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| Aufgabe | Sei [mm] $A=A^{T} \in \IR^{n \times n}$ [/mm] und sei [mm] $0<\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \hdots \leq \lambda_{s} [/mm] < [mm] \lambda_{s+1} \leq \hdots \leq \lambda_{n}$.
[/mm]
Weiter sei $S [mm] \in \mathbb{R}^{n \times s}$ [/mm] orthogonal mit $s [mm] \leq \frac [/mm] n 2$, [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] ein $s$-dimensionoaler Unterraum des [mm] $\mathbb R^{n}$ [/mm] mit $span(S) = [mm] \mathcal [/mm] S$.
Weiter sei [mm] $Z=[z_{1},z_{2}, \hdots, z_{s}]$, [/mm] sodass [mm] $\mathcal [/mm] Z = span(Z)$ der $A$-invariante Unterraum von $A$ bestehend aus den $s$ Eigenvektoren zu den $s$ kleinsten Eigenwerten.
Weiter sei [mm] $Z^{T}S \in \mathbb R^{s \times s}$ [/mm] invertierbar.
Dann gilt:
[mm] $\tan(\sphericalangle (z_{j}, A^{-k}\mathcal{S})) \leq (\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{s+1}})^{k} \tan(\sphericalangle(\mathcal{Z},\mathcal{S}))$ [/mm] |
Ich habe zwei Fragen zum Beweis dieses, den ich nicht im gesamten verstehe:
Erstmal definiere ich noch, was [mm] $\sphericalangle(\mathcal{Z},\mathcal{S})$ [/mm] ist:
Seien [mm] $\sigma_{1} \geq \sigma_{2} \geq \hdots \sigma_{s} \geq [/mm] 0$ die Singulärwerte von [mm] $Z^T [/mm] S$. Dann ist [mm] $\arccos(\sigma_{s})$ [/mm] der Winkel zwischen [mm] $\mathcal{Z}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{S}$.
[/mm]
Zuerst wird jetzt im Beweis dafür gesorgt, das [mm] $Z^T [/mm] S$ symmetrisch positiv definit ist. Dann steht im Beweis, dass [mm] $\Phi [/mm] = [mm] \arccos (\sphericalangle [/mm] (Z, S ))$ definiert ist. [mm] \\
[/mm]
[mm] \textbf{ Folgt das nicht schon aus der Invertierbarkeit von} $Z^T [/mm] S$ [mm] \textbf{da ja alle Singulärwerte größer Null sind?}
[/mm]
Dann habe ich weiter unten im Beweis noch eine Frage, deswegen poste ich mal den ganzen Zwischenteil:
Es existiert eine orthogonale Aufspaltung von $S$ in der Form:
$$ S = Z [mm] \cos (\Phi) [/mm] + J [mm] \sin \Phi, \quad [/mm] (1)$$
wobei $ J [mm] \in \mathbb R^{n \times s}$ [/mm] eine orthonormale Matrix mit Spaltenraum in [mm] $\mathcal Z^\perp [/mm] $ ist, d.h.
$$ [mm] Z^T [/mm] J =0, [mm] J^TJ=I_{s \times s}.$$
[/mm]
Aus (1) erhält man durch Linksmultiplikation mit [mm] $A^{-k} [/mm] $ und Rechtsmultiplikation mit [mm] $(\cos \Phi)^{-1} \Lambda^k \; (\Lambda [/mm] = diag [mm] (\lambda_1,...,\lambda_s))$:
[/mm]
$$ [mm] \begin{aligned} A^{-k} S (\cos \Phi)^{-1} \Lambda^k &= A^{-k}Z \Lambda^k + A^{-k} J \sin \Phi (\cos \Phi)^{-1} \Lambda^k \\
&= Z \Lambda^{-k} \Lambda^k + A^{-1} J \tan \Phi \Lambda^k \\
&= Z + A^{-k} J \tan \Phi \Lambda^k. \quad (2) \end{aligned}$$
[/mm]
Auch dies ist eine orthogonale Aufspaltung, denn
$$ [mm] Z^T A^{-k}J=(A^{-k} Z)^T [/mm] J=(Z [mm] \Lambda^{-k})^TJ=\Lambda^{-k}Z^TJ=0.$$
[/mm]
Mit [mm] $\Omega_k [/mm] = [mm] (J^T [/mm] A ^{-2k} [mm] J)^{\frac 1 2}$ [/mm] ist
[mm] $$A^{-k} [/mm] J = [mm] (A^{-k} [/mm] J [mm] \Omega_k^{-1})\Omega_k [/mm] = [mm] J_k \Omega_k. \quad [/mm] (3)$$
[mm] $J_k$ [/mm] ist orthogonal, denn
[mm] $$\begin{aligend} J_k^T J_k $= (A^{-k} J \Omega_k^{-1})^T (A^{-k} J \Omega_k^{-1}) \\
&= \Omega_,^{-1} J^T A^{-2T} J \Omega_k^{-1} \\
&= \Omega_k^{-1} \Omega_k^2 \Omega_k^{-1} = I. \end{aligend}$$
[/mm]
Für die Spektralnorm von [mm] $\Omega_k$ [/mm] gilt:
[mm] $$\begin{aligned}
\| \Omega_k\|^2 &= \max_{\|x\|_2 = 1} \| \Omega_k x\|^2 \\
&= \max_{\|x\| = 1} (x, J^T A ^{-2k} J x) \\
&= \max_{\|x\| = 1}(Jx, A^{-2k}Jx) \\
&\leq \max_{y \in \mathcal Z^\perp, \|y\|=1} (y,A^{-2k}y ) \\
&\leq \left( \frac{1}{\lambda_{s+1}}\right)^{2k}. \end{aligned}$$
[/mm]
Wir betrachten die $j$-te Spalte von (2).
$$ [mm] x_j^{(k)} [/mm] = [mm] A^{-k} [/mm] S [mm] (\cos \Phi)^{-1} \lambda_j^k e_j [/mm] := [mm] z_j+ u_j \quad \mbox{mit} [/mm] $$
$$ [mm] u_j [/mm] = [mm] J_k \Omega_k \tan \Phi \lambda^k e_j \quad \mbox{wegen (3)}.$$
[/mm]
[mm] \textbf{Und was ich nicht verstehe ist, warum die folgende Ungleichung gilt:}
[/mm]
[mm] $$\tan \sphericalangle (z_j, A^{-k} \mathcal [/mm] S) [mm] \leq \tan \sphericalangle (z_j, x_j^{(k)} [/mm] ).$$
Den Rest des Beweises verstehe ich dann wieder.
Vielen Dank für die Hilfe
Blascowitz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 19.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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