Gefangenenparadox < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gefangenenparadox:
Drei Personen A,B und C sind zum Tode verurteilt. Mit Hilfe eines Losentscheids, bei dem alle drei die gleichen Chancen haben, wird einer begnadigt. A, der eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 1/3 hat, bittet den Wärter, der das Ergebnis des Losentscheids kennt, ihm einen seiner Leidensgenossen B und C zu nennen, der sterben muss. Der Wärter antwortet "B". Wie groß ist A´s Überlebenswahrscheinlichkeit?
Die offiziell anerkannte Lösung ist P=1/3. Ich verstehe nicht, wie A zu 1/3 begnadigt und zu 2/3 zum Tod verurteilt sein kann.
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Hallo
> Gefangenenparadox:
> Drei Personen A,B und C sind zum Tode verurteilt. Mit
> Hilfe eines Losentscheids, bei dem alle drei die gleichen
> Chancen haben, wird einer begnadigt. A, der eine
> Überlebenswahrscheinlichkeit von 1/3 hat, bittet den
> Wärter, der das Ergebnis des Losentscheids kennt, ihm
> einen seiner Leidensgenossen B und C zu nennen, der sterben
> muss. Der Wärter antwortet "B". Wie groß ist A´s
> Überlebenswahrscheinlichkeit?
>
> Die offiziell anerkannte Lösung ist P=1/3. Ich verstehe
> nicht, wie A zu 1/3 begnadigt und zu 2/3 zum Tod verurteilt
> sein kann.
Vielleicht möchtest du das ![[]](/images/popup.gif) hier durchlesen.. Es ist dann sofort klar, wie man auf das Ergebnis kommt :)
Es ist im Prinzib nichts, ausser bedingte Wahrscheinlichkeiten..
Grüsse, Amaro
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Ich kenne den Wikipedia-Artikel. Das Problem ist doch, daß die Überlebenswahrscheinlichkeit von A vor dem Losentscheid P=1/3 ist, nach dem Losentscheid aber P=0 oder P=1. Daß A nicht weiß, ob er begnadigt ist oder nicht, ändert doch nichts an seinem Schicksal. Er kann dann nicht mehr ein bißchen begnadigt und gleichzeitig ein bißchen verurteilt sein, oder?
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Hallo
> Ich kenne den Wikipedia-Artikel. Das Problem ist doch, daß
> die Überlebenswahrscheinlichkeit von A vor dem
> Losentscheid P=1/3 ist, nach dem Losentscheid aber P=0 oder
> P=1. Daß A nicht weiß, ob er begnadigt ist oder nicht,
> ändert doch nichts an seinem Schicksal. Er kann dann nicht
> mehr ein bißchen begnadigt und gleichzeitig ein bißchen
> verurteilt sein, oder?
Ne, das nicht.
Der Wärter weiss natürlich, ob A nun sterben muss oder nicht.. und sein Schicksal ist auf alle Fälle schon entschieden.
Aber, als Beobachter weiss man noch nichts, ausser das, was der Wärter sagt. Und so wie es steht, besteht immernoch eine chance von 1/3, dass A gezogen wurde und somit überlebt.
Grüsse, Amaro
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>Aber, als Beobachter weiss man noch nichts, ausser das, was der Wärter
>sagt. Und so wie es steht, besteht immernoch eine chance von 1/3, dass
>A gezogen wurde und somit überlebt
Man muss also unterscheiden zwischen der objektiven Überlebenswahrscheinlichkeit, die nach dem Losentscheid feststeht (P=0 oder P=1) und der subjektiven Einschätzung von A, mit dem Leben davonzukommen. Dann könnte A für sich z.B. folgende Rechnung aufmachen (1 für begnadigt, 0 für verurteilt), nachdem B=0 bekannt ist:
(A,B,C)=(1,0,0) oder (A,B,C)=(0,0,1) sind gleichwahrscheinlich. Somit ist meine Chance 50%, zu überleben. Was spricht dagegen?
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Huhu,
wieso sich die Wahrscheinlichkeit ändert, liegt an einer "Mehrinformation", die man annimmt.
Nämlich die Information "Der Wärter weiß, wer es ist."
Rechnest du normal wie vorher die Wahrscheinlichkeit aus, allerdings mit der Annahme, dass der Wärter wirklich ZUFÄLLIG entscheidet, welchen Namen er nennt (also ohne Wissen von Informationen), bekommst du ganz normal deine gewohnte Wahrscheinlichkeit.
MFG,
Gono.
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> Rechnest du normal wie vorher die Wahrscheinlichkeit aus,
> allerdings mit der Annahme, dass der Wärter wirklich
> ZUFÄLLIG entscheidet, welchen Namen er nennt
1. Woher stammt denn die Annahme, daß der Wärter ZUFÄLLIG entscheidet? In der Problemstellung finde ich dazu nichts.
2.Dann wäre auch noch die Frage, wie ein Mensch ZUFÄLLIG einen von zwei möglichen Namen nennen soll. Und daß die Namensnennung gleichwahrscheinlich wäre ist ja auch nicht gesagt. Dann gibt es also viele Lösungen für dieses Problem, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 So 29.08.2010 | | Autor: | leduart |
Wenn C und B sterben müssen, kann der Wärter zufllig entscheiden, wen er sagt, oder nicht. Wenn einer von beiden nicht sterben muss, hat er nur eine Wahl , weil er ja nicht lügt.
Gruss leduart
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Hallo,
> Wenn C und B sterben müssen, kann der Wärter zufällig
> entscheiden, wen er sagt, oder nicht.
Er kann, aber er muss nicht. Er kann auch absichtlich B nennen, weil z.B. C ein Freund von A ist. Und damit wäre die subjektive Chance von A zu überleben bei 50%, oder nicht?
MfG Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mo 30.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
solche Überlegungen sind Unsinn, da A ja nichts davon weiss! Wenn der, der die Wahrscheinlichkeit ausrechnet, weiss, dass der W. im Entscheidungsfall den Freund wählt weiss er nicht mehr, als in der Aufgabe gegeben. Dann stünde da, Falls C UND B sterben müssen gibt er immer B (den Freund) an, wenn er also dann C nennt, weiss man dass A zu 100% stirbt. Du hast ne zusätzliche Bedingung eingeführt, also auch ein anderes Ergebnis
Gruss leduart
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Hallo
> solche Überlegungen sind Unsinn, da A ja nichts davon
> weiss! Wenn der, der die Wahrscheinlichkeit ausrechnet,
> weiss, dass der W. im Entscheidungsfall den Freund wählt
> weiss er nicht mehr, als in der Aufgabe gegeben. Dann
> stünde da, Falls C UND B sterben müssen gibt er immer B
> (den Freund) an, wenn er also dann C nennt, weiss man dass
> A zu 100% stirbt. Du hast ne zusätzliche Bedingung
> eingeführt, also auch ein anderes Ergebnis
Weder A noch ein Beobachter weiß, warum der Wärter B nennt. Zu den Beweggründen des Wärters ist ja nichts bekannt. Allerdings hast du durch deine Annahme, daß der Wärter ZUFÄLLIG B (und nicht C) nennt, wenn A begnadigt ist, ebenfalls eine zusätzliche Bedingung eingeführt, die nicht zur Problemstellung gehört.
MfG Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mo 30.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das zu fällig des W. ist keine Zusatzbed. weil es eal ist, ob er zufällig wählt oder immer B bevorzugen würde. solange das möglich ist.
Auch ein Würfel ist im momentdes anrollens schon bestimmt, da du nix drüber weisst, wie er genau auf dem Tisch aufkommt, ist das ergebnis für dich (nicht für den Geist des Würfels (sprich Wärter)) zufällig.
gruss leduart
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Hallo
> Das zufällig des W. ist keine Zusatzbed. weil es egal
> ist, ob er zufällig wählt oder immer B bevorzugen würde.
> solange das möglich ist.
Es ist eben nicht egal, ob der Wärter zufällig wählt oder B bevorzugt nennt. Im ersten Fall hängt A´s Chance davon ab, wie der Wärter den Zufall ins Spiel bringt. Wirft er eine Münze mit P(Z)=P(K)=1/2, dann sinkt A´s Chance auf P=1/3. Im zweiten Fall ist A´s Chance, begnadigt zu sein, P=1/2. Der Wärter hat natürlich auch noch andere Möglichkeiten, seine Entscheidung zu treffen, und es können sich je nachdem ganz unterschiedliche Chancen für A ergeben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mo 30.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
A hat immer 1/3 Wahrscheinlichkeit, der Wärter würfelt ja nicht aus, ob B oder C sterben soll, sondern nur welchen er nennt, wenn beide sterben. also A garantiert überlebt. nochmal was ist der Unterschied für A, der nicht weiss, nach welcher methode W entscheidet? wie kommst du auf 1/2? vorrechnen!
gruss leduart
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Hallo,
> A hat immer 1/3 Wahrscheinlichkeit, der Wärter würfelt
> ja nicht aus, ob B oder C sterben soll, sondern nur welchen
> er nennt, wenn beide sterben. also A garantiert überlebt.
> nochmal was ist der Unterschied für A, der nicht weiss,
> nach welcher methode W entscheidet? wie kommst du auf 1/2?
> vorrechnen!
Hier die von dir gewünschte Rechnung:
L sei die Zufallsvariable, die den positiven Losentscheid darstellt. Es gilt P(L=A)=P(L=B)=P(L=C)=1/3, das heißt, jeder Gefangene hatte die gleiche Chance, begnadigt zu werden. Weiterhin sei G die Variable, die angibt, wen der Wärter nennt:
1.P(G=B|L=A)=1; der Wärter nennt immer B, wenn A begnadigt ist.
2.P(G=B|L=B)=0; der Wärter nennt B nicht, wenn dieser begnadigt ist.
und
3.P(G=B|L=C)=1; der Wärter nennt C, wenn B begnadigt ist.
Die Chance für A zu überleben, unter der Bedingung, daß der Wärter B genannt hat, ist also nach dem Bayestheorem:
P(L=A|G=B)=P(L=A)xP(G=B|L=A)/{P(L=A)xP(G=B|L=A)+P(L=B)xP(G=B|L=B)+P(L=C)xP(G=B|L=C)}
=(1/3x1)/(1/3x1+1/3x0+1/3x1)=1/2
Wenn der Wärter B bevorzugt nennt, aber nicht immer, wenn A begnadigt ist, muss in 1. die entsprechende Wahrscheinlichkeit dafür verwendet werden. Falls der Wärter würfelt und C bei {1,6}, B jedoch bei {2,3,4,5} nennt, wird 1. zu P(G=B|L=A)=2/3. Dann ändert sich allerdings die Überlebenschance von A zu P=2/5.
MfG Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Di 31.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es fehlt die Information, ob der, der die W. ausrechnet das Schema des Wärters kennt. also A kennt es, oder ich als "expertenrechner für W" kenne das Schema des Wä.
(falls das Schema des W nicht bekannt ist, muss man mit gleicher W für nennung von C und B rechnen falls A begnadigt ist. Wenn die Bevorzugung von B bekannt ist und C genannt wird, weiss A mit 100% dass er sterben muss.
Du hast einfach die Geschichte um die es ging variiert, dann interessiert mich zumindest die Diskussion nicht mehr.
Dann ist das ne neue Aufgabe (immer vorrausgesetzt man kennt das Schema des W.)
Gruss leduart
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Hallo,
> es fehlt die Information, ob der, der die W. ausrechnet
> das Schema des Wärters kennt. also A kennt es, oder ich
> als "expertenrechner für W" kenne das Schema des Wä.
Das ist klar. Wenn derjenige, der die Wahrscheinlichkeit ausrechnen will, das Schema nicht kennt, dann kann er auch nichts ausrechnen.
> (falls das Schema des W nicht bekannt ist, muss man mit
> gleicher W für nennung von C und B rechnen falls A
> begnadigt ist.
Wieso das denn? Die gleiche Wahrscheinlichkeit für die Nennung von B oder C ist ja ebenfalls ein Schema, nur eben ein anderes. Die Problemstellung gibt kein Schema vor, und wie Gonozal_IX bereits bemerkte, sind alle angenommenen Schemata gleichwahrscheinlich...
Falls der Wärter keinem Schema folgt bzw. wenn ein solches nicht als bekannt vorausgesetzt wird, kann man die bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht bestimmen und damit auch die Bayes-Formel nicht anwenden. Dann liegt A's subjektive Überlebenschance irgendwo zwischen P=0 und P=1.
> Wenn die Bevorzugung von B bekannt ist und C
> genannt wird, weiss A mit 100% dass er sterben muss.
Nur wenn P(G=B|L=A)=1 ist. In anderen Fällen ist A's Chance P>0.
> Du hast einfach die Geschichte um die es ging variiert,
> Dann ist das ne neue Aufgabe (immer vorrausgesetzt man
> kennt das Schema des W.)
Ich habe nichts variiert, sondern mich streng an den Text der Problemstellung gehalten. Und das ist immer noch dieselbe Aufgabe, nur anders interpretiert...
> dann interessiert mich zumindest die Diskussion nicht
> mehr.
Allerdings verstehe ich deine harsche Reaktion überhaupt nicht. Ich glaube, wirklich sachlich meine Argumente dargelegt zu haben, und erwarte eigentlich auch eine sachliche Antwort. Was ist dein Problem?
MfG Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Di 31.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab kein Problem, tut mir leid, wenn die Antwort harsch klang. Deine Umformulierungen interessieren mich nur nicht mehr.
Aber jedem steht es frei, die Aufgabe für sich zu interpretieren.
Gruss leduart
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Hallo,
> ich hab kein Problem, tut mir leid, wenn die Antwort
> harsch klang.
Okay, ich fands nur etwas merkwürdig, daß du ausgerechnet an der Stelle ausgestiegen bist, als ich meine von dir gewünschte rechnerische Lösung präsentierte. Schließlich hattest du dem Meinungsaustausch vorher das Niveau einer Bierrunde attestiert, was ich übrigens auf mich bezogen nicht akzeptieren kann.
> Deine Umformulierungen interessieren mich nur
> nicht mehr.
Das sind keine Umformulierungen, wie du leicht im Originaltext nachlesen kannst, sondern zusätzliche Annahmen, wie sie jeder machen muss, der das Paradox mit bedingten Wahrscheinlichkeiten lösen möchte.
> Aber jedem steht es frei, die Aufgabe für sich zu
> interpretieren.
Gut, das deutet daraufhin daß du mit zustimmst, daß es nicht nur eine Lösung des Gefangenenparadox gibt, wie oft behauptet wird, sondern mehrere gleichberechtigte Lösungen... 
MfG Martin
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Vielleicht habe ich dich falsch verstanden. Deshalb hier eine zweite Rückfrage:
> wieso sich die Wahrscheinlichkeit ändert, liegt an einer
> "Mehrinformation", die man annimmt.
> Nämlich die Information "Der Wärter weiß, wer es ist.
Inwiefern ändert das etwas an meiner Rechnung? Das ist ja nur die Voraussetzung dafür, daß der Wärter einen nicht Begnadigten nennen kann.
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Huhu,
> Inwiefern ändert das etwas an meiner Rechnung? Das ist ja
> nur die Voraussetzung dafür, daß der Wärter einen nicht
> Begnadigten nennen kann.
das ändert insofern etwas an deiner Rechnung, dass sich die Werte verschieben.
So gilt z.B. wenn man nicht mehr annehmen kann, dass der Wärter die Wahrheit sagt der Wahrheitswert von $P(G=B|L=B)$ auf einen Wert grösser Null, ebenso wenn man annimmt, dass der Wärter keine Informationen darüber hat, wer eigentlich gezogen wurde.
Ich zitiere hier mal Wikipedia und stell nur die Stellen heraus, die wirklich Informationsrelevant sind (und ich denke das ist auch jedem klar, dass dadurch mehr Informationen ins Spiel kommen als beim normalen Losentscheid)
Der Gefangene Anton, der also eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 1/3 hat, bittet den Wärter, der das Ergebnis des Losentscheids kennt, ihm einen seiner Leidensgenossen Brigitte oder Clemens zu nennen, der oder die sterben muss. Der Wärter antwortet ‚Brigitte‘ und lügt nicht.
Insbesondere die Kenntnis über den Losentscheid ist ja eindeutig eine Mehrinformation (und wird woanders gemeinhin als "Schummeln" bezeichnet *g*).
Aber mal anders: Ich habe beim Vermitteln dieser Art von Aufgaben festgestellt, dass das Gefangenenparadoxon für sowas auch schlechter geeinget ist, als das Ziegenproblem.
Vielleicht solltest du dir das anschauen und verstehen, dann geht das hier auch wesentlich einfacher.
Schöne Sonntagsgrüße
Gono.
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Hallo,
> das ändert insofern etwas an deiner Rechnung, dass sich
> die Werte verschieben.
> So gilt z.B. wenn man nicht mehr annehmen kann, dass der
> Wärter die Wahrheit sagt der Wahrheitswert von [mm]P(G=B|L=B)[/mm]
> auf einen Wert grösser Null, ebenso wenn man annimmt, dass
> der Wärter keine Informationen darüber hat, wer
> eigentlich gezogen wurde.
Das ist mir ja alles klar. Wir sind uns, denke ich, doch einig, daß der Wärter weiß, wer begnadigt ist. Die Frage stellt sich doch, warum daraus ZWINGEND folgt, daß A´s Chance nicht mehr als P=1/3 ist.
> Insbesondere die Kenntnis über den Losentscheid ist ja
> eindeutig eine Mehrinformation (und wird woanders gemeinhin
> als "Schummeln" bezeichnet *g*).
Die Kenntnis über den Losentscheid betrifft aber nur den Wärter, nicht jedoch A.
> Aber mal anders: Ich habe beim Vermitteln dieser Art von
> Aufgaben festgestellt, dass das Gefangenenparadoxon für
> sowas auch schlechter geeinget ist, als das
> Ziegenproblem.
> Vielleicht solltest du dir das anschauen und verstehen,
> dann geht das hier auch wesentlich einfacher.
Diesen Artikel kenne ich bereits und ich bin der Meinung, daß er nicht DAS Ziegenproblem behandelt, sondern nur eine bestimmte populäre Lösung darstellt. Die eigentliche Problemstellung, nämlich der Leserbrief an Marylin vos Savant, wird nur kurz und oberflächlich gestreift, und alle anderen Lösungen dazu werden fast völlig ignoriert. Aber das ist ein anderes Thema...
Das Gefangenenparadox ist auch deshalb anders gelagert, weil A den Wärter bittet, ihm einen Anderen zu nennen als ihn selbst. Der Moderator im Ziegenproblem öffnet eine andere Tür von sich aus.
MfG Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mo 30.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die W. für A zu sterben ist nie "zwingend" 1/3, die 1/3 ist nur bei der vorhandenen Handlung, die einzige, die A selbst, oder ein Zuschauer, der alle Informationen wie A hat ausrechnen kann.Kurz gsagt, die aussage es W. ndert an dem was er als wahrscheinlichkeit ausrechnen kann nichts.
Gruss leduart
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Huhu,
> Das Gefangenenparadox ist auch deshalb anders gelagert,
> weil A den Wärter bittet, ihm einen Anderen zu nennen als
> ihn selbst. Der Moderator im Ziegenproblem öffnet eine
> andere Tür von sich aus.
Da irrst du dich gewaltig, denn die Wahrscheinlichkeiten sind beim Ziegenproblem genau identisch.
Wähle ich Tor A, wählt der Moderator nur dann FREIWILLIG zwischen B und C, wenn ich hinter A den Gewinn habe, ansonsten muss er auch zwingend ein bestimmtes Tor öffnen.... wie der Wärter beim Gefangenenparadoxon.
Er kann nur zwischen B und C wählen (der Wärter), wenn A sterben muss!
MFG,
Gono.
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Hallo,
> Da irrst du dich gewaltig, denn die Wahrscheinlichkeiten
> sind beim Ziegenproblem genau identisch.
Hier der Leserbrief als Ausgangspunkt des Ziegenproblems:
„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie das Tor Nummer Zwei?‘ Ist es von Vorteil, das Tor Nummer 2 zu wählen?
> Wähle ich Tor A, wählt der Moderator nur dann FREIWILLIG
> zwischen B und C, wenn ich hinter A den Gewinn habe,
> ansonsten muss er auch zwingend ein bestimmtes Tor
> öffnen.... wie der Wärter beim Gefangenenparadoxon.
Der Moderator muss kein anderes Tor öffnen. Insbesondere muss er kein Tor mit einer Ziege dahinter öffnen. Auch ist ihm keineswegs verboten, das gewählte Tor zu öffnen. Diese Annahmen sind zusätzliche Bedingungen, die nicht zum Inhalt des Ausgangsproblems gehören, sondern nachträglich hinzugefügt wurden, um eine bestimmte Lösung zu erhalten. Mit anderen plausiblen Bedingungen kommt man zu anderen Lösungen.
MfG Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mo 30.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in der Beschr. steht, der M öffnet ein Tor mit ner Ziege. So ist die Tatsachenbeschr. er wählt es nicht zufällig aus den 3 Toren aus.Wenn er das vorher gewählte mit ner Ziege zeigte, braucht er nicht mehr zu fragen!
Gruss leduart
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Hallo,
> in der Beschr. steht, der M öffnet ein Tor mit ner Ziege.
> So ist die Tatsachenbeschr. er wählt es nicht zufällig
> aus den 3 Toren aus.
Ja, man weiß aber nicht, ob er IMMER ein Tor mit einer Ziege öffnet. Dieses eine Mal tut er es tatsächlich. Die Lösung bei Wikipedia geht aber davon aus, daß der Moderator ein Ziegentor öffnen MUSS, welches nicht das vom Kandidaten gewählte Tor sein darf. Und er kann es tatsächlich auch zufällig geöffnet haben, nämlich dann, wenn Tor 2 auch ein Ziegentor ist.
Aus der Beschreibung kann man diese Verhaltensregeln des Moderators allerdings nicht ableiten.
MfG Martin
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Korrekt, man geht davon aus, dass der Moderator gewinnen will, genauso wie der Spieler gewinnen will.
Wenn du so willst, kann die Frage "Soll er wechseln" auch unter dem Aspekt betrachten, dass der Spieler verlieren will. Dann fällt die Frage komplett anders aus.
Grundsätzlich sollte man solche Fragen aber immer unter einem realistischen Aspekt betrachten und der ist bei deiner Annahme nunmal leider nicht gegeben.................. aber auch hier, wie in der anderen Antwort: Wenns dich glücklich macht.
ach edit: Um das ganze auf die Spitze zu treiben, kannst du das ja noch betrachten, dass der Moderator nur mit einer W-keit [mm] $q\in [/mm] [0,1]$ und der Spieler mit einer W-keit [mm] $p\in [/mm] [0,1]$ gewinnen will.
Und sowieso weiß der Moderator auch nur mit einer W-Keit [mm] $a_1,...,a_3 \in [/mm] [0,1]$ wo keine Ziege hinter ist.
MFG,
Gono.
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Hallo,
> Grundsätzlich sollte man solche Fragen aber immer unter
> einem realistischen Aspekt betrachten und der ist bei
> deiner Annahme nunmal leider nicht
> gegeben..................
Da bin ich anderer Meinung. Eine Spielshow, die nach den Regeln des Wikipedia-Artikels abläuft, wäre totlangweilig. Kein ernstzunehmender Moderator würde sich derart zum Affen machen, daß er so völlig berechenbar handelte. Mal ganz abgesehen von den Sponsoren, die die Autos bezahlen müssen. Eben wenn es darum geht, zu sinnvollen Annahmen zu kommen, erscheinen diese Spielregeln für das Verhalten des Moderators vollkommen unrealistisch.
MfG Martin
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Hallo
> Hallo,
>
> > Da irrst du dich gewaltig, denn die Wahrscheinlichkeiten
> > sind beim Ziegenproblem genau identisch.
>
> Hier der Leserbrief als Ausgangspunkt des Ziegenproblems:
> „Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und
> hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore
> ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen
> ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der
> weiß, was hinter den Toren ist, [mm] $\red{\text{öffnet ein anderes Tor}}$, [/mm]
> sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt
> Sie nun: ‚Möchten Sie das Tor Nummer Zwei?‘ Ist es von
> Vorteil, das Tor Nummer 2 zu wählen?
>
> > Wähle ich Tor A, wählt der Moderator nur dann FREIWILLIG
> > zwischen B und C, wenn ich hinter A den Gewinn habe,
> > ansonsten muss er auch zwingend ein bestimmtes Tor
> > öffnen.... wie der Wärter beim Gefangenenparadoxon.
>
> Der Moderator muss kein anderes Tor öffnen.
Doch, muss er.. siehe rot markiertes
> Insbesondere
> muss er kein Tor mit einer Ziege dahinter öffnen.
Aber wenn er die Türe mit dem Auto aufmacht, hat der Kandidat keine Gewinnchance mehr, wodurch sich die Frage erübrigt, ob es sich jetzt lohnt die Türe zu wechseln oder nicht.
> Auch ist
> ihm keineswegs verboten, das gewählte Tor zu öffnen.
Doch, wieder das rot markierte
> Diese Annahmen sind zusätzliche Bedingungen, die nicht zum
> Inhalt des Ausgangsproblems gehören, sondern nachträglich
> hinzugefügt wurden, um eine bestimmte Lösung zu erhalten.
> Mit anderen plausiblen Bedingungen kommt man zu anderen
> Lösungen.
>
Dann handelt es sich aber nicht um das oben gestellte Problem, so wie es jetzt da formuliert steht.
> MfG Martin
Grüsse, Amaro
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Hallo,
> > „Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und
> > hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore
> > ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen
> > ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der
> > weiß, was hinter den Toren ist, [mm]\red{\text{öffnet ein anderes Tor}}[/mm],
> > sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt
> > Sie nun: ‚Möchten Sie das Tor Nummer Zwei?‘ Ist es von
> > Vorteil, das Tor Nummer 2 zu wählen?
> > Der Moderator muss kein anderes Tor öffnen.
>
> Doch, muss er.. siehe rot markiertes
Nein, dieser Leserbrief ist eine Beschreibung einer einmaligen Spielsituation. Wenn der Moderator hier ein Tor öffnet, bedeutet das NICHT, daß er das auch sonst IMMER tut. Das wäre bereits eine Interpretation, die zu einer zusätzlichen Spielregel führt. Aus einer einmaligen Tatsache sollte man keine Regel ableiten.
> > Insbesondere
> > muss er kein Tor mit einer Ziege dahinter öffnen.
>
> Aber wenn er die Türe mit dem Auto aufmacht, hat der
> Kandidat keine Gewinnchance mehr, wodurch sich die Frage
> erübrigt, ob es sich jetzt lohnt die Türe zu wechseln
> oder nicht.
Richtig, in diesem konkreten Fall bekommt der Kandidat eine zweite Chance. Das muss aber keine allgemeingültige Spielregel sein. Der Moderator kann beim nächsten Kandidaten ganz anders vorgehen und z.B. das zuerst gewählte Tor öffnen. Wie sagte doch Monty Hall, der Namensgeber des Ziegenproblems im englischsprachigen Raum:"I am the host"! Zu deutsch: Ich bin der Chef!
> > Auch ist
> > ihm keineswegs verboten, das gewählte Tor zu öffnen.
>
> Doch, wieder das rot markierte
Siehe oben: es ist zu unterscheiden zwischen einer konkreten Spielsituation und einer Spielregel.
> > Diese Annahmen sind zusätzliche Bedingungen, die nicht zum
> > Inhalt des Ausgangsproblems gehören, sondern nachträglich
> > hinzugefügt wurden, um eine bestimmte Lösung zu erhalten.
> > Mit anderen plausiblen Bedingungen kommt man zu anderen
> > Lösungen.
> >
>
> Dann handelt es sich aber nicht um das oben gestellte
> Problem, so wie es jetzt da formuliert steht.
Doch, denn es gibt einen Unterschied zwischen der beschriebenen Situation und einem Regelwerk, das die fehlende Information im Leserbrief ersetzt. Das Regelwerk ist willkürlich und kann aus unterschiedlichen Interpretationen stammen. Eine davon führt zur Antwort von Marylin vos Savant, es gibt aber auch andere. Siehe dazu z.B. den Einzelnachweis von Marc Steinbach im Wikipedia-Artikel.
MfG Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mo 30.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zum ziegenproblem gibts immer Streit. oben (Leserbrief) ist eine Situation beschrieben. dass das langweilig wird, wenn sie immer auftritt, also zur regel wird, hat mit der beschriebenen Situation nix zu tun.
Die Antwort, daas Umwählen die W. erhöht ist auf DIESE Situation: öffnet andere Tür, Ziege dahinter, wiess wo auto und Ziegen. bezogen.
Was willst du mit anderen möglichen Regeln?
Eigentlich wär besser, du würdest die Vors. genau nennen, die du willst und dazu sagen, wie du dann die W aurechnest, mit Begründung. nur dann können wir wirklich was sagen, so wird das hier zum Rumgerede wie in ner Bierrunde
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
> so wird das hier zum Rumgerede wie in ner Bierrunde
Mehr als Stammtischdiskussion à la "Eh alles falsch, was da gemacht wird" (und da ist bei jedem Stammtisch das Ursprungsthema egal), wars bisher auch nicht.
In diesem Sinne: *Prost*
MFG,
Gono.
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Hallo!
Hast du dir auch den Abschnitt "Anschauliche Lösung" durchgelesen? Den fand' ich sehr erhellend!
> >Aber, als Beobachter weiss man noch nichts, ausser das,
> was der Wärter
> >sagt. Und so wie es steht, besteht immernoch eine chance
> von 1/3, dass
> >A gezogen wurde und somit überlebt
>
> Man muss also unterscheiden zwischen der objektiven
> Überlebenswahrscheinlichkeit, die nach dem Losentscheid
> feststeht (P=0 oder P=1) und der subjektiven Einschätzung
> von A, mit dem Leben davonzukommen.
Genau.
> Dann könnte A für
> sich z.B. folgende Rechnung aufmachen (1 für begnadigt, 0
> für verurteilt), nachdem B=0 bekannt ist:
>
> (A,B,C)=(1,0,0) oder (A,B,C)=(0,0,1) sind
> gleichwahrscheinlich. Somit ist meine Chance 50%, zu
> überleben. Was spricht dagegen?
Dagegen spricht, dass du nicht alle Informationen verarbeitest, die A hat!
A weiß zu Beginn: Ich überlebe mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 (weil das Los zwischen drei Leuten entschieden hat), irgendeiner der restlichen 2 Leute überlebt mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3.
A hat nun den Wärter gebeten, ihm einen Namen zu nennen (und NICHT seinen eigenen), der sterben soll. Das heißt, A berührt die Aussage überhaupt nicht, denn die Aussage des Wärters ist nur ein Zufallsexperiment zwischen B und C. Deswegen ändert sich auch die Wahrscheinlichkeit von A nicht, dass er überlebt.
Grüße,
Stefan
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Hallo und danke für die ausführliche Antwort!
> Hast du dir auch den Abschnitt
> "Anschauliche Lösung"
> durchgelesen? Den fand' ich sehr erhellend!
Ja, habe ich gelesen. Das ist aber eine anderes Problem, das davon ausgeht, daß der Wärter IMMER dem Wunsch von A entspricht. Hier geht es doch um eine einmalige Situation.
> A hat nun den Wärter gebeten, ihm einen Namen zu nennen
> (und NICHT seinen eigenen), der sterben soll. Das heißt, A
> berührt die Aussage überhaupt nicht, denn die Aussage des
> Wärters ist nur ein Zufallsexperiment zwischen B und C.
> Deswegen ändert sich auch die Wahrscheinlichkeit von A
> nicht, dass er überlebt.
Was an der Problemstellung berechtigt zu der Annahme, daß die Aussage des Wärtes ein Zufallsexperiment zwischen B und C ist? Dazu nochmal meine Ausführungen, die ich oben an falscher Stelle angebracht habe:
1. Woher stammt denn die Annahme, daß der Wärter ZUFÄLLIG entscheidet, welchen Namen er nennt, wenn B und C verurteilt sind? In der Problemstellung finde ich dazu nichts.
2.Dann wäre auch noch die Frage, wie ein Mensch ZUFÄLLIG einen von zwei möglichen Namen nennen soll. Und daß die Namensnennung gleichwahrscheinlich wäre ist ja auch nicht gesagt. Dann gibt es also viele Lösungen für dieses Problem, oder?
MfG Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 So 29.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Antwort des Wärters gibt in Wirklichkeit kene neue Information, dass B oder C sterben muss war A vorher klar. ob der Wärter mit B oder A antwortet ist egal, denn die Information enthält ja gerade nicht, ob er gewürfelt hat um zw. B u C zu entscheiden, oder ob er nur eine Wahl hat.
gruss leduart
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Hallo,
Ich habe den Bezug von Leduart´s Antwort auf meine Rückfrage nicht herstellen können. Deshalb hier nochmal meine Fragen:
1. Woher stammt die Annahme, daß der Wärter ZUFÄLLIG entscheidet, welchen Namen er nennt, wenn B und C verurteilt sind? In der Problemstellung finde ich dazu nichts.
2.Dann wäre auch noch die Frage, wie ein Mensch ZUFÄLLIG einen von zwei möglichen Namen nennen soll. Und daß die Namensnennung gleichwahrscheinlich wäre ist ja auch nicht gesagt. Dann gibt es also viele Lösungen für dieses Problem, oder?
MfG Martin
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Hiho,
> 1. Woher stammt die Annahme, daß der Wärter ZUFÄLLIG
> entscheidet, welchen Namen er nennt, wenn B und C
> verurteilt sind? In der Problemstellung finde ich dazu
> nichts.
Wenn jemand sagt: "Ein Würfel wird geworfen", nimmst du auch grundsätzlich einen fairen Würfel an
> 2.Dann wäre auch noch die Frage, wie ein Mensch ZUFÄLLIG
> einen von zwei möglichen Namen nennen soll. Und daß die
> Namensnennung gleichwahrscheinlich wäre ist ja auch nicht
> gesagt. Dann gibt es also viele Lösungen für dieses
> Problem, oder?
Ja, es gibt überabzählbar viele Lösungen.
Allerdings heißt das Problem dann nicht mehr offiziell "Gefangenenparadoxon", denn in der Literatur ist damit das bei Wikipedia gemeint.
Aber generell kann man sich auch unendlich viele Wärter [mm] W_p [/mm] definieren, der sich im Entscheidungsfall mit Wahrscheinlichkeit $p [mm] \in [/mm] [0,1]$ für B und Wahrscheinlichkeit $1-p$ für C entscheidet.
Aber ob das dann einen Mehrnutzen hat, ist genauso fraglich.
Aber wenns dich glücklich macht.
Gono.
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Hallo,
> Wenn jemand sagt: "Ein Würfel wird geworfen", nimmst du
> auch grundsätzlich einen fairen Würfel an
Das ist nicht die Frage. Sondern wo steht im Ausgangsproblem, daß der Wärter ZUFÄLLIG B nennt, also z.B. einen Würfel benutzt?
MfG Martin
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Wo steht, dass er es nicht tut?
Und solange nichts Gegenteiliges dasteht, sind alle Dinge gleichwahrscheinlich......
MFG,
Gono.
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Hallo,
> Wo steht, dass er es nicht tut?
> Und solange nichts Gegenteiliges dasteht, sind alle Dinge
> gleichwahrscheinlich......
Wenn du dich nur lustig machen willst, dann würde ich dich bitten, Antworten anderen zu überlassen. Danke!
MfG Martin
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Hiho,
> Hallo,
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> > Wo steht, dass er es nicht tut?
> > Und solange nichts Gegenteiliges dasteht, sind alle
> Dinge
> > gleichwahrscheinlich......
>
> Wenn du dich nur lustig machen willst, dann würde ich dich
> bitten, Antworten anderen zu überlassen. Danke!
>
> MfG Martin
das hat nichts mit lustig machen zu tun, sondern ist einfach Fakt in der Mathematik, auch wenn du das gerade nicht einsehen willst.
Aber du hast recht, sollen sich andere mit dir rumschlagen
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Hallo,
> A hat nun den Wärter gebeten, ihm einen Namen zu nennen
> (und NICHT seinen eigenen), der sterben soll. Das heißt, A
> berührt die Aussage überhaupt nicht, denn die Aussage des
> Wärters ist nur ein Zufallsexperiment zwischen B und C.
> Deswegen ändert sich auch die Wahrscheinlichkeit von A
> nicht, dass er überlebt.
Werden hier nicht verschiedene Ebenen unzulässigerweise miteinander vermischt? Die (objektive) Überlebenswahrscheinlichkeit von A ändert sich durch die Aussage des Wärters tatsächlich nicht, sie bleibt gemäß dem Losentscheid P=0 oder P=1.
Seine (subjektive) Überlebenschance allerdings wird sich mit ziemlicher Sicherheit verändern, weil er seine Frage weniger auf den Inhalt als auf die Umstände der Antwort des Wärters abzielen kann. A weiß ja schon vorher, daß mindestens einer der anderen Gefangenen sterben wird. Wirklich neue Informationen kann er sich kaum erhoffen. Er wird also eher darauf achten, wie der Wärter auf seine Frage reagiert. Da gibt es dann z.B. folgende Möglichkeiten:
1. Der Wärter antwortet wie aus der Pistole geschossen "B stirbt". A könnte aus dieser schnellen Reaktion schließen, daß C der Begnadigte ist. Seine Überlebenschance erscheint ihm dann P=0. Der Wärter könnte B auch hassen und deswegen so schnell reagiert haben. Wenn A das weiß, ändert das an seiner Einschätzung natürlich etwas und er wird seine Chance bei P=1/2 sehen.
2. Der Wärter lässt sich viel Zeit mit seiner Antwort (eventuell muss er ja noch heimlich eine faire Münze werfen, um B oder C mit gleicher Wahrscheinlichkeit nennen zu können). A könnte aus dieser trägen Reaktion messerscharf schließen, daß er selbst der Begnadigte ist. Er wird wohl die kommende Nacht gut schlafen, weil er seine Chance bei P=1 sieht.
Natürlich gibt es noch andere Möglichkeiten, aber zwei Beispiele sollten reichen. A's Überlebenschance wird also NACH der Antwort des Wärters kaum exakt seiner Chance VOR dessen Antwort entsprechen. Man sollte vielleicht auch mal Folgendes bedenken:
Das Paradox stellt für A (wie auch für den Wärter) eine EINMALIGE SITUATION dar. Außerdem sollten dem Wärter menschliche Eigenschaften zugesprochen werden (und zwar nicht nur, weil dies im Wikipedia-Artikel besonders betont wird: "Der Wärter antwortet ´B´ und lügt nicht"). Dann muss man aber realistischerweise davon ausgehen, daß dieser Mensch mit seiner Antwort eine Absicht verfolgt, und es sich wohl nicht um eine Zufallsaussage handeln kann.
Weil die Problemstellung sich jedoch ausschweigt über die weiteren Umstände des Gesprächs zwischen A und dem Wärter, und weil über Verhaltensregeln des Wärters ebenfalls nichts bekannt ist, muss jede Rechnung mit bedingten Wahrscheinlichkeiten auf irgendwelche (subjektiven) Zusatzannahmen (wirft er z.B. eine Münze, wenn A begnadigt ist, um B oder C gleichwahrscheinlich zu nennen; oder hasst er B?) zurückgreifen, die nicht durch den Text gedeckt sind. Das gilt sowohl für A selbst als auch für einen neutralen Beobachter wie den Leser des Textes und würde bedeuten, daß es KEINE BESTIMMTE (objektiv richtige) LÖSUNG des Paradoxons gibt, oder?
Randbemerkung: Der Zusatz "und lügt nicht" wurde erst am 3.März 2010 nachträglich in den Wikipedia-Artikel eingefügt und hat mit dem Originalproblem nichts zu tun (der Grund dafür ist wohl ein Diskussionsbeitrag, der darauf hinweist, daß der Wärter ja auch lügen könnte). Diese nachträgliche Manipulation am Text ist ein krasses Beispiel für den Versuch, eine bekannte Problemstellung derart umzuformulieren, daß sie zu einer bestimmten gewünschten Lösung passt, anstatt, wissenschaftlich korrekt, zu akzeptieren, daß es vielleicht keine eindeutige Lösung gibt.
MfG Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 10.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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