Gerade v. PRF in Schulnotation < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben ist eine Gerade [m]g[/m] im [m]\IR^2[/m] durch [m]g: \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}[/m]. Berechnen Sie die Schulnotation von [m]g[/m]. |
Hallo zusammen,
mein Vorschlag ist es, die allgemeine Parameterdarstellung (Punkt-Richtungs-Form, PRF) einer Geraden [m]g[/m] im [m]\IR^2[/m] mit [m]g: \vec y + \lambda * \vec r = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix}[/m] allgemein aufzuschreiben.
Vorab, die Schulnotation soll [m]y=ax + b[/m] sein.
Wir haben also einen y-Achsenabschnitt [m]\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}[/m], somit setze ich die allgemeine Gleichung der ersten Komponente gleich Null. (siehe PRF)
Damit habe ich erstmal nach [m]\lambda[/m] aufgelöst [m]y_1 + \lambda r_1 = 0 \gdw \lambda = -\bruch{y_1}{r_1}[/m]
Nun [m]\lambda[/m] in die zweite Gleichung (mit der zweiten Komponente: [mm] y_2) [/mm] eingesetzt, ergibt: [m]y_2 -\bruch{y_1}{r_1}*r_2 := b[/m] (y-Achsenabschnitt) und die Steigung [m]a[/m] ist der Quotient der Komponenten des Richtungvektors [m]\vec r[/m], also [m]a = \bruch{r_2}{r_1}[/m]
Somit gilt für die allgemeine Geradengleichung (in Schulnotation) folgende PRF: [m]y = \bruch{r_2}{r_1} * x + y_2 -\bruch{y_1}{r_1}*r_2[/m]
Jetzt dürfte man die Komponenten aus der PFR der gegebenen Gerade ablesen, nämlich: [m]y_1 = 8, y_2 = 5[/m] und [m]r_1 = -2, r_2 = 3[/m] und diese in die hergeleitete PFR einsetzen, es gilt demnach:
[m]y = -\bruch{3}{2}*x + 5 - (-\bruch{8}{2})*3 = -\bruch{3}{2}*x + 5 + (4 * 3) = -\bruch{3}{2}*x + 17[/m]
Stimmt das soweit?
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Hallo, deine Gerade ist ok, Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Mo 28.04.2014 | | Autor: | gummibaum |
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mo 28.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Gerade ist zwar ok aber dein Weg dahin soch sehr kompliziert-
2 schnelle Wege
1- 2 Punkte der Geraden z.B ^lambda = 0 und 1 in y=ax+b einsetzen.
2. wie du richtig schreibst die Steigung der Richtungsvektors ist a,
für [mm] \lambda=4 [/mm] ist x=0 y=b
an deinem Weg ist nichts falsch, nur warum so umständlich? allerdings (8,5) den y Achsenabschnitt zu nennen ist falsch.
Gruß leduart
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