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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Mo 23.04.2012 | | Autor: | ehaefner |
Ich sitze grade über dem Beweis der Konvergenz / Divergenz der geometrischen Reihe, da ich diesen morgen in meiner mündlichen Staatsexamensprüfung vortragen muss. In der Vorlesung haben wir das über eine Fallunterscheidung gemacht, aber das ist nun schon ein paar Semester her und einen Fall verstehe ich gar nicht.
Und zwar der Fall q<-1. Wir haben das wie folgt aufgeschrieben:
[mm] \summe_{k=0}^{n} q^k=\bruch{1-(-1)^{n+1}*\left| q \right|^{n+1}}{1+\left| q \right|} => \left\{\begin{matrix}
>\bruch{1}{1+\left| q \right|}, & \mbox{wenn }n\mbox{ gerade} \\
<\bruch{-1}{1+\left| q \right|}, & \mbox{wenn }n\mbox{ ungerade}
\end{matrix}\right.[/mm]
Aber leider habe ich da Null Kommentare und Erläuterungen und auch im Internet nichts dazu gefunden. Ich habe verstanden, dass das ganze divergent ist, weil es zwei Häufungspunkte gibt. Aber wie kommt man auf alles nach dem ersten = und warum steht da der Betrag?
Ich weiß natürlich, dass die Geometrische Reihe diese Form hat: [mm] \summe_{k=0}^{n} q^k=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] und wir sind im Fall q<-1 Aber ich hätte jetzt im Nenner einfach 1+q geschrieben ohne Betrag, weil q ist negativ und wenn ich dann (-1) ausklammere und und mit dem schon vorhandenen Minus verbinde bekomme ich einfach Plus, ohne Betrag, warum muß da also der Betrag stehen?
Und wie kommt man generell auf den Zähler und die Abschätzung der zwei Häufungspunkte?
Ich hoffe mir kann jemand helfen, es wäre wirklich wichtig für mich und ich sitze jetzt schon länger drüber und komme einfach nicht weiter...
Schon mal vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Mo 23.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich sitze grade über dem Beweis der Konvergenz / Divergenz
> der geometrischen Reihe, da ich diesen morgen in meiner
> mündlichen Staatsexamensprüfung vortragen muss. In der
> Vorlesung haben wir das über eine Fallunterscheidung
> gemacht, aber das ist nun schon ein paar Semester her und
> einen Fall verstehe ich gar nicht.
>
> Und zwar der Fall q<-1. Wir haben das wie folgt
> aufgeschrieben:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} q^k=\bruch{1-(-1)^{n+1}*\left| q \right|^{n+1}}{1+\left| q \right|} => \left\{\begin{matrix}
>\bruch{1}{1+\left| q \right|}, & \mbox{wenn }n\mbox{ gerade} \\
<\bruch{-1}{1+\left| q \right|}, & \mbox{wenn }n\mbox{ ungerade}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
> Aber leider habe ich da Null Kommentare und Erläuterungen
> und auch im Internet nichts dazu gefunden. Ich habe
> verstanden, dass das ganze divergent ist, weil es zwei
> Häufungspunkte gibt. Aber wie kommt man auf alles nach dem
> ersten = und warum steht da der Betrag?
>
> Ich weiß natürlich, dass die Geometrische Reihe diese
> Form hat: [mm]\summe_{k=0}^{n} q^k=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] und
> wir sind im Fall q<-1 Aber ich hätte jetzt im Nenner
> einfach 1+q geschrieben ohne Betrag, weil q ist negativ und
> wenn ich dann (-1) ausklammere und und mit dem schon
> vorhandenen Minus verbinde bekomme ich einfach Plus, ohne
> Betrag, warum muß da also der Betrag stehen?
Für q<-1 ist |q|=-q, also ist
[mm] \bruch{1-(-1)^{n+1}*\left| q \right|^{n+1}}{1+\left| q \right|}=\bruch{1-(-1)^{n+1}(-1)^{n+1}q^{n+1}}{1-q}=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
FRED
>
> Und wie kommt man generell auf den Zähler und die
> Abschätzung der zwei Häufungspunkte?
Was ist [mm] (-1)^{n+1} [/mm] für n gerade bzw. ungerade
FRED
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> Ich hoffe mir kann jemand helfen, es wäre wirklich wichtig
> für mich und ich sitze jetzt schon länger drüber und
> komme einfach nicht weiter...
>
> Schon mal vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mo 23.04.2012 | | Autor: | ehaefner |
$ [mm] (-1)^{n+1} [/mm] $ ist -1 für n gerade und +1 für n ungerade.
Aber das hier $ [mm] \bruch{1-(-1)^{n+1}\cdot{}\left| q \right|^{n+1}}{1+\left| q \right|}=\bruch{1-(-1)^{n+1}(-1)^{n+1}q^{n+1}}{1-q}=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] $ und die Abschätzung habe ich trotzdem immer noch nicht verstanden... Ich habe keine Ahnung wo ich da auf dem Schlauch stehe, aber ich stehe ganz gewaltig drauf...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo ehaefner!
Für [mm]q \ < \ -1 \ < \ 0[/mm] gilt ja: [mm]|q| \ = \ -q[/mm] (wie Fred oben schon schrieb).
Das setzen wir ein:
[mm]\bruch{1-(-1)^{n+1}\cdot{}\left| q \right|^{n+1}}{1+\left| q \right|} \ = \ \bruch{1-(-1)^{n+1}*(-q)^{n+1}}{1+(-q)} \ = \ \bruch{1-(-1)^{n+1}*(-1)^{n+1}*q^{n+1}}{1-q} \ = \ \bruch{1-[(-1)*(-1)]^{n+1}*q^{n+1}}{1-q} \ = \ \bruch{1-1^{n+1}*q^{n+1}}{1-q} \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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