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Gemeinsame Verteilung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Di 15.05.2012
Autor: dimi727

Aufgabe
Wir betrachen ein zufallsexperiment mit N Urnen. Es wird M Mal unabhängig nach der Gleichverteilung auf den Urnen eine gewählt und eine Kugel hineingelegt, sodass wir am Ende M Kugeln auf N Urnen verteilt haben.

Für j [mm] \in [/mm] {1,...,N} sei [mm] X_{j} [/mm] die Anzahl der Kugeln in der j-ten Urne.

(i) Zeigen Sie : Für alle [mm] (x_{1},...,x_{N}) \in [/mm] (hier sollen Mengenklammern stehen) [mm] {(0,...,M)}^{N} [/mm] mit [mm] \summe_{i=1}^{N} x_{i} [/mm] = M gilt :

[mm] P(X_{1}=x_{1},...,X_{N}=x_{N}) [/mm] = [mm] \bruch{M!}{x_{1}!*...*x_{n}!N^{M}} [/mm]

Hi!

Ich brauche eine Idee für die obere Aufgabe,da ich garnicht weiß,wie ich da rangehen soll? Ich komme mit den Unterlagen aus deR Vorlesung auch nicht weiter. Das einzige,was ich ansonsten noch was ist:

[mm] P(X_{i}=x_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{x_{1},...,x_{i-1},x_{i+1},...,x_{n}} p_{X}(x_{1},...,x_{n}) [/mm]

Aber weiter? ICh habe gerade nichtmal eine Idee für eine P-Funktion? EInfach Urnenmodel ohne zurücklegen und ohne Reihenfolge?

Ich stehe total auf dem Schlauch,wie ich das angehen kann,bitte um einen Tipp/Idee/Erklärung!

lG!

        
Bezug
Gemeinsame Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:20 Di 15.05.2012
Autor: Blech

Hi,

Also, die Anzahl der Möglichkeiten, [mm] $x_1$ [/mm] Kugeln aus M Kugeln auszuwählen ist

[mm] ${M\choose x_1}$ [/mm]

Es verbleiben [mm] $M-x_1$ [/mm] Kugeln und N-1 Urnen. Also machen wir mit der zweiten weiter.
Die Anzahl der Möglichkeiten, [mm] $x_2$ [/mm] Kugeln aus [mm] $M-x_1$ [/mm] auszuwählen ist
[mm] ${M-x_1\choose x_2}$ [/mm]

Jetzt haben wir noch [mm] $M-x_1-x_2$ [/mm] Kugeln und N-2 Urnen. Als nächstes kommt die dritte, dann die vierte, etc. bis wir induktiv durch alle durch sind.


Also gibt es insgesamt
[mm] ${M\choose x_1}{M-x_1\choose x_2}{M-x_1-x_2\choose x_3}\cdots {?\choose ?}$ [/mm]

Möglichkeiten, die M Kugeln wie gewünscht auf die N Urnen zu verteilen.

Jetzt setzt Du da mal die Definition des Binomialkoeffizienten ein.

ciao
Stefan

Bezug
                
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Gemeinsame Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 Di 15.05.2012
Autor: dimi727

Ok habe ich und es kürzt sich vieles weg, wobei ja am Ende im Nenner steht :

[mm] (M-x_{1}-..-x_{N})! [/mm] , was ja 1 ist, da die Differenz ja 0 ergibt.

Jetzt fehlt mir aber zum Abschluss noch das [mm] N^{M} [/mm] , woher kommt das? Wegen der Gleichverteilung? Müsste sie dann  eigentlich nicht auch [mm] M^{N} [/mm] sein?

lG

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Gemeinsame Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:07 Mi 16.05.2012
Autor: luis52

Moin, stell dir die $M_$ Kugeln als von 1 bis $M_$ nummeriert vor. Kugel 1 kann in Urne 1 bis $N_$ gelegt werden. Kugel 2 auch, macht [mm] $N^2$ [/mm] Moeglichkeiten fuer das Kugelpaar (1,2) ...

vg Luis

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