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| Aufgabe | | Wodurch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine geometrische Brownsche Bewegung zu einem beliebigen Zeitpunkt t unter eine bestimmte Grenze fällt, gegeben? |
Hallo,
ich habe ein ziemlich großes Problem, an dem ich so langsam verzweifel.
Ich brauche eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass eine geometrische Brownsche Bewegung zu einem beliebigen Zeitpunkt t unter eine bestimmte Grenze fällt.
-Kann mir da Jemand weiterhelfen???
Oder mir zumindest einen Tip geben, wie ich weiterkommen kann, in welcher Literatur ich gucken muss, etc.? Macht man das über Stoppzeiten???
Ich weiß zwar grundsätzliches über die Brownsche Bewegung, hab aber noch keine Vorlesungen gehört, kenne mich also nicht wirklich aus...
ich habe mir auch schon Unmengen von Literatur ausgeliehen, finde aber nicht das, was ich mir darunter vorstelle... Bin langsam wirklich total verzweifelt, brauche das dringend... :-(
Es wäre wirklich super, wenn mir irgendwer weiterhelfen könnte! Danke schon mal für Eure Mühen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mo 29.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Wodurch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine geometrische
> Brownsche Bewegung zu einem beliebigen Zeitpunkt t unter
> eine bestimmte Grenze fällt, gegeben?
Du hast also einen Zeitpunkt $t$ und eine Grenze $G$ vorgegeben, und willst wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit [mm] $X_t \le [/mm] G$ gilt, ohne irgendetwas ueber den vorherigen und zukuenftigen Lauf zu wissen?
Das ist doch einfach, da [mm] $X_t [/mm] = [mm] e^{W_t}$ [/mm] ist mit einem Wiener-Prozess [mm] $W_t$ [/mm] (eventuell noch skaliert und verschoben, weiss nicht mehr genau), und da [mm] $W_t$ [/mm] fuer festes $t$ normalverteilt ist (mit Parametern, die von $t$ abhaengen) kann man dann [mm] $P(X_t \le [/mm] G) = [mm] P(e^{W_t} \le [/mm] G) = [mm] P(W_t \le \log [/mm] G)$ schreiben, und dies ueber die Verteilungsfunktion der Normalverteilung bestimmen.
Oder meinst du etwas anderes?
LG Felix
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Hey Felix!
Danke! Das hilft mir glaub ich schon mal weiter.
Nur leider brauch ich auch noch den Erwartungswert, also für alle t in einem Zeitintervall [0,T]-kann ich den damit auch berechnen? oder geht das damit wg der Normalverteilung nicht?
LG Susanne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Do 01.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Susanne
> Danke! Das hilft mir glaub ich schon mal weiter.
> Nur leider brauch ich auch noch den Erwartungswert, also
> für alle t in einem Zeitintervall [0,T]-kann ich den damit
> auch berechnen? oder geht das damit wg der Normalverteilung
> nicht?
Welchen Erwartungswert? Von [mm] $X_t$, [/mm] fuer $t [mm] \in [/mm] [0, T]$? Den kannst du damit auch ausrechnen, du rechnest also [mm] $E(e^{W_t})$ [/mm] aus und [mm] $W_t$ [/mm] ist normalverteilt. (Tipp: das ist die momenterzeugende Funktion der Normalverteilung an der Stelle 1.)
LG Felix
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