Gerade durch Tetraeda < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mi 13.06.2012 | | Autor: | SallyIda |
| Aufgabe | | Welches Stück der Geraden durch die Punkte P (4/2/0) und Q (8/8/8) liegt innerhalb des Tertraedas mit den Eckpunkten A (5/9/3), B (6/4,5/10), C (3/0/4) und D (10/6/5)? |
Also ich habe erstmal die Geradengleichung aufgestellt:
g: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + k * [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}
[/mm]
ja und dann ich weiß nicht so genau ich habe erstmal die verbindungs Vektoren aufgestellt, der Seiten..
[mm] \vec [/mm] AB = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -4,5 \\ 7 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec [/mm] AC = [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ -9 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec [/mm] AD = [mm] \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec [/mm] BC = [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ -4,5 \\ -6 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec [/mm] BD = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 1,5 \\ -5 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec [/mm] CD = [mm] \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
doch wie soll Stück innerhalb des Tetraedas liegt?
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Hallo,
> Welches Stück der Geraden durch die Punkte P (4/2/0) und Q
> (8/8/8) liegt innerhalb des Tertraedas mit den Eckpunkten A
> (5/9/3), B (6/4,5/10), C (3/0/4) und D (10/6/5)?
> Also ich habe erstmal die Geradengleichung aufgestellt:
>
> g: [mm]\vec[/mm] x = [mm]\begin{pmatrix} 4 \\
2 \\
0 \end{pmatrix}[/mm] + k * [mm]\begin{pmatrix} 4 \\
6 \\
8 \end{pmatrix}[/mm]
>
ok, das passt, aber ich würden den Richtungsvektor noch verkürzen zu:
[mm] \vektor{4 \\ 6 \\ 8}=2*\vektor{2 \\ 3 \\ 4}
[/mm]
> ja und dann ich weiß nicht so genau ich habe erstmal die
> verbindungs Vektoren aufgestellt, der Seiten..
Nun, zunächst solltest du dir anschauen, ob man irgendwie an den Koordinaten der Punkte ein wenig abschätzen kann, wie das Tetraeder liegt und welche der Seitenflächen oder auch -kanten von der Geraden geschnitten werden könnten. Tipp: die [mm] x_3-Koordinaten [/mm] der Punkte A, C und D sind ähnlich, man könnte das Drieck ACD als 'Grundfläche' auszeichnen und B als Spitze.
Letztendlich wirst du die Gerade mit mindestens zwei Ebenen, in denen jeweils eine der Seitenflächen liegt, schneiden müssen. Wenn du nicht mit einem trick siehst, welches die beiden begrendzenmden Ebenen sind, dann musst du alle vier Seitenflächen wählen und dann entscheiden, welche beiden Schnittpunkte den fraglichen Abschnitt beranden.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mi 13.06.2012 | | Autor: | SallyIda |
so ich habe jetzt die Ebenengleichungen Aufgestellt:
E(A,B,C):x = [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + r * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -4,5 \\ 7 \end{pmatrix} [/mm] + s * [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ -9 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
und
E(A,B,D):x = [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + r * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -4,5 \\ 7 \end{pmatrix} [/mm] + s * [mm] \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
dann habe ich diese in die Koordinatenform umgeformt:
E (A,B,C) x = 58,5x-15y-18z=103,5
und
E (A,B,D) x = -12x+37y+25,5z=349,5
Dann habe ich die Geradengleichung in die beiden eingesetzt also:
für x=4-4r
für y=2-6r
für z=8r
Dann kam
bei der ersten [mm] r=\bruch{67}{192} [/mm]
bei der zweiten [mm] r=\bruch{647}{60}
[/mm]
Und wenn ich r dann in die Geradengleichung ensetzte bekomme ich
für S1 [mm] (\bruch{125}{48}/-\bruch{3}{32}/\bruch{67}{24})
[/mm]
und für S2 [mm] (-\bruch{587}{15}/-62,7/\bruch{1294}{15})
[/mm]
Der Verbindngsvektor von s1 und s2 stimmt auch mit dem Richtungsvektor der geraden überein, ist mit den Schnittpunkten das gesuchte stück der Geraden definiert?
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Hallo,
ich habe deine Schnittpunkte (vorerst) noch nicht nachgeprüft. Aber wie kommst du denn auf die Ebene [mm] E_{ABC}?
[/mm]
Also entweder machst du das so, dass du die Gerade mit allen vier Ebenen schneidest und dann entscheidest, welche beiden Schnittpunkte die begrenzenden sind. Woran kann man das wohl sehen?
Oder, und das ist wohl die Intention der Aufgabe, du machst dir vorher klar, um welche beiden Ebenen es geht. Meiner Ansicht nach müssen das die Ebenen [mm] E_{ADC} [/mm] und [mm] E_{ABD} [/mm] sein.
Wenn das eine Schulaufgabe ist, dann kannst du das jetzt zwar übernehmen, wirst es aber begründen müssen. Hast du dir einmal eine Schrägbildzeichnung angefertigt?
Gruß, Diophant
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Hallo SallyIda,
weil es so sehr weh tut, wenn man es liest:
Das Ding heißt "Tetraeder" und nicht "Tetraeda".
http://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo schachuzipus,
> Hallo SallyIda,
>
> weil es so sehr weh tut, wenn man es liest:
>
> Das Ding heißt "Tetraeder" und nicht "Tetraeda".
wahrscheinlich ist es son ein Monsta-Tetradea... 
Gruß, Diophant
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