Gedämpfte Schwingung < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Mi 22.01.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
| Aufgabe | Ein Körper der Masse m schwinge an zwei federn mit der Federkonstante K. Es sein eine Dämpfung durch eine Reibungskraft [mm] \overrightarrow{F_{R}}=-p*\bruch{d\vec{x}}{dt} [/mm] mit p>0 vorhanden. Stellen Sie die Bewegungsgleichugn auf. Die Ruhelage habe die Koordinate [mm] \vec{x}=0.
[/mm]
Zeigen Sie die verschiedenen Typen physikalischer Lösungen (Tipp: Ansatz [mm] \vec{x}(t)=\vec{a}*exp(\lambda*t)) [/mm]
Eine Grafik zeigt eine Masse m, an der zwei Feder besfestigt sind. Eine rechts und die andere links, sodass sie direkt gegenüber voneinander sind. Diese Federn sind wiederum jeweils an einem Block befestigt. |
Hallo!
Hier was ich mir überlegt habe:
Die Auslenkung findet nur entlang der x-Achse statt.
Eine Feder hat die Federkonstante K. Dadurch, dass es zwei Federn sind, ist die Rückstellkraft [mm] \overrightarrow{F_{F}}=-2K*x
[/mm]
Es sei 2*K=D. Also [mm] \overrightarrow{F_{F}}=-D*x
[/mm]
Die Reibungskraft ist [mm] \overrightarrow{F_{R}}=-p*x'
[/mm]
Somit folgt insgesamt: m*x''=-D*x-p*x' [mm] \gdw x''=-\bruch{D}{m}*x-\bruch{p}{m}*x'
[/mm]
Das müsste die Bewegungsgleichung sein, oder?
Dann stand da noch: "Die Ruhelage habe die Koordinate [mm] \vec{x}=0 [/mm] "
Das bedeutet dann doch x(0)=0, oder? Und ist somit eine Anfangsbedingung für die Differentialgleichung?
Man sollte den Ansatz [mm] \vec{x}(t)=\vec{a}*exp(\lambda*t) [/mm] verwenden. Ist mit [mm] \vec{a} [/mm] wirklich die Beschleunigung gemeint, also x'' ?
Also [mm] x''=\bruch{x}{exp(\lambda*t)} [/mm] und [mm] x''=-\bruch{D}{m}*x-\bruch{p}{m}*x'
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{x}{exp(\lambda*t)}=-\bruch{D}{m}*x-\bruch{p}{m}*x' \gdw x'=-\bruch{m+D*exp(\lambda*t)}{exp(\lambda*t)*p}*x
[/mm]
Diese DGL erster Ordnung kann man dann lösen und es folgt dann:
[mm] x(t)=x(0)*exp(-\bruch{m+D*exp(\lambda*t)}{exp(\lambda*t)*p}*t)
[/mm]
Aber mit x(0)=0 folgt, dass x(t)=0 für alle t.
Kann mir jemand sagen wo mein Fehler ist?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Mi 22.01.2014 | | Autor: | chrisno |
> Dann stand da noch: "Die Ruhelage habe die Koordinate
> [mm]\vec{x}=0[/mm] "
> Das bedeutet dann doch x(0)=0, oder? Und ist somit eine
> Anfangsbedingung für die Differentialgleichung?
Nein, dass ist nur die Aussage, wie das Koordinatensystem zu wählen ist. Das hast Du berücksichtigt, indem Du die Kraft 0 für x=0 angesetzt hast.
>
> Man sollte den Ansatz [mm]\vec{x}(t)=\vec{a}*exp(\lambda*t)[/mm]
> verwenden. Ist mit [mm]\vec{a}[/mm] wirklich die Beschleunigung
> gemeint, also x'' ?
>
Nein, gar nicht. Das ist eine Amplitude.
Die Differentialgleichung hat mehrere Lösungen. Die hängen davon ab, in welchem Verhältnis p und D stehen. Der Tipp ist für eine der Lösungen gut. Er ist für alle Lösungen gut, wenn Du auch komplexwertige Lösungen betrachtest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Mi 22.01.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Achso ok! Danke!
Also:
[mm] x(t)=a*exp(\lambda*t)
[/mm]
[mm] x'(t)=a*\lambda*exp(\lambda*t)
[/mm]
[mm] x''(t)=a*\lambda^{2}*exp(\lambda*t)
[/mm]
Somit:
[mm] a*\lambda^{2}*exp(\lambda*t)=-\bruch{p}{m}*a*\lambda*exp(\lambda*t)-\bruch{D}{m}*a*exp(\lambda*t)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda^{2}=-\bruch{p}{m}*\lambda-\bruch{D}{m}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1/2}=-\bruch{p}{2*m}\pm\wurzel{\bruch{p^{2}}{4*m^{2}}-\bruch{D}{m}}
[/mm]
Also ist die Lösung nicht eindeutig. Aber das ist es im Prinzip, richtig?
Nun soll ich ja aber "die verschiedenen Typen physikalischer Lösungen" zeigen.
Mir ist nicht ganz klar wie das gemeint ist. Welche anderen "Typen"? Soll ich einen anderen Ansatz wählen? Und die komplexen Zahlen zulassen mit: [mm] x(t)=a*exp(i*\lambda*t) [/mm] ?
Vielen Dank!
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Mi 22.01.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Hallo!
Ich habe also 4 Lösungen:
Fall 1: [mm] \bruch{p^{2}}{4*m^{2}}>\bruch{D}{m}
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=-\bruch{p}{2*m}+\wurzel{\bruch{p^{2}}{4*m^{2}}-\bruch{D}{m}}
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-\bruch{p}{2*m}-\wurzel{\bruch{p^{2}}{4*m^{2}}-\bruch{D}{m}}
[/mm]
Fall 2: [mm] \bruch{p^{2}}{4*m^{2}}<\bruch{D}{m}
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=-\bruch{p}{2*m}+i*\wurzel{\bruch{p^{2}}{4*m^{2}}-\bruch{D}{m}}
[/mm]
[mm] \lambda_{4}=-\bruch{p}{2*m}-i*\wurzel{\bruch{p^{2}}{4*m^{2}}-\bruch{D}{m}}
[/mm]
Ist es das?
Vielen Dank!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mi 22.01.2014 | | Autor: | xx_xx_xx |
Hallo!
Oh, ach ja!
Fall 2:
[mm] \lambda_{3}=\bruch{-p}{2*m}+i*\wurzel{\bruch{D}{m}-\bruch{p^{2}}{4*m^{2}}} [/mm]
[mm] \lambda_{4}=\bruch{-p}{2*m}-i*\wurzel{\bruch{D}{m}-\bruch{p^{2}}{4*m^{2}}} [/mm]
Fall [mm] 3:\bruch{p^{2}}{4*m^{2}}=\bruch{D}{m}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{5}=\bruch{-p}{2*m} [/mm]
So stimmt es jetzt aber, oder?
Danke!
LG
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
