Geometrische Abbildungswirkung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Do 14.06.2012 | | Autor: | hilikus |
| Aufgabe | Gegeben sei die Abbildung:
[mm]
A_{f1} = \pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{-1}{2} \\ \bruch{-1}{2} & \bruch{1}{2} }
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Abbildungen.
b) Bestimmen Sie die Eigenvektoren der Abbildungen.
c) Beurteilen Sie mit Hilfe der Eigenvektoren die geometrische Abbildungswirkung von f1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich habe bei dieser Aufgabe schon a und b erarbeitet und komme auf folgende Ergebnisse:
a) Eigenwerte: [mm]\lambda 1 = 0 , \lambda 2 = 1[/mm]
b) Eigenvektor für [mm]\lambda 1 = 0 : \vektor{1 \\ 1}[/mm]
Eigenvektor für [mm]\lambda 2 = 1 : \vektor{1 \\ -1}[/mm] & [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
Ich hoffe das stimmt jetzt soweit schonmal. Ich kann aber absolut nichts mit c) anfangen. Ich hoffe mir kann hier jemand helfen.
Danke schonmal!
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> Gegeben sei die Abbildung:
>
> [mm]A_{f1} = \pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{-1}{2} \\
\bruch{-1}{2} & \bruch{1}{2} }[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Abbildungen.
> b) Bestimmen Sie die Eigenvektoren der Abbildungen.
> c) Beurteilen Sie mit Hilfe der Eigenvektoren die
> geometrische Abbildungswirkung von f1
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Ich habe bei dieser Aufgabe schon a und b erarbeitet und
> komme auf folgende Ergebnisse:
> a) Eigenwerte: [mm]\lambda 1 = 0 , \lambda 2 = 1[/mm]
Richtig.
>
> b) Eigenvektor für [mm]\lambda 1 = 0 : \vektor{1 \\
1}[/mm]
Das ist einer, aber es gibt noch ein paar mehr Eigenvektoren:
es sind alle Vektoren [mm] k*\vektor{1\\1} [/mm] mit [mm] k\not=0 [/mm] Eigenvektoren.
Meist antwortet man auf die Frage nach den Eigenvektoren durch Angabe einer Basis des jeweiligen Eigenraumes, und eine solche hast Du oben geliefert.
>
> Eigenvektor für [mm]\lambda 2 = 1 : \vektor{1 \\
-1}[/mm] & [mm]\vektor{-1 \\
1}[/mm]
Das sind in der Tat zwei (linear abhängige) Eigenvektoren, aber man würde auf die gestellte Frage so nicht antworten. Entweder gib alle Eigenvektoren an, also [mm] k*\vektor{1\\-1} [/mm] mit [mm] k\not=0, [/mm] oder nenne eine Basis des in dieser Aufgabe eindimensionalen Eigenraumes: [mm] \vektor{1\\-1}.
[/mm]
>
>
> Ich hoffe das stimmt jetzt soweit schonmal. Ich kann aber
> absolut nichts mit c) anfangen. Ich hoffe mir kann hier
> jemand helfen.
Zunächst einmal ist es dafür wichtig, wirklich verstanden zu haben, was Eigenvektoren und Eigenwerte sind, und was Du zuvor ausgerechnet hast:
die Abbildung [mm] f_1 [/mm] bildet alle Vektoren, die in Richtung [mm] \vektor{1\\1} [/mm] sind, also alle Vielfachen dieses Vektors, auf den Nullvektor ab.
Alle Vektoren in Richtung [mm] \vektor{1\\-1}, [/mm] also die zu [mm] \vektor{1\\1} [/mm] senkrechten, werden auf sich selbst abgebildet.
Du sollst nun sagen, was für eine Abbildung das ist: z.B. Streckung, Drehung, Spiegelung, Projektion o.a.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Fr 15.06.2012 | | Autor: | hilikus |
Danke schonmal für die Antwort.
Ich glaube verstanden zu haben was ein Eigenvektor und Eigenwert ist.
Nur ich steh gerade trotzdem aufm Schlauch.
Wie mache ich das jetzt genau mit der c) ?
Löse ich das irgendwie mathematisch oder zeichnerisch?
Ich muss diese Aufgabe vielleicht an der Tafel vorrechnen und weiß absolut nicht wie ich da rangehen soll :(
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Fr 15.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstmal mach ne Zeichnung! mit den 2 geraden drin, auf denen die eigenvektoren liegen.
dann betrachte die 2 eigenschaften die dir angela genannt hat. kann das ne Drehung sein? ne Streckung, usw. was bleibt übrig?
dann kannst du ja nochmal nen beliebigen vektor nehmen, einzeichnen, ausrechnen wo er hinkommt und deine Vermutung bestätigen , nimm z:B (1,0) und (0,1) oder (3,4)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Fr 15.06.2012 | | Autor: | hilikus |
Auch dir danke für die Antwort!
Also ich zeichne also erstmal quasi die Eigenvektoren ein:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Alle vielfachen von dem Eigenvektor [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] werden auf [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] abgebildet.
Und alle Vektoren in Richtung [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm] werden auf sich selbst abgebildet.
Wenn [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm] auf sich selber abbildet, dann passiert doch damit garnichts oder?
Und was hat das zu bedeuten, dass der andere Vektor auf [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] abbildet?
Kann man mir das irgendwie mal bildlich erklären?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Fr 15.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte dir geraten,a) die ganze Gerade der EV zu zeichnen,
b) zu überlegen welche Abb das von angelas angegebenen sicher nicht sein können, dann überlegen, was übrig bleibt, das überprüfen, indem man das Bild von 3 weiteren vektoren errechnet und einzeichnet!
was davon hast du gemacht?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Fr 15.06.2012 | | Autor: | hilikus |
Also ich habe wie oben in der Zeichnung die beiden EV-Geraden eingezeichnet und für mich sieht das nach einer Spiegelung der x-Achse aus bzw. ich habe ja noch einen dritten EV [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm] der sich auf y-Achse mit dem EV [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] auch spiegelt.
Wenn ich jetzt beliebige Vektoren mit der Matrix multipliziere, dann liegen die Vektoren immer auf einen der drei EV.
Reicht das also quasi, dass ich beide alle drei EV einzeichne und einfach sage, dass sie sich spiegeln?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Sa 16.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schon angela hat dir gesagt, es gibt nicht "den" Eigenvektor
sondern unendlich viele, die liegen alle auf einer geraden!
(1,-1)=-1*(-1,1) ist einer der unendlich vielen!
Bei einer spiegelung an der x- achse werden doch nicht alle Vektoren (r,r) auf (0,0) abgebildet?
kein Vektor wird auf (1,1) abgebildet! alle abgebildeten haben die Form r*(1,-1), r reelle zahl (auch negativ)
also keie spiegelung! keine Drehung, keine Scherung, was bleibt denn? zeichne mal Pfeile von den Spitzen der Vektoren zum Bild ihrer Spitzen ( die Fußpunkte natürlich in (0,0))
nimm 3 oder besser 5 sehr verschiedene Vektoren!
und geh angelas Liste noch mal durch!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Sa 16.06.2012 | | Autor: | hilikus |
Danke für deine Hilfe!
Ich weiß jetzt zwar nicht ob das richtig ist, aber ich hoffe doch mal :)
Ich hab jetzt mal verschiedenste Vektoren eingezeichnet und die dann alle mal mit der Matrix multipliziert, damit ich die dazugehörigen Abbildungen bekomme. Diese habe ich auch wieder eingezeichnet und dann jeweils Vektor-Kopf mit Abbildungs-Kopf per Pfeil verbunden
Kann es sein, dass alle Vektoren auf die EV [mm]r * \vektor{1 \\ -1}[/mm]
projiziert werden?
Danke
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> Kann es sein, dass alle Vektoren auf die EV [mm]r * \vektor{1 \\
-1}[/mm]
> projiziert werden?
Hallo,
ja, es handelt sich um eine orthogonale Projektion auf die von $ [mm] \vektor{1 \\ -1}$ [/mm] aufgespannte Gerade.
LG Angela
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