Geo: Beweis für Schnittpunkte < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 So 15.04.2012 | | Autor: | Hybris |
| Aufgabe | | Wenn zwei Gedaden sich mindestens 2 mal schneiden, sind diese gleich. |
Hallo. Die Aufgabenstellung kann ich nicht mathematisch aus eigener kraft zeigen/beweisen. Dennoch ist es klar, dass wenn zwei Geraden sich mindestens 2 mal schneiden, gleich sein müssen bzw. zeichnerisch gesehen auf einander liegen müssen. Würde es nur einen Schnittpunkt geben, würden diese unterschiedlich sein. Somit meine Frage, wie kann man das auf mathematischer Sprache zeigen?
Gruß
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Hallo,
> Wenn zwei Gedaden sich mindestens 2 mal schneiden, sind
> diese gleich.
> Hallo. Die Aufgabenstellung kann ich nicht mathematisch
> aus eigener kraft zeigen/beweisen. Dennoch ist es klar,
> dass wenn zwei Geraden sich mindestens 2 mal schneiden,
> gleich sein müssen bzw. zeichnerisch gesehen auf einander
> liegen müssen. Würde es nur einen Schnittpunkt geben,
> würden diese unterschiedlich sein. Somit meine Frage, wie
> kann man das auf mathematischer Sprache zeigen?
> Gruß
am einfachsten per analytischer Geometrie: sicherlich liegt jeder der beiden Punkte auf beiden Geraden. Da die Punkte unterschiedlich sind, lässt sich aber nur genau eine Geradengleichung (bspw. per Zwei-Punkte-Form) aufstellen, die beide Punkte enthält.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 So 15.04.2012 | | Autor: | Hybris |
Hallo Diophant!
Danke für die Antwort. Kannst du mir das vielleicht etwas deutlicher erklären bzw vorzeigen?
Gruß
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Mathematisch bedeutet das die Funktionen der Graphen gleich sind:
d.h.: [mm] f_{1}-f{2} [/mm] = 0
Selbiges gilt analog zu Flächen- oder Volumenelementen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 So 15.04.2012 | | Autor: | Hybris |
Okay, aber wie soll ein normaler mensch logisch auf sowas kommen?
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 So 15.04.2012 | | Autor: | sn0opy22 |
Immer weiter Fragen stellen im Leben und auch wenn die anderen Menschen einen auslachen, fragen wenn du es nicht verstehst. Wer nicht fragt, bleibt dumm. Mathematikverstädnis entwickelt sich manchmal erst über Jahre, für viele Menschen ist das Nichts was man einfach über Nacht lernt. Lese viel zu Themen die dich interessieren und irgendwann geht dir dann ein Licht auf.
Ich wäre wegen Mathe bald von der Schule geflogen, stand immer 4-5 und dann hab ich Maschinenbau studiert (Physik konnt ich übrigens auch nie).
Manchmal braucht Talent und Interesse Zeit um sich zu entwickeln. :)
Mathematisch kannst du es auch so beweisen:
Zwei Punkte in einem Koordinatensystem lassen sich mit einer Steigung zueinander beschreiben. Diese ist definiert als m.
Also zum Beispiel P[5,4] und O[3,2]
m = [mm] \Delta [/mm] y / [mm] \Delta [/mm] x
Das heißt also zieht man beide y - Koordinaten der Punkte voneinander ab und teilt diese durch die ebenfalls voneinander abgezogenen x - Koordinaten erhält man eine Zahl mit der man jeden Punkt auf einer Geraden Linie zwischen beiden Punkten bezcihnen kann.
m = [mm] \Delta [/mm] y / [mm] \Delta [/mm] x = (y2-y1)/(x2-x1) = (4-2)/(5-3) = 1
Nun gibt es für Geraden eine allgemeine Gleichung, die sieht so aus:
y = m*x + c oder [mm] f_{x} [/mm] = m*x + c //beides das selbe
m haben wir gerade berechnet, fehlt nur noch c
y = m*x + c
=>[mit Punkt P] -> c = y - m*x => c = 4 - 1*5 => c = -1
Daraus ergibt sich: y = 1*x - 1 oder [mm] f_{x} [/mm] = x - 1
Das heißt beide Punkte lassen sich mit dieser Gleichung beschreiben. Man brauch nur zum Beispiel nur y Koordinate einsetzen und erhält die x Koordinate, die einen Punkt auf der Geraden beschreibt.
Die Gleichung y = m*x + c gilt für alle Geraden. c ist übrigens der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
Hilft dir das weiter ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 So 15.04.2012 | | Autor: | Hybris |
Ja ungemein! Danke :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:08 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Immer weiter Fragen stellen im Leben und auch wenn die
> anderen Menschen einen auslachen, fragen wenn du es nicht
> verstehst. Wer nicht fragt, bleibt dumm.
> Mathematikverstädnis entwickelt sich manchmal erst über
> Jahre, für viele Menschen ist das Nichts was man einfach
> über Nacht lernt. Lese viel zu Themen die dich
> interessieren und irgendwann geht dir dann ein Licht auf.
>
> Ich wäre wegen Mathe bald von der Schule geflogen, stand
> immer 4-5 und dann hab ich Maschinenbau studiert
> (Physik konnt ich übrigens auch nie).
Bist Du darauf stolz ?
Sag mir, was für Maschinen Du baust, die meide ich dann.
Zum Thema: dass Dein unten stehendes Geschwafel dem Fragesteller geholfen hat, wundert mich.
Gegeben sind also 2 Geraden mit den Gleichungen
y=nx+b und y=mx+c.
Die Frage nach Schnittpunkten läuft auf die Gleichung
nx+b=mx+c
hinaus.
Also auf
(n-m)x=c-b.
Ist n [mm] \ne [/mm] m so haben die Geraden genau einen Schnittpunkt.
Schneiden sich die Geraden in 2 Punkten, so muß also m=n sein. Dann ist auch c=b und die Geraden sind gleich.
FRED
>
> Manchmal braucht Talent und Interesse Zeit um sich zu
> entwickeln. :)
>
> Mathematisch kannst du es auch so beweisen:
>
> Zwei Punkte in einem Koordinatensystem lassen sich mit
> einer Steigung zueinander beschreiben. Diese ist definiert
> als m.
>
> Also zum Beispiel P[5,4] und O[3,2]
>
> m = [mm]\Delta[/mm] y / [mm]\Delta[/mm] x
>
> Das heißt also zieht man beide y - Koordinaten der Punkte
> voneinander ab und teilt diese durch die ebenfalls
> voneinander abgezogenen x - Koordinaten erhält man eine
> Zahl mit der man jeden Punkt auf einer Geraden Linie
> zwischen beiden Punkten bezcihnen kann.
>
> m = [mm]\Delta[/mm] y / [mm]\Delta[/mm] x = (y2-y1)/(x2-x1) = (4-2)/(5-3) =
> 1
>
> Nun gibt es für Geraden eine allgemeine Gleichung, die
> sieht so aus:
>
> y = m*x + c oder [mm]f_{x}[/mm] = m*x + c //beides das selbe
>
> m haben wir gerade berechnet, fehlt nur noch c
>
> y = m*x + c
>
> =>[mit Punkt P] -> c = y - m*x => c = 4 - 1*5 => c = -1
>
> Daraus ergibt sich: y = 1*x - 1 oder [mm]f_{x}[/mm] = x - 1
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> Das heißt beide Punkte lassen sich mit dieser Gleichung
> beschreiben. Man brauch nur zum Beispiel nur y Koordinate
> einsetzen und erhält die x Koordinate, die einen Punkt auf
> der Geraden beschreibt.
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> Die Gleichung y = m*x + c gilt für alle Geraden. c ist
> übrigens der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
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> Hilft dir das weiter ?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Mo 16.04.2012 | | Autor: | sn0opy22 |
> Bist Du darauf stolz ?
>
> Sag mir, was für Maschinen Du baust, die meide ich dann.
Stolz wird man nicht durch einen besonders geraden Lebensweg, sondern dadurch wie glücklich man ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Bist Du darauf stolz ?
> >
> > Sag mir, was für Maschinen Du baust, die meide ich dann.
>
> Stolz wird man nicht durch einen besonders geraden
> Lebensweg, sondern dadurch wie glücklich man ist.
Ooooh..., ein Hobby-Philosoph
FRED
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Mo 16.04.2012 | | Autor: | sn0opy22 |
> > > Bist Du darauf stolz ?
> > >
> > > Sag mir, was für Maschinen Du baust, die meide ich dann.
> >
> > Stolz wird man nicht durch einen besonders geraden
> > Lebensweg, sondern dadurch wie glücklich man ist.
>
>
> Ooooh..., ein Hobby-Philosoph
>
>
> FRED
> >
> >
>
Jo, wenigstens kein sturer Schwabe ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > Bist Du darauf stolz ?
> > > >
> > > > Sag mir, was für Maschinen Du baust, die meide ich dann.
> > >
> > > Stolz wird man nicht durch einen besonders geraden
> > > Lebensweg, sondern dadurch wie glücklich man ist.
> >
> >
> > Ooooh..., ein Hobby-Philosoph
> >
> >
> > FRED
> > >
> > >
> >
>
> Jo, wenigstens kein sturer Schwabe ;)
Ich bin Badener !!!
FRED
>
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Hallo,
die Zweipunkte-Form einer Geraden lautet
g: [mm] y=\bruch{y_B-y_A}{x_B-x_A}*(x-x_A)+y_A
[/mm]
Dabei geht g durch die Punkte A und B und es ist ja ganz offensichtlich, dass diese Gleichung für zwei feste, aber verschiedene Punkte A und B eindeutig ist.
In welchem Zusammenhang stellt sich dir die Frage denn? Die Antwort könnte uns helfen, dir zielführender zu helfen, insbesondere, wenn rein geometrisch begründet werden soll, eventuell unter Rückgriff auf Axiome.
Gruß, Diophant
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:22 So 15.04.2012 | | Autor: | Hybris |
Genau. Zur Lösung sollte ich Axiome 1 bis 4 anwenden. Allerdings fehlt mir hier wie gesagt der Ansatz. Gruß
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> Genau. Zur Lösung sollte ich Axiome 1 bis 4 anwenden.
> Allerdings fehlt mir hier wie gesagt der Ansatz. Gruß
Hallo,
Du bist ja ganz schön geheimnisvoll:
Du postest zwar im Forum Kl.8-10, aber eigentlich geht es um die axiomatische Geometrie der Hochschule?
Mir käme es auch nicht ganz unsinnig vor, wenn Du uns die vier zu verwendenden Axiome mal verraten würdest...
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:49 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Hybris |
Geheimnissvoll? Nein keines Weges! :)
Ich habe die Aufgaben halt dem Niveau versucht anzuordnen. Es beläuft sich auf der freiwilligen Basis, diese zu erledigen :)
Die Axiome:
1)Es gibt mindestens 3 Punkte die alle auf einer Geraden liegen
2)Durch je 2 Punkte geht genaue eine Gerade
3)Auf jeder Geraden liegen mindestens 2 Punkte
4)Auf jeder Geraden ist eine Relation < definiert
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:58 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
lies dir doch mal Axiom 2 nochmal genau durch...
Gruß, Diophant
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