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Gegenseitige Lage einer Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 Do 13.05.2010
Autor: kruemel234

hallo,
ich habe probleme beim lösen folgender aufgabe: die gerade g ist durch die punkte p und q festgekegt, die ebene e durch die punkte a,b und c. bestimmen sie den durchstoßpunkt von g durch e.

a)p(1,0,1);q(3,1,1);a(1,2,3);b(1,2,4);c(1,3,3)


ich hab jetzt so angefangen, aber irgendwie kommt mir das komsich vor
g:X=(10/1)+r⋅(21/0)

e:X=(12/3)+s⋅(00/1)+t⋅(01/0)


gleichsetzen

(10/1)+r(21/0)=(12/3)+s⋅(00/1)+t(01/0)

r(21/0)=(0-2/-2)+s(00/1)+t(o1/0)


lineares gleichungssystem

2r=0
r=-2+t
0=-2+s


aber irgendetwas stimmt da nciht, oder??
danke


        
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Gegenseitige Lage einer Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Do 13.05.2010
Autor: M.Rex

Hallo

Die Idee, die Gerade und die Ebene gleichzusetzen ist korrekt.

Die Geradengleichung und die Ebenengleichung sind auch korrekt.

Aber das Lineare Gleichungssystem scheint mir so nicht zu stimmen, schreib doch die "Ausgangsgleichung" g=E nochmal hin, aber bitte mit dem Formeleditor, dann wirds deutlicher.

\vektor{1\\3\\6} ergibt [mm] \vektor{1\\3\\6} [/mm]

Marius

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Do 13.05.2010
Autor: kruemel234

danke.
[mm] \vektor{1\\0\\1}+r\vektor{2\\1\\0}=\vektor{1\\2\\3}+s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0} [/mm]

[mm] =r\vektor{2\\1\\0}=\vektor{0\\-2\\-2}+s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0} [/mm]

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Do 13.05.2010
Autor: M.Rex


> danke.
>  
> [mm]\vektor{1\\0\\1}+r\vektor{2\\1\\0}=\vektor{1\\2\\3}+s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0}[/mm]
>  
> [mm]=r\vektor{2\\1\\0}=\vektor{0\\-2\\-2}+s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0}[/mm]

Die Umformung so stimmt nicht macht so keinen Sinn:
>

Besser wäre

[mm] \vektor{1\\0\\1}+r\vektor{2\\1\\0}=\vektor{1\\2\\3}+s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0} [/mm]
[mm] \gdw \vektor{1\\0\\1}-\vektor{1\\2\\3}=s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0}-r\vektor{2\\1\\0} [/mm]
[mm] \gdw \vektor{0\\-2\\-2}=s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0}-r\vektor{2\\1\\0} [/mm]

Also:

[mm] \vmat{0s+0t-2r=0\\0s+t-r=-2\\s=-2} [/mm]

und dieses LGS hat eine eindeutige, nicht-triviale Lösung.

Marius

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 Do 13.05.2010
Autor: kruemel234

vielen dank.
was bedeutet, dass es keine nicht-trivale lösung hat?? was kann ich denn jetzt als durchstoßpunkt von g und E angeben?
danke

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Do 13.05.2010
Autor: M.Rex

Hallo

> vielen dank.
>  was bedeutet, dass es keine nicht-trivale lösung hat??

Das heisst, nicht alle Parameter sind null.


> was kann ich denn jetzt als durchstoßpunkt von g und E
> angeben?

Setze die errechneten Parameter in g oder E ein, und addiere die entstehenden Vektoren.

>  danke

Bitte ;-)

Marius

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Do 13.05.2010
Autor: kruemel234

die parameter:
s=-2
r=2
t=-2

[mm] \vektor{1\\0\\1}+\vektor{2\\2\\2}=\vektor{1\\2\\3}+\vektor{-2\\-2\\-2}+\vektor{-2\-2\\-2} [/mm]

ist das richtig so??
danke

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Do 13.05.2010
Autor: M.Rex


> die parameter:
>  s=-2
>  r=2
>  t=-2

Das passt so nicht ganz. Es ist s=0


>  
> [mm]\vektor{1\\0\\1}+\vektor{2\\2\\2}=\vektor{1\\2\\3}+\vektor{-2\\-2\\-2}+\vektor{-2\-2\\-2}[/mm]
>  
> ist das richtig so??

Nein, du hast doch:

[mm] g:\vec{x}=\vektor{1\\0\\1}+r\vektor{2\\1\\0} [/mm]
und [mm] E:\vec{x}=\vektor{1\\2\\3}+s\vektor{0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0} [/mm]

Jetzt setze mal entweder r=-2 in g ein, oder t=-2 sowie s=0 in E. Dann bekommst du den Ortsvektor des Schnittpunktes.

Marius

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Do 13.05.2010
Autor: kruemel234

ich habe noch eine aufgabe b)
p(0,0,0)
q(2,5,7)
a(0,0,5)
b(1,1,5)
c(0,0,6)

g:x= [mm] \vektor{0\\0\\0}+r\vektor{2\\5\\7} [/mm]

[mm] e:x=\vektor{0\\0\\5}+s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1} [/mm]

gleichsetzen der vektoren
[mm] \vektor{0\\0\\0}+r\vektor{2\\5\\7}=\vektor{0\\0\\5}+s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}+ [/mm]

[mm] -->\vektor{0\\0\\0}-\vektor{0\\0\\5}=s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}-r\vektor{2\\5\\7} [/mm]

[mm] -->\vektor{0\\0\\-5}=s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}-r\vektor{2\\5\\7} [/mm]

LGS
0=s-2r
0=s-5r
-5=s-7r

ist das richtig so??





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Gegenseitige Lage einer Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Do 13.05.2010
Autor: M.Rex


> ich habe noch eine aufgabe b)
>  p(0,0,0)
>  q(2,5,7)
>  a(0,0,5)
>  b(1,1,5)
>  c(0,0,6)
>  
> g:x= [mm]\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{2\\5\\7}[/mm]
>  
> [mm]e:x=\vektor{0\\0\\5}+s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}[/mm]
>  
> gleichsetzen der vektoren
>  
> [mm]\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{2\\5\\7}=\vektor{0\\0\\5}+s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}+[/mm]
>  
> [mm]-->\vektor{0\\0\\0}-\vektor{0\\0\\5}=s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}-r\vektor{2\\5\\7}[/mm]
>  
> [mm]-->\vektor{0\\0\\-5}=s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1}-r\vektor{2\\5\\7}[/mm]
>  
> LGS
>  0=s-2r
>  0=s-5r
>  -5=s-7r
>  
> ist das richtig so??

Fast. Die letzte Zeile müsste [mm] -5=\red{t}-7r [/mm] heissen.
Ist dir denn das Prinzip klar?

Marius

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Do 13.05.2010
Autor: kruemel234

danke.
ja, das prinzip ist mir relativ klar.
wie kann ich denn jetzt damit den durchstoßpun kt berechnen??

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 Do 13.05.2010
Autor: M.Rex

Hallo

> danke.
>  ja, das prinzip ist mir relativ klar.
>  wie kann ich denn jetzt damit den durchstoßpun kt
> berechnen??  

Dazu habe ich hier und hier schon geschrieben, dass du die errechneten Parameter in die Gerade bzw. die Ebene einsetzen sollst.

Marius

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Do 13.05.2010
Autor: kruemel234

ja, aber hier habe ich doch keine parameter, oder??
oben hatte ich auch schon gefragt, ob ich das so mit den paarametern richtig gemacht habe...
danke

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Do 13.05.2010
Autor: M.Rex

Hallo

Du hast doch


[mm] g:\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}+r\vektor{2\\5\\7} [/mm]
und [mm] E:\vec{x}=\vektor{0\\0\\5}+s\vektor{1\\1\\0}+t\vektor{0\\0\\1} [/mm]

Aus dem LGS
[mm] \vmat{0=s-2r\\0=s-5r\\-5=t-7r} [/mm]
ergibt sich
r=0,s=0,t=-5

Also gilt für den Schnittpunkt S
[mm] \vec{s}=\vektor{0\\0\\0}+\blue{0}*\vektor{2\\5\\7}=\ldots [/mm]
oder/und
[mm] \vec{s}=\vektor{0\\0\\5}+\green{0}\vektor{1\\1\\0}\red{-5}*\vektor{0\\0\\1}=\ldots [/mm]

Marius

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:11 Do 13.05.2010
Autor: kruemel234

danke, die shcnittpunkte sind 1,0,1, odwer?ß

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:21 Do 13.05.2010
Autor: Blue-Eyes

Hey!

Nein, das stimmt so nicht. Guck dir noch mal den letzten Hinweis von M.Rex an. Dort ist eigentlich alles ganz gut erklärt, was du mit den errechneten Parametern zu tun hast und was du nun genau ausrechnen sollst.

LG Blue-Eyes

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 Fr 14.05.2010
Autor: kruemel234

danke.
ich muss doch die parameter einsetzen und wie rechne ich dann weiter... muss ich die parameter dann einfach voneinander abziehen?

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Fr 14.05.2010
Autor: M.Rex


> danke.
>  ich muss doch die parameter einsetzen und wie rechne ich
> dann weiter... muss ich die parameter dann einfach
> voneinander abziehen?

Nein, nicht die Parameter voneinander abziehen.
Du musst lediglich diese Gleichung mit den bekannten Regeln fortführen.

[mm] \vec{s}=\vektor{0\\0\\5}+0*\vektor{1\\1\\0}-5*\vektor{0\\0\\1} [/mm]
[mm] =\vektor{0\\0\\5}+\vektor{0*1\\0*1\\0*0}-\vektor{5*0\\5*0\\5*1} [/mm]
[mm] =\vektor{0\\0\\5}+\vektor{0\\0\\0}-\vektor{0\\0\\5} [/mm]
[mm] =\ldots [/mm]

Marius

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:01 Fr 14.05.2010
Autor: kruemel234

ah, ok danke.
dann sind die parameter doch 0,0 und -5, oder??

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Gegenseitige Lage einer Gerade: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Fr 14.05.2010
Autor: M.Rex


> ah, ok danke.
>  dann sind die parameter doch 0,0 und -5, oder??

Nein, du hast einen "Lösungsvektor" [mm] \vektor{0\\0\\\Box} [/mm]

Die -5 in der 3. Komponente ist auch falsch.

Und dieser Vektor ist der Ortsvektor deines Schnittpunktes.

Marius



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