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Geradengleichung und Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Mi 07.05.2014
Autor: Lg99

Aufgabe
Gegeben sind die Punkte A(2/1/3), C(3/8/3) sowie die Gerade [mm] g_{a} [/mm] mit der Gleichung [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3-a \\ 3+3a \\ 3} [/mm] + [mm] r\vektor{-3 \\ 4 \\ 0}, a\in\IR. [/mm]

Eine der Geraden [mm] g_{a} [/mm] hat den kürzesten Abstand zum Ursprung. Bestimmen Sie diesen Abstand sowie eine Gleichung der entsprechenden Geraden.

Hey,

Zu der Aufgabe habe ich die übrigen Teilaufgaben schon gelöst, aber bei der hakt's jetzt irgendwie, wie kann ich ohne konkrete Abstandsangabe diese Gerade finden? Könnte mir eventuell jemand behilflich sein? :-)

Liebe Grüße

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Geradengleichung und Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Mi 07.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Gegeben sind die Punkte A(2/1/3), C(3/8/3) sowie die Gerade
> [mm]g_{a}[/mm] mit der Gleichung [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{3-a \\ 3+3a \\ 3}[/mm]
> + [mm]r\vektor{-3 \\ 4 \\ 0}, a\in\IR.[/mm]

>

> Eine der Geraden [mm]g_{a}[/mm] hat den kürzesten Abstand zum
> Ursprung. Bestimmen Sie diesen Abstand sowie eine Gleichung
> der entsprechenden Geraden.
> Hey,

>

> Zu der Aufgabe habe ich die übrigen Teilaufgaben schon
> gelöst, aber bei der hakt's jetzt irgendwie, wie kann ich
> ohne konkrete Abstandsangabe diese Gerade finden?

Das ist eine Aufgabenstellung, die man auf unterschiedliche Art und Weise lösen kann, je nachdem, über welche Konzepte man zum Bestimmen des Abstandes Punkt-Gerade verfügt. Vielleicht gibt es auch darüber hinaus eine elementargeometrische Überlegung, wenn, dann sehe ich sie im Moment allerdings nicht.

Berechne also zunächst mit einer Methode deiner Wahl den Abstand zwischen dem Ursprung und dem allgemeinen Geradenpunkt

[mm] G_a(3-a-3r|3+3a+4r|3) [/mm]

Dieser Abstand, das wird ein Wurzelterm sein, dessen Inhalt noch von a abhängt. Also eine Funktion d(a), wenn wir mal den Abstand mit d bezeichnen wollen. Diesen Wurzelterm gilt es zu minimieren. Auch hier können wir jetzt wieder nicht wissen, welche Methode hier angedacht ist. Man kann das einfach in den GTR eintippen. Oder man leitet die Wurzelfunktion ab und setzt die Ableitung gleich Null. Oder, und das wäre hier am elegantesten: eine Quadratwurzel ist dort minimal, wo ihr Inhalt minimal ist. Wenn du letzteres berücksichtigst, läuft das ganze auf eine ziemlich einfache Differenzialrechnung zur Bestimmung von a hinaus. Einsetzen in die Funktion d(a) liefert den Abstand, in die Geradengleichung die konkrete gesuchte Gerade.

Gruß, Diophant

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Geradengleichung und Abstand: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:49 Mi 07.05.2014
Autor: Lg99

Ok vielen Dank einen Ansatz habe ich zumindest, allerdings bin ich jetzt trotzdem noch nicht ganz sicher wie ich das ganze auflösen kann. Habe nun [mm] d=\wurzel{9-6a-18r+6ar+10r^{2}} [/mm] aber bin etwas verunsichert wie ich jetzt mit Differentialrechnung weiterarbeiten kann?

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Bezug
Geradengleichung und Abstand: Rechnung?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:53 Mi 07.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

sei bitte so gut und gib zu deinem Resultat die zugehörige Rechnung an. Da ist irgendwo ein Denkfehler drin, denn der Parameter r darf in dem Abstand nicht mehr vorkommen. Aber um das so aufzudröseln, da bräuchte es irgendjemand mit funktionierender Kristallkugel. Meine ist grad mal wieder zur Reparatur. :-)

Gruß, Diophant

Bezug
                                
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Geradengleichung und Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Mi 07.05.2014
Autor: Lg99

Haha ja klar sorry :-) Hab ich mir schon fast gedacht dass das nicht stimmen kann.. Ich hab den x-, y- und z- Wert des Geradenpunkts $ [mm] G_a(3-a-3r|3+3a+4r|3) [/mm] $ quadriert und addiert, also nach der Formel [mm] \wurzel{(3-a-3r)^2+(3+3a+4r)^2+3^3}, [/mm] weil der Koordinatenursprung mit (0/0/0) an den Werten nichts verändert.. Ok ist jetzt wahrscheinlich völlig falsch gedacht..

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Geradengleichung und Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Mi 07.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Haha ja klar sorry :-) Hab ich mir schon fast gedacht dass
> das nicht stimmen kann.. Ich hab den x-, y- und z- Wert des
> Geradenpunkts [mm]G_a(3-a-3r|3+3a+4r|3)[/mm] quadriert und addiert,
> also nach der Formel [mm]\wurzel{(3-a-3r)^2+(3+3a+4r)^2+3^3},[/mm]
> weil der Koordinatenursprung mit (0/0/0) an den Werten
> nichts verändert.. Ok ist jetzt wahrscheinlich völlig
> falsch gedacht..

Ja, in der Tat*. Mache einmal folgendes: betrachte zunächst einmal a als zwar unbekannte, aber feste Zahl. Jetzt berechne den Abstand zwischen Gerader und dem Ursprung auf die dir vertaute Art und Weise (also: Hilfsebene senkrecht auf g/Laufender Geradenpunkt/Kreuzprodukt, das wären ja so im wesentlichen die möglichen Verfahren).

Das, was du dabei als Resultat erhältst wird dann ausschließlich von a abhängen. Und da kommt dann die Differenzialrechnung ins Spiel, oder man sieht, dass es quadratische Ergänzung oder auch einfaches Ablesen (wenn man nämlich geschickt gerechnet hat) hier auch tut.

*So ganz falsch ist es dann auch wieder nicht. Mit der Kenntnis der mehrdimensionalen Differentialrechnung würde dein Ansatz funktionieren. Das aber steht in der Schule nicht zur Verfügung, und es macht keinerlei Sinn, im Zusammenhang dieser Aufgabe darauf einzugehen.

Gruß, Diophant

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Geradengleichung und Abstand: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:33 Mi 07.05.2014
Autor: Lg99

Oh stimmt hast recht, ok also ich hab jetzt die Hilfsebene bestimmt und den Schnittpunkt von Hilfsebene und Gerade und komme da auf (3,36+0,8a/2,52+0,6a/3). Wenn ich dann die Abstandsformel anwende, komme ich auf d= [mm] \wurzel{26,64+8,4a+1,03a^2} [/mm] . Ist der Weg so erstmal richtig?

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Geradengleichung und Abstand: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:37 Mi 07.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

da oben steht nirgends ein Rechenweg, nur Resultate. Was sollen wir jetzt machen, ein 'richtig oder falsch-Spiel'? :-)

Da sollte eine komplette Rechnung

- vom Aufstellen der Hilfsebene über
- die Berechnung des Lotfußunktes F als Schnittpunkt von H und der Geraden
- sowie die Berechnung des Abstands [mm] \overline{0F} [/mm]

stehen, wenn du möchtest, dass wir dir deine Fehler aufzeigen.

Zur Kontrolle: ich bekomme

[mm] d(a)=\bruch{1}{5}*\wurzel{225+(21-a)^2} [/mm] LE

Gruß, Diophant

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Geradengleichung und Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Mi 07.05.2014
Autor: Lg99

Ok tut mir leid, hier die Rechnung: Die Gleichung der Hilfsebene ist bei mir -3x+4y=0 , also ich habe den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor genommen und den Punkt (0/0/0) eingesetzt. Dann die Gerade in die Ebene eingesetzt, bei mir ergibt das dann -3(3-a-3r)+4(3+3a+4r)=0. Das habe ich dann aufgelöst nach -9+3a+9r+12+12a+16r=0 und zusammengefasst nach 3+15a+25r=0 und nach r umgestellt womit ich auf r=-0,6a-0,12 komme. Das habe ich dann in die Geradengleichung eingesetzt und komme auf [mm] \vektor{3-a \\ 3+3a \\ 3} [/mm] + [mm] \vektor{1,8a+0,36 \\ -2,4a-0,48 \\ 0}, [/mm] was dann zusammengefasst als (3,36+0,8a/2,52+0,6a/3) ergibt. Das habe ich dann eingesetzt in [mm] d=\wurzel{(3,36+0,8a)^2+(2,52+0,6a)^2+3^2} [/mm] und aufgelöst nach dem schon genannten Ergebnis. Also deins sieht zumindest schon mal besser aus, aber wie bist du darauf gekommen?

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Geradengleichung und Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 Mi 07.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Ok tut mir leid, hier die Rechnung: Die Gleichung der
> Hilfsebene ist bei mir -3x+4y=0

Die ist richtig. [ok]

> also ich habe den
> Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor genommen und
> den Punkt (0/0/0) eingesetzt. Dann die Gerade in die Ebene
> eingesetzt, bei mir ergibt das dann
> -3(3-a-3r)+4(3+3a+4r)=0.

Auch das ist richtig. [ok]

> Das habe ich dann aufgelöst nach

> -9+3a+9r+12+12a+16r=0 und zusammengefasst nach 3+15a+25r=0
> und nach r umgestellt womit ich auf r=-0,6a-0,12 komme.

Auch das passt, aber hier zeigt sich einmal wieder, dass Dezimalzahlen in der Analytischen Geometrie wenig zielführend sind (es ist ein wenig wie Fahrradfahren mit Stützrädern. :-) ). Schreibe hier also besser

[mm] r=-\bruch{3}{5}a-\bruch{3}{12} [/mm]

dann wird das insbesondere viel leichter nachvollziehbar (man tut in Klassenarbeiten bzw. Prüfungen auch den Korrektoren damit einen riesengroßen Gefallen!).


> Das

> habe ich dann in die Geradengleichung eingesetzt und komme
> auf [mm]\vektor{3-a \\ 3+3a \\ 3}[/mm] + [mm]\vektor{1,8a+0,36 \\ -2,4a-0,48 \\ 0},[/mm]
> was dann zusammengefasst als (3,36+0,8a/2,52+0,6a/3)
> ergibt. Das habe ich dann eingesetzt in
> [mm]d=\wurzel{(3,36+0,8a)^2+(2,52+0,6a)^2+3^2}[/mm] und aufgelöst
> nach dem schon genannten Ergebnis. Also deins sieht
> zumindest schon mal besser aus, aber wie bist du darauf
> gekommen?

Jo, gute Frage, ne? ;-)

Also zunächst mal Asche auf mein Haupt, denn dein obiges Ergebnis ist richtig. [ok]

Schreibe es doch nochmal auf, aber komplett mit Brüchen. Dann dürfte dir ins Auge springen, dass man aus der ganzen Wurzel den Faktor 1/25 herausziehen kann, was dann natürlich als 1/5 draußen ankommt. Dann ist es sicherlich auch in deiner Version nicht mehr ganz so schwer zu sehen, dass man da in der Wurzel eine quadratische Ergänzung vornehmen kann, die dann das Ergebnis auf die von mir gepostete Form bringt. Wohl gemerkt: unsere Ergebnisse sind identisch!

Ich weiß nicht, ob ihr das []Kreuzprodukt im [mm]\IR^3[/mm] schon durchgenommen habt, oder dies noch tun werdet. Mit der Kenntnis dieses Produktes, insbesondere seiner geometrischen Eigenschaften, kommt man recht leicht auf eine Formel für den Abstand Punkt-Gerade im [mm] \IR^3: [/mm]

[mm] d(P;g)=\bruch{\left|(\vec{p}-\vec{s})\times{\vec{n}}\right|}{|\vec{n}|} [/mm]

Darin sind: [mm] \vec{s}: [/mm] Stützvektor der Geraden, [mm] \vec{p}: [/mm] Ortsvektor des fraglichen Punktes sowie [mm]\vec{r}[/mm]: Richtungsvektor der Geraden.

Nun ist es so, dass ich mit diesen Dingen beruflich und täglich umgehe, von daher ist das bei mir Routine auf einem Schmierzettel neben dem PC. Wenn man das Kreuzprodukt neu erlernt, dann mag es einem von der Berechnung her sperrig vorkommen: aber glaube mir, es lohnt sich. Wenn du das ein wenig übst und Routine hast kannst du in der Vektorrechnung des [mm] \IR^3 [/mm] gerade im Rahmen der Schule eine Menge Zeit sparen, und damit minimiert man natürlich auch potentielle Fehlerquellen.

Also nochmals sorry fürs verfrühte 'falsch'-Schreien meinerseits, mach jetzt mal das mit der quadratischen Ergänzung (Kontrollergebnis hast du) und dann steht die Lösung im Prinzip ja da, und du brauchst keinerlei Ableitung mehr.

PS: beachte auch unbedingt noch den Lösungsvorschlag von Sax!

Gruß, Diophant 

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Geradengleichung und Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 Mi 07.05.2014
Autor: Lg99

Vielen Dank für die ausführliche Antwort, habe nun noch einmal alles mit Brüchen durchgerechnet und komme dann auf dein Ergebnis, ist wohl auch besser ohne Rundungswerte. Allerdings muss ich gestehen dass ich jetzt nicht wirklich weiß was ich daraus erlesen kann bzw. wieso mir das den Punkt mit dem geringsten Abstand zeigt.. ? Sax' Antwort macht auf jeden Fall Sinn, auch wenn ich wohl von allein da nie drauf gekommen wäre.

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Geradengleichung und Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Mi 07.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Vielen Dank für die ausführliche Antwort, habe nun noch
> einmal alles mit Brüchen durchgerechnet und komme dann auf
> dein Ergebnis, ist wohl auch besser ohne Rundungswerte.
> Allerdings muss ich gestehen dass ich jetzt nicht wirklich
> weiß was ich daraus erlesen kann bzw. wieso mir das den
> Punkt mit dem geringsten Abstand zeigt.. ?

Überlege doch einfach mal, für welchen Wert von a der Wurzelinhalt minimal wird (Tipp: die Klammer mit dem Quadrat kann ja minimal Null werden...). Wie groß ist dieser dann und welchen Abstand ergibt dies? :-)

> Sax' Antwort
> macht auf jeden Fall Sinn, auch wenn ich wohl von allein da
> nie drauf gekommen wäre.

Ja, die ist elegant. Schau dir aber mal seine Begründung genau an, dann sieht man, dass es doch auch gar nicht so schwierig ist, da drauf zu kommen.

Gruß, Diophant

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Geradengleichung und Abstand: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:13 Mi 07.05.2014
Autor: Lg99

Ah ja natürlich, hatte ich gerade echt ein Brett vor dem Kopf ;-) Ok dann komme ich auch auf die 3 :-) Ok auch wenn dich das jetzt wahrscheinlich ziemlich viel Geduld gekostet hat, vielen lieben Dank dass du dir die Zeit genommen hast :-)


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Geradengleichung und Abstand: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:26 Mi 07.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Ah ja natürlich, hatte ich gerade echt ein Brett vor dem
> Kopf ;-) Ok dann komme ich auch auf die 3 :-) Ok auch wenn
> dich das jetzt wahrscheinlich ziemlich viel Geduld gekostet
> hat,

Nein, das hat es nicht, und es ist mir derzeit ein Anliegen, das mal loszuwerden weshalb: du hast dein Anliegen klar und strukturiert vorgetragen und jede Antwort konstruktiv umgesetzt. So macht Helfen Spaß und ich sage: 

> vielen lieben Dank dass du dir die Zeit genommen hast

> :-)

Gern geschehen. :-)

Gruß, Diophant

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Geradengleichung und Abstand: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:29 Mi 07.05.2014
Autor: Lg99

Ok dann bin ich ja beruhigt :-) Einen schönen Abend noch! :-)

Bezug
                
Bezug
Geradengleichung und Abstand: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:56 Mi 07.05.2014
Autor: Sax

Hi,

> Vielleicht gibt es auch darüber hinaus eine elementargeometrische
> Überlegung

Ich weiß nicht, ob du das als elementargeometrisch bezeichnen würdest, aber jedenfalls elementar ist doch folgende Überlegung :

Die Geraden  [mm] \vec{x}=\vektor{3-a \\ 3+3a \\ 3}+ r\vektor{-3 \\ 4 \\ 0} [/mm] können doch auch in der Form  [mm] \vec{x} =\vektor{3 \\ 3 \\ 3}+a*\vektor{-1 \\ 3 \\ 0}+ r*\vektor{-3 \\ 4 \\ 0} [/mm]  geschrieben werden.

Das stellt offensichtlich eine Ebene dar, die wegen der fehlenden z-Komponente der Richtungsvektoren parallel zur x-y-Ebene verläuft und von dieser (wegen der 3 in der z-Komponente des Aufvektors) - also auch vom Nullpunkt - den Abstand 3 hat.
Derjenige Punkt der Ebene (=Geradenschar), der dem Nullpunkt am nächsten ist, ist offenbar P=(0|0|3) und die zugehörigen Parameterwerte a und r ergeben sich als Lösung eines $ [mm] 2\times [/mm] 2 $ Gleichungssystems, wenn man den Ortsvektor [mm] \vec{p} [/mm] von P in die Ebenengleichung einsetzt.

Gruß Sax.



Bezug
                        
Bezug
Geradengleichung und Abstand: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:17 Mi 07.05.2014
Autor: Diophant

Hallo Sax,


> Hi,

>

> > Vielleicht gibt es auch darüber hinaus eine
> elementargeometrische
> > Überlegung

>

> Ich weiß nicht, ob du das als elementargeometrisch
> bezeichnen würdest, aber jedenfalls elementar ist doch
> folgende Überlegung :

>

> Die Geraden [mm]\vec{x}=\vektor{3-a \\ 3+3a \\ 3}+ r\vektor{-3 \\ 4 \\ 0}[/mm]
> können doch auch in der Form [mm]\vec{x} =\vektor{3 \\ 3 \\ 3}+a*\vektor{-1 \\ 3 \\ 0}+ r*\vektor{-3 \\ 4 \\ 0}[/mm]
> geschrieben werden.

>

> Das stellt offensichtlich eine Ebene dar, die wegen der
> fehlenden z-Komponente der Richtungsvektoren parallel zur
> x-y-Ebene verläuft und von dieser (wegen der 3 in der
> z-Komponente des Aufvektors) - also auch vom Nullpunkt -
> den Abstand 3 hat.
> Derjenige Punkt der Ebene (=Geradenschar), der dem
> Nullpunkt am nächsten ist, ist offenbar P=(0|0|3) und die
> zugehörigen Parameterwerte a und r ergeben sich als
> Lösung eines [mm]2\times 2[/mm] Gleichungssystems, wenn man den
> Ortsvektor [mm]\vec{p}[/mm] von P in die Ebenengleichung einsetzt.

>

> Gruß Sax.

>

elementargeometrisch ist es nicht, aber sehr elegant und je nachdem, wie man den Abstand Punkt-Gerade berechnet noch schneller als mein Weg. :-)

Gruß, Diophant

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