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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Gekoppeltes Eigenwertproblem
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Gekoppeltes Eigenwertproblem: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:39 Fr 25.05.2012
Autor: Denny22

Hallo, sei [mm] $S\in\IR^{d,d}$ [/mm] eine schiefsymmetrische Matrix (d.h. [mm] $S^T=-S$). [/mm]

Meine Frage ist, ob sich das folgende $2d$-dimensionale gekoppelte Eigenwertproblem

  [mm] $\pmat{ 0 & S^T \\ S & 0 }\vektor{w_1 \\ w_2}=\mu\vektor{w_1 \\ w_2}$ [/mm]

entkoppeln lässt. Dieses System lässt sich schreiben als

   (1) [mm] $S^T w_2=\mu w_1$ [/mm]
   (2) $S [mm] w_1=\mu w_2$ [/mm]

Ich bin jetzt an den Lösungen interessiert und würde dieses $2d$-dimensionale System gerne als $d$-dimensionales System schreiben.

Ich starte mal einen Versuch: Sei [mm] $(\mu,w)$, $w=\vektor{w_1 \\ w_2}$ [/mm] eine Lösung von (1),(2). Multipliziere ich (1) mit $S$ und verwende (2), bzw. multipliziere ich (2) mit [mm] $S^T$ [/mm] und verwende (1), so erhalte ich

   (1') [mm] $SS^T w_2 [/mm] = [mm] \mu [/mm] S [mm] w_1 [/mm] = [mm] \mu^2 w_2$ [/mm]
   (2') $S^TS [mm] w_1 [/mm] = [mm] \mu S^T w_2 [/mm] = [mm] \mu^2 w_1$ [/mm]

Wir haben also gezeigt, dass wenn [mm] $(\mu,w)$ [/mm] (1),(2) löst, so auch (1'),(2'). Gilt die Umkehrung eigentlich auch? Ich bekomme die nämlich nicht hin?

        
Bezug
Gekoppeltes Eigenwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:59 Sa 26.05.2012
Autor: Blech

Hi,

sagen wir, wir haben eine Lösung [mm] w_2 [/mm] von (1')

jetzt multiplizieren wir

> (1') $ [mm] SS^T w_2 [/mm] = [mm] \mu [/mm] S [mm] w_1 [/mm] = [mm] \mu^2 w_2 [/mm] $

mit [mm] $S^t$: [/mm]

[mm] $S^tS(S^tw_2)=\mu^2(S^tw_2)$ [/mm]

also ist [mm] $w_1=S^tw_2$ [/mm] eine Lösung von (2').

Nur widerspricht das i.a. (1).

D.h. Lösungen der modifizierten Gleichungen sind i.a. keine Lösungen des urspr. Problems.

ciao
Stefan

Bezug
        
Bezug
Gekoppeltes Eigenwertproblem: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 So 27.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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