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Hallo so hier mal eine neue Aufgabe, finde sie ziemlich schwer, habe auch noch keinen Geometrischen BEweis gefunden, dennoch konnte ich die AUfgabe mit Hilfe von MArcel und Paulus lösen. Viel SPass, bin gespannt!
Gegeben ist ein Quadrat ABCD. Auf der Seite BC liegt der Punkt E und auf der Seite CD der Punkt F. Die Punkte E und F liegen so, dass der Winkel EAF die Größe 45°hat.
Die Diagonale BD wird von der Strecke AE im Punkte P und von der Strecke AF im Punkte Q geschnitten.
Man beweise, dass der Flächeninhalt des Dreiecks AEF doppelt so groß ist wie der Flächeninhalt des Dreiecks APQ.
AChso das ist eine AUfgabe aus der Kreisolympiade.
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Hi Zwieback
Ich hab zwar einen sehr unschönen und umständlichen Beweis, der aber stimmen müsste, auch wenn die Aufgabe anders gedacht war:
Den Hohenfußpunkt der Höhe [mm]h_a[/mm] im Dreieck AEF wird mit L bezeichnet und der Winkel w(BAE) mit [mm]\alpha[/mm]
Es gilt nun [mm]3Eck_{ABE} \cong 3Eck_{AEL}[/mm] wegen I) [mm][AE][/mm] ; II)[mm]90°[/mm] ; III)[mm]EL=EB[/mm] (Dies kann man prüfen, indem man ein Koordinatensystem mit Ursprung A anlegt, und somit mit[mm] E(1|\tan(\alpha))[/mm] [mm][EB]=\tan\alpha[/mm] erhält. - jetzt wirds richtig unschön- Als nächstes errechtnet man die Koordinaten von F(in Abhängigkeit von [mm] \alpha), [/mm] Dann berechnet man die Steigung der Geraden durch E und F. Dann erhält für die Ortogonale Gerade durch A und L die Steigung [mm]-\bruch{1}{m_{EF}[/mm] und mit der Punktsteigungsform die Geradengleichung. Als nächsten werden die Koordinaten von L berechnet und zum Schluss erhält man den Abstand [LE], der gleich [EB] ist)
Wir haben also umständlich die Kongruenz bewiesen. Bei Spiegelung des Quadrates an der 1. Winkelhalbierenden erhält man ebenfalls die Kongruenz [mm] 3Eck_{ALF} \cong 3Eck_{AFD}[/mm]. Man erhält also nun [mm]A3Eck_{AEF}=A3Eck_{ABE}+A3Eck_{AFD}[/mm]. Mit [mm]A3Eck_{ABE}=\bruch{\tan\alpha*a}{2}[/mm] und [mm]A3Eck_{AFD}=\bruch{x_F*a}{2}[/mm].
Um den Flächeninhalt von [mm]3Eck_{APQ}[/mm] zu errechnen berechnet man die Koordinaten von P und Q, indem man sie als Schnittpunkt der Gerade durch D und B mit der gerade durch A und E bzw. A und F. Man kennt nun mit den Koordinaten auch die 3 Seitenlängen und somit durch Cosinussatz... auch den Flächeninhalt.
Jetzt vergleicht man die Flächeninhalte von [mm]3Eck_{AEF}[/mm] und [mm]3Eck_{APQ}[/mm] und hat damit die Aufgabe gelöst.
Ich selber hab mir nicht die Mühe gemacht das nachzurechnen, weil es doch sehr umständlich ist. Ich bin mir sicher, dass es auch einfacher gehen muss, da die Aufgabe bei der Kreis- und nicht bei einer Rechenolympiade gestellt wurde, aber ich wollt trotzdem mal die naheliegende Lösung schreiben.
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 So 26.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Hallo Samuel,
ich denke mal, dass man so wie du auch die Aufgabe lösen könntest, meine Variante ist nur mit "Winkeljagd" bewiesen, doch es muss doch eine elegante geometrische Lösung geben, kann da jemand helfen? Bin gespannt..
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