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| Aufgabe | Es soll überprüft werden, ob [mm] g:\vec{x}=\vektor{2 \\ -3 \\ 0}+s*\vektor{-4 \\ 4 \\ 3} [/mm] auf der Ebene [mm] E:\vec{x}=\vektor{-8 \\ 7 \\ 2}+s*\vektor{1 \\ 1 \\ -1}+t*\vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] liegt.
Möglich ist: -Gleichung ist nicht lösbar
- Gleichung hat genau eine Lösung
- Gleichung hat unendlich viele Lösungen |
Hallo!
Ich habe folgendermaßen angefangen:
[mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 0}+s*\vektor{-4 \\ 4 \\ 3}=\vektor{-8 \\ 7 \\ 2}+r*\vektor{1 \\ 1 \\ -1}+t*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Dann habe ich die Variablen auf die eine Seite gebracht und konnte somit 3 Gleichungen aufstellen:
I. -4s-r-2t=-10
II. 4s-r=10
III. 3s+r-t=2
Jetzt habe ich Gleichung I und II nach r umgestellt:
I. r=10-4s-2t
II. r=-10+4s
Dann habe ich Gleichung I und II gleichgesetzt und nach t aufgelöst:
t=20
Was muss ich jetzt tun?
Vielen Dank für die Hilfe
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> Es soll überprüft werden, ob [mm]g:\vec{x}=\vektor{2 \\ -3 \\ 0}+s*\vektor{-4 \\ 4 \\ 3}[/mm]
> auf der Ebene [mm]E:\vec{x}=\vektor{-8 \\ 7 \\ 2}+s*\vektor{1 \\ 1 \\ -1}+t*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> liegt.
> Möglich ist: -Gleichung ist nicht lösbar
> - Gleichung hat genau eine Lösung
> - Gleichung hat unendlich viele Lösungen
>
> Hallo!
>
> Ich habe folgendermaßen angefangen:
> [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ 0}+s*\vektor{-4 \\ 4 \\ 3}=\vektor{-8 \\ 7 \\ 2}+r*\vektor{1 \\ 1 \\ -1}+t*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Dann habe ich die Variablen auf die eine Seite gebracht und
> konnte somit 3 Gleichungen aufstellen:
> I. -4s-r-2t=-10
> II. 4s-r=10
> III. 3s+r-t=2
>
> Jetzt habe ich Gleichung I und II nach r umgestellt:
> I. r=10-4s-2t
> II. r=-10+4s
> Dann habe ich Gleichung I und II gleichgesetzt und nach t
> aufgelöst:
> t=20
> Was muss ich jetzt tun?
>
> Vielen Dank für die Hilfe
Hallo leasarfati,
setze den gefundenen Wert für t in die Gleichungen
ein und berechne dann auch die Lösungswerte für
s und r.
Falls dies eindeutig bestimmbare Zahlenwerte
sind, berechne die Koordinaten x,y,z des Lösungs-
punktes (Schnittpunkt von Gerade und Ebene).
LG , Al-Chw.
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muss ich das in die Ausgangsgleichungen I., II. und III. einsetzen oder in die umgestellten Gleichungen?
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Hallo,
> muss ich das in die Ausgangsgleichungen I., II. und III.
> einsetzen oder in die umgestellten Gleichungen?
das spielt keine Rolle: auf jeden Fall aber in beide Gleichungen, falls du das LGS vollends lösen möchtest, um den Schnittpunkt zu berechnen.
Das ist aber, so wie du die Aufgabe eingestellt hast, nicht gefragt. Mache dir klar, dass du hier schon fertig bist und wie die Antwort auf die Frage lautet, welcher der drei Fälle vorliegt.
Gruß, Diophant
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Ich bin mir nicht ganz sicher, welcher der 3 Fälle vorliegt:
Ich habe für t=10, für s=8 und für r=22 raus.
Heißt das, dass es genau eine Lösung gibt und die Gerade die Ebene in einem Punkt schneidet?
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Hallo,
> Ich bin mir nicht ganz sicher, welcher der 3 Fälle
> vorliegt:
>
> Ich habe für t=10, für s=8 und für r=22 raus.
>
> Heißt das, dass es genau eine Lösung gibt und die Gerade
> die Ebene in einem Punkt schneidet?
Ja, das heißt es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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Und wie merke ich, ob eine Gleichung unendlich viele Lösungen hat?
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Hallo,
> Und wie merke ich, ob eine Gleichung unendlich viele
> Lösungen hat?
daran, dass sie unendlich viele Lösungen hat. Du musst auch dein LGS nochmal nachrechnen, und ich hätte dies auch tun sollen. Deine Lösungen sind falsch und dein Rechenansatz nicht nachvollziehbar.
Rechne mal das ursprüngliche LGS mit dem Gauß.Verfahren durch.
Gruß, Diophant
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> Ich bin mir nicht ganz sicher, welcher der 3 Fälle
> vorliegt:
>
> Ich habe für t=10, für s=8 und für r=22 raus. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Sorry, aber das stimmt doch hinten und vorne nicht !
LG
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Könnt ihr mir sagen, wo mein Fehler ist? Und mit Gauß haben wir das in der Schule noch nie gerechnet...
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> Könnt ihr mir sagen, wo mein Fehler ist?
In deiner Frage (ganz am Anfang) hast du geschrieben:
> Ich habe folgendermaßen angefangen:
> $ [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 0}+s\cdot{}\vektor{-4 \\ 4 \\ 3}=\vektor{-8 \\ 7 \\ 2}+r\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ -1}+t\cdot{}\vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] $
> Dann habe ich die Variablen auf die eine Seite gebracht
> und konnte somit 3 Gleichungen aufstellen:
> I. -4s-r-2t=-10
> II. 4s-r=10
> III. 3s+r-t=2
> Jetzt habe ich Gleichung I und II nach r umgestellt:
> I. r=10-4s-2t
> II. r=-10+4s
> Dann habe ich Gleichung I und II gleichgesetzt und nach t aufgelöst:
> t=20
Der Fehler war ganz am Schluss. Aus der "Gleichsetzung"
von I und II erhält man nicht t=20 , sondern 8s+2t=20 !
LG , Al-Chw.
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> Hallo,
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> > muss ich das in die Ausgangsgleichungen I., II. und III.
> > einsetzen oder in die umgestellten Gleichungen?
>
> das spielt keine Rolle: auf jeden Fall aber in beide
> Gleichungen, falls du das LGS vollends lösen möchtest, um
> den Schnittpunkt zu berechnen.
>
> Das ist aber, so wie du die Aufgabe eingestellt hast, nicht
> gefragt. Mache dir klar, dass du hier schon fertig bist und
> wie die Antwort auf die Frage lautet, welcher der drei
> Fälle vorliegt.
Hallo Diophant,
daraus, dass der Wert t (in der Parametergleichung
der Ebene) einen eindeutig bestimmten Wert hat,
folgt noch nicht die eindeutige Lösbarkeit des
gesamten Gleichungssystems. Hätte man aber etwa
für den Parameterwert s (in der Geradengleichung !)
einen eindeutigen Wert, dann wäre der Fall klar.
LG , Al-Chw.
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