Gegenbeispiele Kompaktheit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Seien $ X; Y$ metrische Räume und $f : X [mm] \to [/mm] Y $eine stetige Abbildung.
Finden Sie Beispiele für metrische Räume $X; Y$ , stetige Abbildungen f und offene bzw. kompakte
Mengen $U [mm] \subset X\, [/mm] , K [mm] \subset [/mm] Y $, so dass
(a) $ f(U) [mm] \subset [/mm] Y$ nicht offen
[mm] (b)$f^{-1}(K) \subset [/mm] X$ nicht kompakt ist.
Lösung:
zu 1.
[mm] $f:(-2\pi,2\pi [/mm] ) [mm] \to [/mm] [-1,1]$
$f:x [mm] \mapsto \cos(x)$
[/mm]
zu 2.
$f:(0,1) [mm] \to [/mm] (0,1)$
$f:x [mm] \mapsto [/mm] x$
[mm] $f^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{x} \Rightarrow [/mm] nicht Kompakt$
Viele Grüße,
Nadia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
1. stimmt,
aber 2.
$ f:x [mm] \mapsto [/mm] x $
$ [mm] f^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{x}$
[/mm]
??? Probier das mal mit einem (fast) beliebigen x aus.
[mm] $f^{-1}$ [/mm] ist hier nicht die Umkehrfunktion sondern das Urbild. Also könntest Du für die 2. einfach die 1. recyclen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Danke für die Antwort.
Achja das stimmt.
Also
$ [mm] f:(-2\pi [/mm] - [mm] \frac{1}{n},2\pi [/mm] ) [mm] \to [/mm] [-1,1] $
$ f:x [mm] \mapsto \cos(x) [/mm] $
Meinst du das so ?
Danke nochmal.
Lg
Nadia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
was ist n?
Du brauchst aber eh keine Einschränkung des Definitionsbereichs, weil [mm] $\IR$ [/mm] nicht kompakt ist.
f=cos,
[mm] $f^{-1}([-1,1])=\IR$
[/mm]
ciao
Stefan
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