Geom. Verteilung aus Gleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei X eine Zufallsvariable mit Parameter p. Zeige, dass wenn für alle [mm] k,n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] $\IP(X=k) [/mm] = [mm] \IP(X=n-1+k|X\ge [/mm] n)$
dass dann X geometrisch verteilt ist mit geeignetem Parameter p. |
Hallo!
Ich habe Probleme bei obiger Aufgabe. Ich darf ja nicht einfach die geomtrische Verteilung einsetzen, weil ich damit nur zeige, dass die geometrische Verteilung die Gleichung erfüllt.
Also muss ich aus der Gleichung folgern, dass X geometrisch verteilt sein muss.
Ich habe so angefangen:
[mm] $\IP(X=k) [/mm] = [mm] \IP(X=n-1+k|X\ge [/mm] n) = [mm] \frac{\IP(X = n-1+k)}{\IP(X\ge n)}$
[/mm]
Und nun kann ich ja für k = 1 einsetzen, dann erhalte ich:
[mm] $\IP(X [/mm] = 1) = [mm] \frac{\IP(X = n)}{\IP(X\ge n)} [/mm] = [mm] \frac{\IP(X = n+1)}{\IP(X\ge n+1)} [/mm] = ...$
Ich dachte, dass das mir irgendwie helfen könnte. Aber jetzt fehlt mir eine Idee, wie ich weitermachen könnte.
Könntet ihr mir helfen 
Danke und Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:08 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei X eine Zufallsvariable mit Parameter p. Zeige, dass
> wenn für alle [mm]k,n\in\IN[/mm] gilt:
>
> [mm]\IP(X=k) = \IP(X=n-1+k|X\ge n)[/mm]
>
> dass dann X geometrisch verteilt ist mit geeignetem
> Parameter p.
Ich nehme an, dass dies eine Zufallsvariable auf [mm] $\IN$ [/mm] sein soll?
> Ich habe Probleme bei obiger Aufgabe. Ich darf ja nicht
> einfach die geomtrische Verteilung einsetzen, weil ich
> damit nur zeige, dass die geometrische Verteilung die
> Gleichung erfüllt.
> Also muss ich aus der Gleichung folgern, dass X
> geometrisch verteilt sein muss.
> Ich habe so angefangen:
>
> [mm]\IP(X=k) = \IP(X=n-1+k|X\ge n) = \frac{\IP(X = n-1+k)}{\IP(X\ge n)}[/mm]
>
> Und nun kann ich ja für k = 1 einsetzen, dann erhalte
> ich:
>
> [mm]\IP(X = 1) = \frac{\IP(X = n)}{\IP(X\ge n)} = \frac{\IP(X = n+1)}{\IP(X\ge n+1)} = ...[/mm]
Sei $F$ die Verteilungsfunktion von $X$. Da [mm] $\IP(X [/mm] = n) = F(n) - F(n + 1)$ und [mm] $\IP(X \ge [/mm] n) = F(n)$ ist, besagt deine Gleichung [mm] $\IP(X [/mm] = 1) = [mm] \frac{F(n) - F(n+1)}{F(n)} [/mm] = 1 - [mm] \frac{F(n+1)}{F(n)}$, [/mm] also [mm] $\frac{F(n+1)}{F(n)} [/mm] = 1 - [mm] \IP(X [/mm] = 1) =: a$. Es gilt also $F(n+1) = a F(n)$, woraus folgt $F(n) = [mm] a^{n-1} [/mm] F(1)$.
Kommst du damit weiter?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
danke für deine Antwort, hat mir sehr geholfen (Hab's beweisen können )
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
