Geometrische Reihe < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Di 03.10.2006 | | Autor: | Smirgold |
| Aufgabe | Wieviele Glieder der geom. Reihe
s=1 + 0,8 + [mm] 0,8^2 [/mm] + [mm] 0,8^3 [/mm] + ... muss mann berücksichtige, damit der Fehler zu s
a) kleiner als 10^-3
b)kleiner als 0,1% wird ? |
Also das Prinzip ist mir schon klar. Habe auch eine etwas schwammige Lösung, aber bei der Umsetzung hapert es bei mir leider... Bin mir bei dem Auflösen von Beträgen immernoch sehr unsicher und hoffe dass ihr mir helfen könnt...
Mein Ansatz:
[mm] \left| s - s_n \right| [/mm] < 10^-3
[mm] s=\left( \bruch{1-q^n}{1-q} \right) [/mm] = 5
So, nun muss ich ja das n isolieren aber da liegt mein Problem...
In der Lösung wurde im ersten Schritt der Ansatz zu [mm] s_n [/mm] < [mm] \left| 5 - 10^-3 \right| [/mm] umgeformt. Stimmt das? Wenn ja, wie geht das?
Danke für eure Mühe,
Jan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hi, Smirgold,
> Wieviele Glieder der geom. Reihe
> s=1 + 0,8 + [mm]0,8^2[/mm] + [mm]0,8^3[/mm] + ... muss mann berücksichtige,
> damit der Fehler zu s
> a) kleiner als 10^-3
> b)kleiner als 0,1% wird ?
> Also das Prinzip ist mir schon klar. Habe auch eine etwas
> schwammige Lösung, aber bei der Umsetzung hapert es bei mir
> leider... Bin mir bei dem Auflösen von Beträgen immernoch
> sehr unsicher und hoffe dass ihr mir helfen könnt...
>
> Mein Ansatz:
> [mm]\left| s - s_n \right|[/mm] < 10^-3
> [mm]s=\left( \bruch{1-q^n}{1-q} \right)[/mm] = 5
>
> In der Lösung wurde im ersten Schritt der Ansatz zu [mm]s_n[/mm] <
> [mm]\left| 5 - 10^-3 \right|[/mm] umgeformt. Stimmt das? Wenn ja,
> wie geht das?
Na, das hast Du doch fast schon:
s - [mm] s_{n} [/mm] < [mm] 10^{-3}
[/mm]
(Die Betragstriche kann man hier weglassen, da [mm] s_{n} [/mm] echt monoton zunimmt und gegen 5 strebt!)
Mit s = 5:
5 - [mm] s_{n} [/mm] < [mm] 10^{-3} [/mm] | -5
[mm] -s_{n} [/mm] < [mm] 10^{-3} [/mm] - 5 |*(-1)
[mm] s_{n} [/mm] > 5 - [mm] 10^{-3} [/mm] (***)
Nun weiter:
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1 - 0,8^{n}}{1 - 0,8} [/mm] = [mm] \bruch{1 - 0,8^{n}}{0,2} [/mm] = 5*(1 - [mm] 0,8^{n}) [/mm] = 5 - [mm] 5*0,8^{n}
[/mm]
In (***) eingesetzt:
5 - [mm] 5*0,8^{n} [/mm] > 5 - [mm] 10^{-3} [/mm] | - 5
[mm] -5*0,8^{n} [/mm] > [mm] -10^{-3} [/mm] | : (-5)
[mm] 0,8^{n} [/mm] < 0,0002
Naja: Und das nach n aufzulösen schaffst Du sicher selbst!
(Zur Kontrolle: Ab n = 39 ist der Fehler kleiner als [mm] 10^{-3}.)
[/mm]
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Di 03.10.2006 | | Autor: | Smirgold |
Vielen Dank zwerglein!
Die Lösung ist wirklich sehr gut beschrieben. Bin bei diesen Betragsgeschichten immer etwas unsicher...
|
|
|
|
