehört das
> zu Fall 1 oder 2?


Mit dem Begriff  "echt parallel" , den ich in jahrzehntelanger
Tätigkeit als Mathematiklehrer nicht angetroffen habe, habe ich
ein echtes Problem.  Soll etwa eine Gerade nicht echt parallel
zu sich selber sein ?? Noch paralleler geht es doch gar nicht mehr !
Da hört mein Verständnis für gewisse Kollegen auf, welche
offenbar an einer Schubladisierungssucht leiden und nicht
ertragen können, dass man eine Gerade mit sich selber auf
Parallelität prüft.

LG  ,   Al-Chw.
  

Bezug
                
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Geradenkonstellationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:09 Di 19.04.2016
Autor: tobit09

Hallo Al-Chwarizmi!


> Mit dem Begriff  "echt parallel" , den ich in
> jahrzehntelanger
>  Tätigkeit als Mathematiklehrer nicht angetroffen habe,
> habe ich
>  ein echtes Problem.  Soll etwa eine Gerade nicht echt
> parallel
> zu sich selber sein ?? Noch paralleler geht es doch gar
> nicht mehr !

Ich enthalte mich mal der Frage, ob zwei identische Geraden der Intuition von Parallelität gerade in besonderem Maße oder gerade nicht entsprechen.
Hier halte ich beide Sichtweisen für vertretbar.

Aber anstatt sich nun über diese beiden Sichtweisen zu streiten, kann man ja einfach für beide Sichtweisen von Parallelität je eine Bezeichnung einführen und je nach gewünschtem Zusammenhang die passende wählen.
Eine Möglichkeit, die sich anscheinend durchgesetzt hat, ist die Verwendung der Begriffe "parallel" und "echt parallel".
Dabei hat sich ja sogar deine Sichtweise insofern durchgesetzt, dass wenn von Parallelität an sich die Rede ist, deine Sichtweise gemeint ist.


>  Da hört mein Verständnis für gewisse Kollegen auf,
> welche
>  offenbar an einer Schubladisierungssucht leiden und nicht
>  ertragen können, dass man eine Gerade mit sich selber
> auf
>  Parallelität prüft.

Das kann ich nicht nachvollziehen. Ich sehe kein Problem darin, den Begriff der echten Parallelität zu verwenden und gleichzeitig Geraden mit sich selber auf Parallelität zu prüfen (und sie als parallel, aber nicht echt parallel anzusehen).


Mich würde interessieren:
- Stehst du dem Begriff der echten Teilmenge genauso kritisch gegenüber wie dem der echten Parallelität?
- Stört dich nur die Bezeichnung "echt parallel" oder stört dich überhaupt eine gesonderte Namensgebung für "parallel, aber nicht identisch"?
- Im erstgenannten Fall: Würden dir die Begriffe "strenge Teilmenge" bzw. "strenge Parallelität" oder "strikte Teilmenge" bzw. "strikte Parallelität" besser gefallen als "echte Teilmenge" bzw. "echte Parallelität"? Oder hast du gar einen besseren Vorschlag?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                        
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Geradenkonstellationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:28 Mi 20.04.2016
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Tag

Natürlich geht es mir nicht darum, einen Streit zu führen.
Der Begriff "echt parallel" in der dargestellten Bedeutung
war mir bisher wirklich nicht geläufig - vielleicht liegt das
daran, dass ich in Usbekistan aufgewachsen bin ...   ;-)


> Mich würde interessieren:
>  - Stehst du dem Begriff der echten Teilmenge genauso
> kritisch gegenüber wie dem der echten Parallelität?

Nein, und das kann ich auch sehr gut sprachlich begründen:
ein Teil einer Menge ist, so ganz "naiv" sprachlich betrachtet,
stets nur ein "echter" Teil der Menge, und nicht die ganze Menge.
Wenn man dann in der Mengenlehre will, dass eine Menge
stets  auch "Teilmenge" von sich selbst sei, so entfernt
man sich damit von dem ursprünglichen sprachlichen
Sinn - und so kann man dann sagen, eine Menge sei
eben eine "unechte" Teilmenge von sich selber.

Der Fall bei der Parallelität liegt da sprachlich gesehen
doch anders. Für eine tiefere Betrachtung müsste man
dabei wissen, von welcher Definition bzw. von welchem
Begriff von "Parallelität" man ausgeht. Manche würden
ja vielleicht sagen: zwei Geraden sind parallel, falls sie
keinen gemeinsamen Punkt haben. In diesem Fall wäre
natürlich eine Gerade nicht parallel zu sich selber.
Ferner ist eine derartige "Definition" der Parallelität
auf die Ebene (den zweidimensionalen euklidischen Raum)
beschränkt.  


>  - Stört dich nur die Bezeichnung "echt parallel" oder
> stört dich überhaupt eine gesonderte Namensgebung für
> "parallel, aber nicht identisch"?

Mir hat (in jahrzehntelanger Tätigkeit als Mathematiklehrer)
die Ausdrucksweise "parallel, aber nicht identisch"
absolut genügt.


>  - Im erstgenannten Fall: Würden dir die Begriffe "strenge
> Teilmenge" bzw. "strenge Parallelität" oder "strikte
> Teilmenge" bzw. "strikte Parallelität" besser gefallen als
> "echte Teilmenge" bzw. "echte Parallelität"?

Nein. Das wäre echt noch anstrengender ...

Schönen Tag !

Al

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Geradenkonstellationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:30 Mi 20.04.2016
Autor: tobit09

Hallo Al-Chwarizmi!


Vielen Dank für deine Meinung zu meinen Fragen!


> > Mich würde interessieren:
>  >  - Stehst du dem Begriff der echten Teilmenge genauso
> > kritisch gegenüber wie dem der echten Parallelität?
>  
> Nein, und das kann ich auch sehr gut sprachlich
> begründen:
>  ein Teil einer Menge ist, so ganz "naiv" sprachlich
> betrachtet,
>  stets nur ein "echter" Teil der Menge, und nicht die ganze
> Menge.
>  Wenn man dann in der Mengenlehre will, dass eine Menge
>  stets  auch "Teilmenge" von sich selbst sei, so entfernt
>  man sich damit von dem ursprünglichen sprachlichen
>  Sinn - und so kann man dann sagen, eine Menge sei
>  eben eine "unechte" Teilmenge von sich selber.
>  
> Der Fall bei der Parallelität liegt da sprachlich gesehen
>  doch anders. [...]

Ich denke, dies kann man sowohl im Falle der Teilmenge als auch im Falle der Parallelität unterschiedlich sehen; da kann ich mich nicht klar entscheiden.

Letztendlich finde ich entscheidend, jeweils klar definierte Begriffe zu haben. Dabei kann ich damit leben, wenn nicht alle Sprachgebräuche hundertprozentig zu jeder plausiblen Intuition / zum alltäglichen Sprachgebrauch (vgl. Freds "echt-geile-Kinovorstellung-Beispiel") passen.


Viele Grüße
Tobias

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Geradenkonstellationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:02 Mi 20.04.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al-Chwarizmi!
>  
> Vielen Dank für deine Meinung zu meinen Fragen!
> Letztendlich finde ich entscheidend, jeweils klar
> definierte Begriffe zu haben.

Bin natürlich einverstanden, dass dies insbesondere im
Bereich von Mathematik und Logik unabdingbar ist.

> Dabei kann ich damit leben,
> wenn nicht alle Sprachgebräuche hundertprozentig zu jeder
> plausiblen Intuition / zum alltäglichen Sprachgebrauch
> (vgl. Freds "echt-geile-Kinovorstellung-Beispiel") passen.

Ich schätze mich glücklich, noch einer Generation zuzugehören,
deren sprachliche Intuition noch nicht dermaßen inflationär durch
immer neue Slang-Kreationen irregeleitet und abgenutzt wurde.
Zu meinem alltäglichen (aktiven) Wortschatz gehören deshalb
weder "geil" noch das echt allmählich langweilig wirkende "echt"
als Verstärkungs-Partikel.

Gefreut habe ich mich aber, als mir meine Frau kürzlich sagte,
das von mir selber gebackene Brot sei "wie echt" ...

LG ,   Al


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Geradenkonstellationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:44 Di 19.04.2016
Autor: Leopold_Gast

Ich stimme tobit09 zu. Sein Beispiel "echte Teilmenge" zeigt genau, worauf es ankommt und welche Bedeutung "echt" in diesen Zusammenstellungen hat. Als weiteres Beispiel könnte man auch den "echten Teiler" anführen.
Ich kann die Aufregung von Al-Chwarizmi nicht nachvollziehen. "echt-parallel" ist ein gängiger Begriff. Daß er ihn noch nie gehört haben will, wundert mich, und ich bin mir nicht sicher, ob er dabei nicht ein bißchen flunkert. Gerade weil die Parallelität von Geraden auch deren Identität miteinschließt, ist es sinnvoll, für nicht-identische parallele Geraden einen eigenen Begriff zu haben, siehe zum Beispiel []hier.

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Geradenkonstellationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:46 Mi 20.04.2016
Autor: fred97

Guten Morgen,

ich habe auch ein Luxusproblem !

Neulich war ich im Kino. Als ich nach Filmende aus dem Kino kam, sagte jemand hinter mir: "Der Film war echt geil".

Kann mir jemand den Unterschied zwischen "geil" und "echt geil" erklären.

Bin für jeden Hinweis dankbar.

Gruß FRED

  

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Geradenkonstellationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 Sa 23.04.2016
Autor: leduart

Hallo
  [aufgemerkt] echt geil ist ein Film,  der nicht identisch geil (mit dem davor gesehenen ) ist!
oder der wirklich ( echt) so geil ist wie ihn jemand vorher beschrieben hat.
so wie deine Frage echt gut  in die  Diskussion passte. (also besser als die Teilmengen)
Gruß leduart

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Geradenkonstellationen: Aufgabe b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:50 Do 21.04.2016
Autor: Rebellismus

[mm] g_1: x=\vektor{3 \\ 4 \\ 7}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] mit [mm] t\in\IR [/mm]

[mm] g_2: x=\vektor{1 \\ 3 \\ 3}+s*\vektor{0 \\ -1 \\ 2} [/mm] mit [mm] s\in\IR [/mm]

Zuerst prüfe ich ob die Geraden linear abhängig sind:

[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} =k*\vektor{0 \\ -1 \\ 2} [/mm]

Das Gleichungssystem ist ein Widerspruch. Die Geraden sind nicht linear abhängig. Die geraden sind windschief oder schneiden sich.

[mm] g_1=g_2 [/mm]

[mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 7}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 3 \\ 3}+s*\vektor{0 \\ -1 \\ 2} [/mm]


[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 4}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=s*\vektor{0 \\ -1 \\ 2} [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

2+t=0   [mm] \Rightarrow [/mm] t=-2

1+t=-s   [mm] \Rightarrow [/mm] s=1

4+0=2s

Gleichung 3 ist ein widerspruch. Die geraden sind windschief

stimmt die Lösung?


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Bezug
Geradenkonstellationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Do 21.04.2016
Autor: fred97


> [mm]g_1: x=\vektor{3 \\ 4 \\ 7}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] mit
> [mm]t\in\IR[/mm]
>  
> [mm]g_2: x=\vektor{1 \\ 3 \\ 3}+s*\vektor{0 \\ -1 \\ 2}[/mm] mit
> [mm]s\in\IR[/mm]
>  
> Zuerst prüfe ich ob die Geraden linear abhängig sind:

Nein. Du prüfst, ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden linear abhängig sind oder nicht.


>  
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0} =k*\vektor{0 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>  
> Das Gleichungssystem ist ein Widerspruch. Die Geraden sind
> nicht linear abhängig. Die geraden sind windschief oder
> schneiden sich.
>  
> [mm]g_1=g_2[/mm]
>  
> [mm]\vektor{3 \\ 4 \\ 7}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 3 \\ 3}+s*\vektor{0 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>  
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 4}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=s*\vektor{0 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>  
> [mm]\gdw[/mm]
>  
> 2+t=0   [mm]\Rightarrow[/mm] t=-2
>  
> 1+t=-s   [mm]\Rightarrow[/mm] s=1
>  
> 4+0=2s
>  
> Gleichung 3 ist ein widerspruch. Die geraden sind
> windschief
>  
> stimmt die Lösung?

Ja

FRED

>  


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Geradenkonstellationen: aufgabe c)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 Do 21.04.2016
Autor: Rebellismus

Um die Koordinatenform zu bilden, muss man die Parameterform in ein Gleichungssystem umschreiben

[mm] g_1: x=\vektor{3 \\ 4 \\ 7}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm]

[mm] x_1=3+t [/mm]

[mm] x_2=4+t [/mm]

[mm] x_3=7 [/mm]

Jetzt muss eine gleichung nach t umgestellt werden und dann setzt man das ergebnis für t in eines anderen gleichungen ein

[mm] t=x_1-3 [/mm]

[mm] x_2=4+x_1-3 [/mm]

[mm] -1=x_1-x_2 [/mm]

ist die Lösung richtig? ich finde es komisch das die [mm] x_3-koordinate [/mm] nicht auftaucht.


[mm] g_2: x=\vektor{1 \\ 3 \\ 3}+s*\vektor{0 \\ -1 \\ 2} [/mm]

[mm] x_1=1 [/mm]

[mm] x_2=3-s [/mm]

[mm] x_3=3+2s [/mm]

[mm] s=3-x_2 [/mm]

[mm] x_3=3+2(3-x_2) [/mm]

[mm] x_3+2x_2=9 [/mm]

stimmt die Lösung?


Bezug
                
Bezug
Geradenkonstellationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 Do 21.04.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Um die Koordinatenform zu bilden, muss man die
> Parameterform in ein Gleichungssystem umschreiben
>  
> [mm]g_1: x=\vektor{3 \\ 4 \\ 7}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  
> [mm]x_1=3+t[/mm]
>  
> [mm]x_2=4+t[/mm]
>  
> [mm]x_3=7[/mm]
>  
> Jetzt muss eine gleichung nach t umgestellt werden und dann
> setzt man das ergebnis für t in eines anderen gleichungen
> ein
>  
> [mm]t=x_1-3[/mm]
>  
> [mm]x_2=4+x_1-3[/mm]
>  
> [mm]-1=x_1-x_2[/mm]
>  
> ist die Lösung richtig? ich finde es komisch dass die
> [mm]x_3-Koordinate[/mm] nicht auftaucht.


Das stimmt nicht !  Du darfst einfach nicht vergessen, dass da
ja auch noch die Gleichung steht, die sagt, dass [mm] x_3=7 [/mm] sein muss !

Die Darstellung der Geraden  [mm] g_1 [/mm]  "in Koordinatenform" muss also
lauten:

        $\ [mm] g_1\ [/mm] =\ [mm] \{ \pmat{x ,y ,z}^T\ \ \ | \ \ x_1-x_2+1=0\ \ \wedge \ x_3=7\ \ \} [/mm] $

      
Analog muss auch bei [mm] g_2 [/mm] zur Gleichung   [mm]x_3+2x_2=9[/mm]  noch
die Gleichung  [mm]x_1=1[/mm]   dazu genommen werden.

LG  ,    Al-Chw.

Bezug
                        
Bezug
Geradenkonstellationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:48 Fr 22.04.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,
  

>
> Das stimmt nicht !  Du darfst einfach nicht vergessen, dass
> da
>  ja auch noch die Gleichung steht, die sagt, dass [mm]x_3=7[/mm]
> sein muss !
>  
> Die Darstellung der Geraden  [mm]g_1[/mm]  "in Koordinatenform" muss
> also
>  lauten:
>  
> [mm]\ g_1\ =\ \{ \pmat{x ,y ,z}^T\ \ \ | \ \ x_1-x_2+1=0\ \ \wedge \ x_3=7\ \ \}[/mm]
>  

Was bedeutet das symbol [mm] \wedge [/mm] ?

Was ist die Koordinatenform der folgenden Gerade

[mm] g_3: x=\vektor{1 \\ 3 \\ 3}+s\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm]

[mm] x_1=1+s [/mm]

[mm] x_2=3-s [/mm]

[mm] x_3=3+2s [/mm]

[mm] \Rightarrow s=x_1-1 [/mm]

[mm] x_2=3-x_1+1 \gdw x_1+x_2=4 [/mm]

[mm] x_3=3+2x_1-2 \gdw x_3-2x_1=1 [/mm]

Die Koordinatenform wäre dann

[mm] g_3\ =\{\pmat{x_1 ,x_2 ,x_3}^T\ \ \ | \ \ x_1+x_2=4\ \ \wedge \ x_3-2x_1=1\ \ \} [/mm]

wäre das richtig?

Bezug
                                
Bezug
Geradenkonstellationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:57 Fr 22.04.2016
Autor: fred97


> Hallo,
>    
> >
> > Das stimmt nicht !  Du darfst einfach nicht vergessen, dass
> > da
>  >  ja auch noch die Gleichung steht, die sagt, dass [mm]x_3=7[/mm]
> > sein muss !
>  >  
> > Die Darstellung der Geraden  [mm]g_1[/mm]  "in Koordinatenform" muss
> > also
>  >  lauten:
>  >  
> > [mm]\ g_1\ =\ \{ \pmat{x ,y ,z}^T\ \ \ | \ \ x_1-x_2+1=0\ \ \wedge \ x_3=7\ \ \}[/mm]
>  
> >  

>
> Was bedeutet das symbol [mm]\wedge[/mm] ?

     "und "


>  
> Was ist die Koordinatenform der folgenden Gerade
>  
> [mm]g_3: x=\vektor{1 \\ 3 \\ 3}+s\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]x_1=1+s[/mm]
>  
> [mm]x_2=3-s[/mm]
>  
> [mm]x_3=3+2s[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow s=x_1-1[/mm]
>  
> [mm]x_2=3-x_1+1 \gdw x_1+x_2=4[/mm]
>  
> [mm]x_3=3+2x_1-2 \gdw x_3-2x_1=1[/mm]
>  
> Die Koordinatenform wäre dann
>  
> [mm]g_3\ =\{\pmat{x_1 ,x_2 ,x_3}^T\ \ \ | \ \ x_1+x_2=4\ \ \wedge \ x_3-2x_1=1\ \ \}[/mm]
>  
> wäre das richtig?

Ja

FRED


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Geradenkonstellationen: Eindeutigkeitsproblem
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Fr 22.04.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Was ist die Koordinatenform der folgenden Gerade
>  
> [mm]g_3: x=\vektor{1 \\ 3 \\ 3}+s\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]x_1=1+s[/mm]
>  
> [mm]x_2=3-s[/mm]
>  
> [mm]x_3=3+2s[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow s=x_1-1[/mm]
>  
> [mm]x_2=3-x_1+1 \gdw x_1+x_2=4[/mm]
>  
> [mm]x_3=3+2x_1-2 \gdw x_3-2x_1=1[/mm]
>  
> Die Koordinatenform wäre dann
>  
> [mm]g_3\ =\{\pmat{x_1 ,x_2 ,x_3}^T\ \ \ | \ \ x_1+x_2=4\ \ \wedge \ x_3-2x_1=1\ \ \}[/mm]
>  
> wäre das richtig?

Fred hat schon geantwortet:  es ist richtig.

Aber:  Dies ist nicht "die"  Koordinatenform für die vorliegende
Gerade, denn eine solche gibt es gar nicht im Sinne einer
eindeutigen Darstellung !

Dies ist auch der wichtigste Grund, weshalb man für die
Beschreibung von Geraden im [mm] \IR^3 [/mm]  meistens nicht
eine derartige Darstellung durch ein System von 2 Gleichungen
verwendet, sondern eher eine Parameterdarstellung.
Auch dabei hat man aber ein Problem betr. Eindeutigkeit,
denn man kann ja z.B. den Startpunkt für die Parameter-
darstellung im Prinzip irgendwo auf der Geraden wählen
und den Richtungsvektor mit einem beliebigen Faktor k
[mm] (k\not=0) [/mm]  strecken.

LG ,   Al-Chw.

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Geradenkonstellationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:27 Sa 23.04.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

> Die Darstellung der Geraden  [mm]g_1[/mm]  "in Koordinatenform" muss
> also
>  lauten:
>  
> [mm]\ g_1\ =\ \{ \pmat{x ,y ,z}^T\ \ \ | \ \ x_1-x_2+1=0\ \ \wedge \ x_3=7\ \ \}[/mm]
>  


Wie wandelt man die Koordinatenform zurück in die Parameterform? durch substitution?

[mm] x_1-x_2+1=0 [/mm]

substitution [mm] x_2=t [/mm]

Daraus folgt dann die Parameterform:

[mm] g_1: x=\vektor{-1 \\ 0\\ 7}+t*\vektor{1 \\ 1\\ 0} [/mm]

Diese Parameterdarstellung unterscheidet sich von der ursprünglichen Parameterdarstellung, aber ist das noch dieselbe gerade ?

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Geradenkonstellationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 Sa 23.04.2016
Autor: leduart

Hallo
ja dieselbe, Al hat dir schon gesagt, dass man jeden Punkt der Geraden als "Aufpunkt"
nehmen kann. und du kannst leicht ausrechnen dass die neuer Aufpunkt auch auf [mm] g_1 [/mm] liegt.
ist dir klar, dass die sog. Koordinatenform der Geraden 2 Ebenengleichungen sind, die gerade ist die Schnittgerade. da sich viel ebenen in der Geraden schneiden, ist auch die Koordinatenform nicht eindeutig.

Gruß leduart

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Geradenkonstellationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 So 24.04.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

> ist dir klar, dass die sog. Koordinatenform der Geraden 2
> Ebenengleichungen sind, die gerade ist die Schnittgerade.
> da sich viel ebenen in der Geraden schneiden, ist auch die
> Koordinatenform nicht eindeutig.


Das verstehe ich nicht. Welche gleichungen sind die 2 ebenengleichungen? den rest habe ich auch nicht verstanden

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Geradenkonstellationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:26 Mo 25.04.2016
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> > ist dir klar, dass die sog. Koordinatenform der Geraden 2
> > Ebenengleichungen sind, die gerade ist die Schnittgerade.
> > da sich viel ebenen in der Geraden schneiden, ist auch die
> > Koordinatenform nicht eindeutig.
>  
>
> Das verstehe ich nicht. Welche gleichungen sind die 2
> ebenengleichungen? den rest habe ich auch nicht verstanden


In


$ [mm] g_3\ =\{\pmat{x_1 ,x_2 ,x_3}^T\ \ \ | \ \ x_1+x_2=4\ \ \wedge \ x_3-2x_1=1\ \ \} [/mm] $

sind  [mm] x_1+x_2=4 [/mm] und [mm] x_3-2x_1=1 [/mm] Gleichungem von Ebenen..

[mm] g_3 [/mm] ist der Schnitt dieser Ebenen.

FREE


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