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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Gerade im Raum - Abstand
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Gerade im Raum - Abstand: Was sagt mir das?
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:31 Di 20.11.2007
Autor: Blaub33r3

Aufgabe
Gegeben sind die Gerade g:x = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -1} [/mm] + [mm] t*\vektor{4 \\ -3 \\ 5} [/mm] und der Punkt [mm] P(0/0/p_{3}). [/mm]

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Geraden g in Abhängigkeit von [mm] p_{3}. [/mm] Für welchen Wert von [mm] p_{3} [/mm] ist der Abstand am geringsten?

Hallo Leute...

Geringste Strecke ist der Normalenvektor der Geraden, welcher durch den Punkt P geht.

Fußpunkt liegt auf der Geraden hat also die Koordinaten

F(2+4t/1-3t/-1+5t)

Fußpunkt F des Lotes von Punkt P berechnen:
Richtungsvektor der [mm] Gerade(\vec{u}) [/mm] ist orthogonal zum Lotvektor [mm] \overrightarrow{PF} [/mm]
, somit ist das Skalarprodukt = 0

[mm] \overrightarrow{PF}*\vec{u} [/mm]

[mm] \vektor{4 \\ -3 \\ 5} *\vektor{2+4t \\ 1-3t \\-1+5t-p_{3}} [/mm]

damit ergibt sich nach [mm] p_{3}=10t [/mm]

hm wie gehts weiter und was sagt mir das...wie muss ich das in die Funktion einsetzen und wo?...
        
Bezug
Gerade im Raum - Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Di 20.11.2007
Autor: informix

Hallo Blaub33r3,

> Gegeben sind die Gerade g:x = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -1}[/mm] +
> [mm]t*\vektor{4 \\ -3 \\ 5}[/mm] und der Punkt [mm]P(0/0/p_{3}).[/mm]
>  
> Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Geraden g
> in Abhängigkeit von [mm]p_{3}.[/mm] Für welchen Wert von [mm]p_{3}[/mm] ist
> der Abstand am geringsten?
>  Hallo Leute...
>  
> Geringste Strecke ist der Normalenvektor der Geraden,
> welcher durch den Punkt P geht.

[notok]
Der MBNormalenvektor bestimmt keine Strecke, da er beliebig lang sein kann, ohne die Eigenschaft der Orthogonalität zu verlieren.

>  
> Fußpunkt liegt auf der Geraden hat also die Koordinaten
>  
> F(2+4t/1-3t/-1+5t)

[ok]
>  
> Fußpunkt F des Lotes von Punkt P berechnen:
>  Richtungsvektor der [mm]Gerade(\vec{u})[/mm] ist orthogonal zum
> Lotvektor [mm]\overrightarrow{PF}[/mm]
>  , somit ist das Skalarprodukt = 0
>  
> [mm]\overrightarrow{PF}*\vec{u}[/mm]

[mm] \overrightarrow{PF}*\vec{u}=0 [/mm] sollte es heißen!
>  
> [mm]\vektor{4 \\ -3 \\ 5} *\vektor{2+4t \\ 1-3t \\-1+5t-p_{3}}[/mm]=0
>  
> damit ergibt sich nach [mm]p_{3}=10t[/mm]

das habe ich (noch) nicht nachgerechnet.
>  
> hm wie gehts weiter und was sagt mir das...wie muss ich das
> in die Funktion einsetzen und wo?...

Wenn du [mm] t=\bruch{p_3}{10} [/mm] in die Koordinaten für F einsetzt, erkennst du, dass und wie F von [mm] p_3 [/mm] abhängt.

Nun soll der Abstand |PF| minimal sein, das läuft wohl auf eine Extremwertaufgabe in [mm] p_3 [/mm] heraus...


Gruß informix
Bezug
                
Bezug
Gerade im Raum - Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:28 Di 20.11.2007
Autor: Blaub33r3

Hmm, erstmal danke!

ähm aber wie gehts denn weiter, nachdem ich t = p3/10 in den Punkt F eingesetzt habe.??
Ich weiß nicht, ich glaube ich erstmal schlafen, das wird nix mehr^^

Gute Nacht, Daniel

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Bezug
Gerade im Raum - Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:22 Mi 21.11.2007
Autor: M.Rex

Hallo

Du hast ja den Fusspunkt gegeben durch:

F=(2+4t/1-3t/-1+5t)  

mit [mm] t=\bruch{P_{3}}{10} [/mm] ergibt sich:

[mm] F(2+4\bruch{P_{3}}{10}/1-3\bruch{P_{3}}{10}/-1+5\bruch{P_{3}}{10}) [/mm]

Und die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{PF} [/mm] soll minimal werden.

Also:

[mm] \overrightarrow{PF} [/mm]
[mm] =\vec{f}-\vec{p} [/mm]
[mm] =\vektor{2+\bruch{4*P_{3}}{10}\\1-\bruch{3*P_{3}}{10}\\-1+\bruch{5*P_{3}}{10}}-\vektor{0\\0\\P_{3}} [/mm]
[mm] \vektor{2+\bruch{2*P_{3}}{5}\\1-\bruch{3*P_{3}}{10}\\-1-\bruch{P_{3}}{2}} [/mm]

Und diesen Vektor sollst du jetzt möglichst kurz machen.

Also:
[mm] |\vektor{2+\bruch{2*P_{3}}{5}\\1-\bruch{3*P_{3}}{10}\\-1-\bruch{P_{3}}{2}}| [/mm]
[mm] =\wurzel{(2+\bruch{2*P_{3}}{5})²+(1-\bruch{3*P_{3}}{10})²+(-1-\bruch{P_{3}}{2})²} [/mm]

Hiervon suchst du nun das Minimum

Marius
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Bezug
Gerade im Raum - Abstand: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:58 Mi 21.11.2007
Autor: Blaub33r3

Jap. Danke. Da hätte ich eigentlich auch drauf kommen müssen.^^

Aber super...xD

lg, Daniel
Bezug
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