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| Aufgabe | Eine ideale Münze wird 4mal geworfen.
Ergebnisraum: [mm] \Omega [/mm] = [mm] {[w_1, w_2 , w_3 , w_4) | w_i \in {W,Z} für i=1,2,3,4}.
[/mm]
[mm] X=\begin{cases} 0, & \mbox{falls beim 1. Wurf W auftrifft} \\ 1, & \mbox{falls beim 1. Wurf Z auftrifft } \end{cases}
[/mm]
Y= |A-B| mit A:=Anzahl Z und B:= Anzahl W
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y sowie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung.
b) Prüfen Sie X und Y auf stochastische Unabhängigkeit
c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X+Y und X*Y
d) Berechnen Sie E(X+Y) und Var(X+Y) |
zu a) Für Y: |A-B| = 0 oder 2 oder 4
X | 0 | 1 Y | 0 | 2 | 4
------------------------------- ---------------------------------------------
[mm] P(X=x_i) [/mm] | 0,5 | 0,5 [mm] P(Y=y_i) [/mm] | 0,375 | 0,5 | 0,125
| 0 | 2 | 4
-----------------------------------------
0 | 0,1875 | 0,25 | 0
1 | 0,1875 | 0,25 | 0,0625
------------------------------------------
b) P ( X [mm] \cap [/mm] Y) = P(X) * P(Y) = P(X=0) * P(Y=4) = 0,0625 [mm] \not= [/mm] o
also sind X und Y stochastisch abhängig!
c) ich habe absolut keine Ahnung wie ich hier vorgehen muss.
d) E(X+Y) = E(x) + E(Y) mit E(X)=0,5 und E(Y)=1,5 [mm] \Rightarrow [/mm] E(X+Y) = 2
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) mit Var(X)=0,25 und Var(Y)=1,75 [mm] \Rightarrow [/mm] Var(X+Y)=2
Ist das soweit richtig?
lg
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Hiho,
vorweg: Das sieht ja grausig aus. Bemühe dich das nächste mal das doch bitte etwas sauberer aufzuschreiben.
> zu a) Für Y: |A-B| = 0 oder 2 oder 4
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Fassen wir deine Tabellen mal kürzer und schöner zusammen:
$P(X=0) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = P(X=1)$
$P(Y=0) = 0,375$
$P(Y=2) = 0,5$
$P(Y=4) = 0,125$
Das stimmt auch alles.
> b) P ( X [mm]\cap[/mm] Y) = P(X) * P(Y) = P(X=0) * P(Y=4) = 0,0625
> [mm]\not=[/mm] o
>
> also sind X und Y stochastisch abhängig!
Hier machst du Blödsinn, weil deine Tabelle falsch ist. Offensichtlich gilt $P(X=0, Y=4) = [mm] P\left(\{(W,W,W,W)\}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{16} \not= [/mm] 0$
Und insbesondere also:
$P(X=0, Y=4) = [mm] \bruch{1}{16} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{8} [/mm] = P(X=0)*P(X=4)$
Also ist dein Gegenbeispiel keins.
Desweiteren ist deine Notation schrecklich. Was soll ein Ausdruck wie P(X) sein? Das macht mathematisch keinen Sinn. P ist ein W-Maß und bildet Mengen ab, X ist eine Zufallsvariable und offensichtlich keine Menge. Also kann P auch nicht drauf angewendet werden.
Sauber aufschreiben!
Und dann nochmal.
> c) ich habe absolut keine Ahnung wie ich hier vorgehen muss.
Wenn du die gemeinsame Verteilung kennst, kannst du solche Ausdrücke doch problemfrei berechnen.
Mach dir klar, welche Werte X+Y und X*Y annehmen können und berechne dann die Wahrscheinlichkeit über die Wahrscheinlichkeiten der Kombinationsmöglichkeiten.
> d) E(X+Y) = E(x) + E(Y) mit E(X)=0,5 und E(Y)=1,5 [mm]\Rightarrow[/mm] E(X+Y) = 2
> Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) mit Var(X)=0,25 und Var(Y)=1,75 [mm]\Rightarrow[/mm] Var(X+Y)=2
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Varianz kannst du nur auseinandernehmen, wenn X und Y unabhängig sind. Du hast ja aber heraus, dass X und Y nicht unabhängig sind, dann kannst du das nicht so machen.
Gruß,
Gono.
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Erst mal danke für deinen Anstoß! ;)
Also meine Tabelle war wirklich falsch, ich reiche daher mal schnell nach:
P(X=0 [mm] \cap [/mm] Y= 0)= P(X=1 [mm] \cap [/mm] Y= 0)= [mm] \bruch{3}{16}
[/mm]
P(X=0 [mm] \cap [/mm] Y= 2)= P(X=1 [mm] \cap [/mm] Y= 2)= [mm] \bruch{4}{16} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
P(X=0 [mm] \cap [/mm] Y= 4)= P(X=1 [mm] \cap [/mm] Y= 4)= [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
Daher ist Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung für alle Kombinationen Stoachstisch Unabhängig, daher kann die Var(X+Y) mit V(X) + V(Y) ermittelt werden.
Nochmals zu c):
Wahrscheinlichkeitsverteilung von X+Y:
0 für X=0 und Y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] P(X+Y=0)= [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
1 für X=1 und Y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] P(X+Y=1)= [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
2 für X=0 und Y=2 [mm] \Rightarrow [/mm] P(X+Y=2)= [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
3 für X=1 und Y=2 [mm] \Rightarrow [/mm] P(X+Y=3)= [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
4 für X=0 und Y=4 [mm] \Rightarrow [/mm] P(X+Y=4)= [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
5 für X=1 und Y=4 [mm] \Rightarrow [/mm] P(X+Y=5)= [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
Wenn ich dich richtig verstanden habe, schaue ich mir also die Kombinationsmöglichkeiten für z.B. X+Y = 3 an und dazu gibt es in dem Fall 1 Kombinationsmöglichkeit von insgesamt 6 Kombimöglichkeiten!?
Wenn das so ist, ist die X*Y auch klar..
Danke schonmal ;)
Ich hoffe meine Notation ist nun übersichtlicher und genauer..
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Hiho,
> Erst mal danke für deinen Anstoß! ;)
>
> Also meine Tabelle war wirklich falsch, ich reiche daher
> mal schnell nach:
>
> P(X=0 [mm]\cap[/mm] Y= 0)= P(X=1 [mm]\cap[/mm] Y= 0)= [mm]\bruch{3}{16}[/mm]
> P(X=0 [mm]\cap[/mm] Y= 2)= P(X=1 [mm]\cap[/mm] Y= 2)= [mm]\bruch{4}{16}[/mm] = [mm]\bruch{1}{8}[/mm]
Aha, seit wann gilt [mm] $\bruch{4}{16} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}$?
[/mm]
> Daher ist Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung für
> alle Kombinationen Stoachstisch Unabhängig, daher kann die
> Var(X+Y) mit V(X) + V(Y) ermittelt werden.
>
> Nochmals zu c):
>
> Wahrscheinlichkeitsverteilung von X+Y:
>
> 0 für X=0 und Y=0 [mm]\Rightarrow[/mm] P(X+Y=0)= [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
Wie kann da [mm] \bruch{1}{6} [/mm] rauskommen, wenn du doch gerade für das Ereignis
"X=0 und Y=0" eine andere Wahrscheinlichkeit herausbekommen hast?
Der Rest ist dann natürlich Mumpitz
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, schaue ich mir also
> die Kombinationsmöglichkeiten für z.B. X+Y = 3 an und
> dazu gibt es in dem Fall 1 Kombinationsmöglichkeit von
> insgesamt 6 Kombimöglichkeiten!?
Ja, aber deine Folgerung für die WKeit stimmt dann leider nicht.
Gruß,
Gono.
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Hallo Gono
> Aha, seit wann gilt [mm]\bruch{4}{16} = \bruch{1}{8}[/mm]?
Jap, an der Stelle habe ich mich vertippt. Ist klar, dass
[mm] \bruch{4}{16} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ist!
> > Nochmals zu c):
> >
> > Wahrscheinlichkeitsverteilung von X+Y:
> >
> > 0 für X=0 und Y=0 [mm]\Rightarrow[/mm] P(X+Y=0)= [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
>
> Wie kann da [mm]\bruch{1}{6}[/mm] rauskommen, wenn du doch gerade
> für das Ereignis
> "X=0 und Y=0" eine andere Wahrscheinlichkeit herausbekommen
> hast?
(*) Also nehme ich für P(X+Y=0) = P( X=0 [mm] \cap [/mm] Y=0) = [mm] \bruch{3}{16} [/mm] usw?
Naja wenn die Aussage:
> > Wenn ich dich richtig verstanden habe, schaue ich mir also
> > die Kombinationsmöglichkeiten für z.B. X+Y = 3 an und
> > dazu gibt es in dem Fall 1 Kombinationsmöglichkeit von
> > insgesamt 6 Kombimöglichkeiten!?
stimmt, dann ist die neue Überlegung ja oben(*) falsch!?
wie sieht das dann für X*Y aus??
Sry, wenn ich mich so dumm anstelle aber hab das vorher nie irgendwo gesehen...;)
Gruß
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Hiho,
> (*) Also nehme ich für P(X+Y=0) = P( X=0 [mm]\cap[/mm] Y=0) = [mm]\bruch{3}{16}[/mm] usw?
> Naja wenn die Aussage:
>
> > > Wenn ich dich richtig verstanden habe, schaue ich mir also
> > > die Kombinationsmöglichkeiten für z.B. X+Y = 3 an und
> > > dazu gibt es in dem Fall 1 Kombinationsmöglichkeit von
> > > insgesamt 6 Kombimöglichkeiten!?
>
> stimmt, dann ist die neue Überlegung ja oben(*) falsch!?
Nein. Beides stimmt. Du schaust erst, welche Kombinationsmöglichkeiten es gibt und bestimmst dann die Gesamtwahrscheinlichkeit aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Kombinationen.
Analog eben bei X*Y, da wird es aber interessanter.
Gruß,
Gono.
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