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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Mi 28.11.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Gesucht ist eine Gerade g, die den Punkt P(0|1|-2) enthält und senkrecht auf $E: [mm] -2x_1+3x_2+1x_3-4=0$ [/mm] steht. |
Hallo Zusammen,
der Richtungsvektor Geraden muss parallel zum Normalenvektor stehen und die Gerade erhält als Ortsvektor den Punkt P:
$g: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \cdot{} \vec [/mm] u$
nun [mm] $\vec [/mm] u$; Richtungsvektor der Geraden bestimmen:
[mm] $\vec [/mm] u = [mm] -2x_1+3x_2+1x_3-4=0$; [/mm] ich bestimme nun einfach das [mm] $x_3=2$ [/mm] und [mm] $x_2=3$ [/mm] ist nun muss nur noch [mm] x_1 [/mm] rechnerisch bestimmt werden:
[mm] $-2x_1 [/mm] + 3 [mm] \cdot{} [/mm] 3 + 1 [mm] \cdot{}2 [/mm] - 4=0$
[mm] $x_1= [/mm] 3,5$
also:
$g: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 3,5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
als Lösung steht aber:
$g: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm]
da. Wenn ich aber die beiden Vektoren multipliziere (Skalare Multiplikation) dann kommt nicht null heraus, also steht dieser nicht senkrecht darauf und dies war ja gefordert. Man kann ja nicht einfach den Normalenvektor als Richtungsvektor der Geraden hernehmen, oder? Stimmt die Musterlösung oder ist meine richtig? Vielen Dank im Voraus.
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Hallo itse!
Aus der gegebenen Ebenengleichung kannst Du doch den entsprechenden Normalenvektor ermitteln / ablesen mit [mm] $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{-2\\3\\1}$ [/mm] .
Wie der Name schon sagt, steht dieser Normalenvektor senkrecht auf die Ebene $E_$ und kann daher sofort als Richtungsvektor der gesuchten Geraden verwendet werden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Mi 28.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
okay dann bin ich da durcheinander gekommen mit der Normalenform, ich bilde ja aus der Ebenengleichung per Vektorprodukt den Normalenvektor und dieser steht senkrecht auf der Ebene und somit kann man diesen gleich verwenden. Mein Richtungsvektor ist aber auch nicht falsch oder? Oder hab ich jetzt einen Vekor der um 90° Grad verschoben zum Normalenvektor ist?
Kann man den vom Normalenvektor wieder auf die zwei Richtungsvektoren der Ebene gelangen?, wenn ich dort dann den Richtungsvektor der Geraden hernehmen müsste ja dann null herauskommen, oder?
In meinem Skript steht dass wenn der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene nicht senkrecht zueinander, so schneidet die Gerade die Ebene in einem Punkt. Also muss doch wenn ich den Normalenvektor mit dem Richtungsvektor der Gerade multipliziere muss dann Null herauskommen?
[mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot{} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = 14 also steht der Normalenvektor nicht senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mi 28.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
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> okay dann bin ich da durcheinander gekommen mit der
> Normalenform, ich bilde ja aus der Ebenengleichung per
> Vektorprodukt den Normalenvektor und dieser steht senkrecht
> auf der Ebene und somit kann man diesen gleich verwenden.
Yep, das ist so.
> Mein Richtungsvektor ist aber auch nicht falsch oder? Oder
> hab ich jetzt einen Vekor der um 90° Grad verschoben zum
> Normalenvektor ist?
Hmm, der ist weder Parallel zum Normalenvektor, noch Senkrecht dazu.
>
> Kann man den vom Normalenvektor wieder auf die zwei
> Richtungsvektoren der Ebene gelangen?, wenn ich dort dann
> den Richtungsvektor der Geraden hernehmen müsste ja dann
> null herauskommen, oder?
Wenn du die mi dem Skalarprodukt "bearbeitest", ja
>
> In meinem Skript steht dass wenn der Richtungsvektor der
> Gerade und der Normalenvektor der Ebene nicht senkrecht
> zueinander, so schneidet die Gerade die Ebene in einem
> Punkt. Also muss doch wenn ich den Normalenvektor mit dem
> Richtungsvektor der Gerade multipliziere muss dann Null
> herauskommen?
Nein.
Wenn du den Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene bestimmen sollst, ist der einfachste Weg, die Parameterform der Gerade in die Koordinatenform/Normalenform der Ebene einzusetzen, und dann nach den Parameter aufzulösen.
BSP:
[mm] E:\vektor{2\\2\\1}*\vektor{x\\y\\z}=1
[/mm]
[mm] g:\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\1\\2}+\lambda\vektor{2\\1\\1}
[/mm]
Dann g einsetzen:
[mm] \vektor{2\\2\\1}*\vektor{2\lambda\\1+\lambda\\2+\lambda}=1
[/mm]
[mm] \gdw 2*(2\lambda)+2(1+\lambda)+1*(2+\lambda)=1
[/mm]
Daraus kannst du jetzt den Parameter [mm] \lambda [/mm] für den Schnittpunkt ermitteln.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mi 28.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
nun zum letzten mal, hoffe ich zumindest. In meinem Skript steht weiterhin:
Sind der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene parallel so steht die Gerade senkrecht auf der Ebene.
also schön und gut, ich habe in der Aufgabe ja nur die Koordinatengleichung der Ebene und einen Punkt den die Gerade enthalten soll. So kann ich ja gleich den Normalenvektor hernehmen weil dieser auf der Ebene schon senkrecht steht. Ich kann aber hierbei keinen Vektor erzeugen der auch senkrecht auf der Ebene steht, dazu brauche ich doch erst die Ebenengleichung, oder versteh ich das ganze falsch? Und dort kann ich dann auch das Skalarprodukt anwenden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Mi 28.11.2007 | | Autor: | itse |
Könnte die Frage jemand beantworten, ansonsten kann ich im Skript nicht weitermachen, Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Mi 28.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo itse
Deine Frage ist für mich zu wirr.
Dir ist anscheinend klar, dass du mit der Koordinatendarstellung der Ebene schon Einen Normalenvektor der Ebene hast. Und zu einer Ebene gibts doch nur eine normale Richtung.
Und jetzt sagst du du kannst keinen Vektor erzeugen der senkrecht auf E steht??
Du hast ihn doch?
Vielleicht versuchst du klarer zu machen, um was es geht.
Der Satz im Skript hat mit der hier besprochenen Aufgabe wenig zu tun.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Mi 28.11.2007 | | Autor: | itse |
Okay dann stell ich die Frage so präzise es mir möglich ist. Ich habe die Ebene in Normalenform gegeben und einen Punkt und daraus soll ich eine Gerade bilden die senkrecht darauf steht.
Und der Normalenvektor steht ja schon senkrecht auf der Ebene. Gibt es immer nur einen Vektor der senkrecht auf der Ebene steht, oder?
Ansonsten hab ich den Vektor ja schon und brauche nichts mehr berechnen.
Also kann man aus der Koordinatengleichung der Ebene keinen Vektor berechnen der senkrecht auf dieser steht weil man den ja schon hat, oder?
Bin etwas verwirrt weil die Normalenform und die hessesche Normalenform neu für mich ist. Vielen Dank, itse.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mi 28.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, alles richtig. Du musst ihn nicht berechnen, aber wissen, dass er da schon steht! Das ist ja auch was, wie du aus deiner ersten Frage siehst!
dass es nur einen gibt (bis auf die Länge und + oder - ist dir hoffentlich klar. versuch mal 2 verschiedene Senkrechte zu deiner Tischplatte oder ner Wand zu finden! (Dagegen hat ne Gerade unendlich viele, nämlich alle, di in der dazu senkrechten Ebene liegen!)
Gruss leduart
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