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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 Mo 09.10.2006 | | Autor: | bastue |
| Aufgabe | Berechnen sie Tf(x;0) also die Taylorreihe von f um den ENtwicklungspunkt 0 für
f: ( -1 ; 1) --> R , f(x) := x * [mm] (1-x^2)^-1/2
[/mm]
Gibt es ein R >0 , so dass Tf(x;0) für |x| <R gegen f(x) konvergiert ? |
Servus !
Ich hab bei der Aufgabenstellung eine Musterlösung die ich nicht verstehe, und einmal meine Lösung die zwar zum Teil angeblich richtig war, aber trotzdem von der Musterlösung abwich . Versteh die beiden nicht mehr so richtig.
Also ich hab mir die geometrische Reihe angeschaut und für [mm] x^2 [/mm] < 1 konvergiert die und wird mit ein bisschen Umgeforme durch die Funktion
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} {-1/2 \choose n} (-x)^{2n+1}[/mm] dargestellt
in der Musterlösung steht aber
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} {-1/2 \choose n} (-1)^n*x^{2n+1}[/mm] . Hier versteh ich nicht wieso das -1 da auf einmal auftaucht, ich hatte nur Substituiert und bei mir kams nicht
Dann wird in der Musterlösung über das Quotientenkriterum der Konvergenradius bestimmt. Bzw da steht
" das ihr Konvergenzradius nicht größer als 1 ist, sieht man mit dem Quotientenkriterium , für x ungleich 0 ist "
[mm] \bruch{{-1/2 \choose n} x^{2n+3}}{{-1/2 \choose n} x^{2n+1}[/mm] =[mm] \bruch{|-1/2 - ( n+1) +1 |*x^2}{n+1} [/mm] und das geht für n gegen unendlich gegen [mm] |x|^2
[/mm]
Ich raff diesen letzten Schritt nicht so ganz wo die Binominalkoeffizienten auf einmal weg sind , hier den Fall direkt mit dem Quotientenkriterium... das wäre doch eigentlich für den Fall [mm] an*(x-xo)^n, [/mm] hier steht ja eigentlich die ganze Funktion im Bruch. Wurden die Binominalkoeffizientenda einfach nur ausgeschrieben ?Und was sagt mir das , wenn der Bruch gegen [mm] |x|^2 [/mm] geht. Dann wäre R [mm] =1/|x|^2 [/mm] , aber wir haben doch schon vorher über die SummenFunktionsverbindung gesagt, dass [mm] |x|^2 [/mm] bleibt ?
Die Lösung verwirrt mich jedenfalls enorm, würd mich freuen, wenn mir die wer erläutern könnte :)
basti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Mo 09.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo basti
> Berechnen sie Tf(x;0) also die Taylorreihe von f um den
> ENtwicklungspunkt 0 für
> f: ( -1 ; 1) --> R , f(x) := x * [mm](1-x^2)^-1/2[/mm]
>
> Gibt es ein R >0 , so dass Tf(x;0) für |x| <R gegen f(x)
> konvergiert ?
> Servus !
> Ich hab bei der Aufgabenstellung eine Musterlösung die ich
> nicht verstehe, und einmal meine Lösung die zwar zum Teil
> angeblich richtig war, aber trotzdem von der Musterlösung
> abwich . Versteh die beiden nicht mehr so richtig.
>
>
> Also ich hab mir die geometrische Reihe angeschaut und für
> [mm]x^2[/mm] < 1 konvergiert die und wird mit ein bisschen Umgeforme
> durch die Funktion
besser nicht Funktion, sondern Reihe!
Das ist nicht mehr die geom. Reihe , sondern eine geschickte Umformung, dass
[mm] \summe_{n=1}^{unendl}x^2 [/mm] für x<1 konvergiert hat nix mit dieser Umformung zu tun! Du kannst die TR ja auch ohne die "Umformung" der geom Reihe kriegen!
> [mm] \summe_{n=1}^{unendl} {-1/2 \choose n} (-x)^(2n+1)[/mm]
> dargestellt
>
> in der Musterlösung steht aber
> [mm] \summe_{n=1}^{unendl} {-1/2 \choose n} (-1^n (x)^(2n+1)[/mm] .
> Hier versteh ich nicht wieso das -1 da auf einmal
> auftaucht, ich hatte nur Substituiert und bei mir kams
> nicht
Du hast -x da stehen, und [mm] (-x)^{n}=(-1*x)^{n}=(-1)^{n}*x^{n}
[/mm]
also dasselbe!
> Dann wird in der Musterlösung über das Quotientenkriterum
> der Konvergenradius bestimmt. Bzw da steht
>
> " das ihr Konvergenzradius nicht größer als 1 ist, sieht
> man mit dem Quotientenkriterium , für x ungleich 0 ist "
>
>
[mm]\bruch{{-1/2 \choose n[red]+1[/red]} (x)^(2n+3)}{{-1/2 \choose n} (x)^(2n+
1)}[/mm]
=[mm] \bruch{|-1/2 - ( n+1) +1 |*x^2}{n+1}[/mm] und das geht für n
> gegen unendlich gegen [mm]|x|^2[/mm]
kleine Fehler in der Formel hab ich verbessert.
>
> Ich raff diesen letzten Schritt nicht so ganz wo die
> Binominalkoeffizienten auf einmal weg sind ,
die sind nicht weg, sondern teilweise gekürzt, dazu musst du die mit n und n+1 im Nenner so umschreiben, dass du kürzen kannst.
>hier den Fall
> direkt mit dem Quotientenkriterium... das wäre doch
> eigentlich für den Fall [mm]an*(x-xo)^n,[/mm] hier steht ja
das versteh ich nicht xo ist hier doch einfach 0.
> eigentlich die ganze Funktion im Bruch.
nein da steht nur [mm] a_{n+1}/a_{n}
[/mm]
und es bleibt für n geg [mm] \infty [/mm] nur [mm] x^{2} [/mm] über, d.h. es konvergiert nur, wenn x<1 ist. und die Werte, für die die Reihe konvergieren liegen innerhalb des Konvergenzradius. Falls x>1 divergiert die Reihe doch!
>Wurden die
> Binominalkoeffizientenda einfach nur ausgeschrieben ?Und
> was sagt mir das , wenn der Bruch gegen [mm]|x|^2[/mm] geht. Dann
> wäre R [mm]=1/|x|^2[/mm] , aber wir haben doch schon vorher über die
> SummenFunktionsverbindung gesagt, dass [mm]|x|^2[/mm] bleibt ?
Den letzten Satz versteh ich nicht, Wo hat man vorher gesagt ,dass [mm]|x|^2<1[/mm] bleibt? Das wurde beim Benutzen der geom. Reihe NICHT benutzt!
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:37 Mo 09.10.2006 | | Autor: | bastue |
Hey Leduart,
danke für deine Antwort.
Ok also das mit dem [mm] (-1)^n [/mm] ist mir klar, da hab ich an alles gedacht, aber nicht an einfache Potenzgesetze, die eigentlich überall stehen :)
Das mit dem Konvergenzradius, da stimm ich dir auch zu, da hab ich ein bisschen schluderig schnell gedacht.
Im Quotientenkriterium steht der Binominalkoeffizient. Musste sowas in 4 Mathesemestern irgendwie noch nie machen, werd ich mir mal anschauen, das wird dann wohl so sein :)
Was ich mich noch gerade frage ist die Sache mit dem Quotientenkriterium, das ist mir zwar ein bisschen peinlich , weil es mir vorkommt, als übersteh ich die ganze Zeit irgendein Miniding...
Bisher war es immer so,dass wir Potenzreihen hatten in der Form
[mm] \summe_{i=1}^{n} a_n(x-x_o)^n [/mm] und dann betrachtet man halt das an
Und im Quotient steht ja hier nun eigentlich alles bis auf das [mm] (-1)^n,... [/mm] also ich frage mich gerade nur ein bisschen verwirrt was das [mm] a_n [/mm] und was das [mm] (x)^n [/mm] eigentlich ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 11.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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