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Geburtstage von zwei Personen: Richtige Anzahl der Möglichkei
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Mi 03.02.2021
Autor: Riesenradfahrrad

Hallo!

ich habe folgendes Problem:
1. Es sollen zunächst alle Möglichkeiten gezählt werden, dass zwei zufällig ausgewählte Menschen nicht am gleichen Tag Geburtstag haben.

Hier gibt es meiner Ansicht nach zwei Möglichkeiten zu zählen.
a) Ich unterscheide die beiden Personen, nenne sie A und B und unterscheide zB die Fälle (Geburstag von A ist am dritten Januar, Geburstag von B ist am 17. März) [mm] $\neq$ [/mm] (Geburstag von B ist am dritten Januar, Geburstag von A ist am 17. März) und komme auf
[mm] $$\begin{pmatrix} 365\\2\end{pmatrix}\cdot2!=132860$$ [/mm]
b) Ich unterscheide obiges Tupel nicht, betrachte also Mengen nicht Tupel, und erhalte halb so viele Möglichkeiten
[mm] $$\begin{pmatrix} 365\\2\end{pmatrix}=66430$$ [/mm]

Dass man auf zwei verschiedene Arten zählen kann, finde ich eigentlich schon unmathematisch genug.
Aber noch skurriler finde ich, dass ich zwei verschiedene Wahrscheinlichkeiten herausbekomme

[mm] $$P(\text{A und B nicht am gleichen Tag Geburtstag nach a)})=\tfrac{\begin{pmatrix} 365\\2\end{pmatrix}\cdot2!}{365^2}=\tfrac{364}{365}$$ [/mm]

[mm] $$P(\text{A und B nicht am gleichen Tag Geburtstag nach b)})=\tfrac{\begin{pmatrix} 365\\2\end{pmatrix}}{365^2-\begin{pmatrix} 365\\2\end{pmatrix}}=\tfrac{364}{366}$$ [/mm]

Aber eventuell habe ich mich verrechnet... Kann jemand da Klarheit hineinbringen?


        
Bezug
Geburtstage von zwei Personen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:09 Mi 03.02.2021
Autor: statler

Auch hallo!
>  
> ich habe folgendes Problem:
>  1. Es sollen zunächst alle Möglichkeiten gezählt
> werden, dass zwei zufällig ausgewählte Menschen nicht am
> gleichen Tag Geburtstag haben.
>  
> Hier gibt es meiner Ansicht nach zwei Möglichkeiten zu
> zählen.

Scheitert die richtige Lösung vielleicht einfach daran, daß das Problem noch nicht hinreichend genau beschrieben ist?
Man könnte auch antworten: Es gibt 2 Möglichkeiten, nämlich daß sie am gleichen Tag Geburtstag haben oder eben nicht. Das ist aber ziemlich sicher nicht gemeint.
Du deutest ja an, daß du mit Hilfe der Möglichkeiten eine Wahrscheinlichkeit ausrechnen willst oder sollst. Und die ist nicht 1/2, weil mein Vorschlag keine Laplace-Verteilung liefert.

Welche  tools sind dir denn geläufig? Urnenmodelle, Wahrscheinlichkeitsbäume, Wahrscheinlichkeitsräume?

Gruß Dieter

Bezug
        
Bezug
Geburtstage von zwei Personen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 Mi 03.02.2021
Autor: HJKweseleit

Bei a) zählst du doch einfach die verschiedenen Möglichkeiten für beliebige 2 verschiedene Tage und verdoppelst, weil ja getauscht werden kann. Das setzt du ins Verhältnis zu allen Möglichkeiten, wobei du auch hier Tausche doppelt zählst (daher [mm] 365^2). [/mm]

Bei b) zählst du nur die verschiedenen Möglichkeiten für 2 verschiedene Tage. Die musst du jetzt ins Verhältnis zu allen möglichen Tagen setzen, wobei Vertauschungen aber nur einmal gezählt werden sollen. Du nimmst also alle möglichen Paare und willst dann die [mm] \vektor{365 \\ 2} [/mm] abziehen, weil sie ja doppelt vorkommen und nur einmal gezählt werden sollen. Das ist sehr schlau, aber du hast etwas dabei vergessen: Die Rechnung (Anzahl aller günstigen mögl.)/(Anzahl aller Mögl.) gibt nur dann die Wahrsch. wieder, wenn alle Mgl. gleichwahrscheinlich sind. Wenn du dir bei [mm] 365^2 [/mm] vorstellst, dass du zuerst das Datum für A und dann das für B würfelst und als Paar aufschreibst, dann ist z.B. (2.2.|2.2.) genau so wahrscheinlich wie (3.4.|5.6.). Weil aber auch noch (5.6.|3.4.) vorkommt und du diese beiden letztgenannten Daten bei den günstigen Ereignissen nur einmal gezählt hast, teilst du nun durch 2, indem du diese Mgl. einmal wieder subtrahierst. Da du das aber mit den Doppeltagen wie (2.2.|2.2.) nicht machst, wirkt deren Anzahl nun, als hätten sie die doppelte Wahrscheinlichkeit gegenüber (3.4.|5.6.) bzw. die selbe Wahrscheinlichkeit wie das Paar (3.4.|5.6.) und (5.6.|3.4.) zusammen. Deshalb musst du auch die Doppeltermine nochmal halb abziehen:

[mm] \bruch{\vektor{365 \\ 2}}{365^2-\vektor{365 \\ 2}-365/2}=\bruch{364}{365} [/mm]


Dritter Weg - wohl der einfachste: A hat sonstwann Geburtstag. Wie groß ist nun die W., dass B an einem anderen Tag Geburtstag hat? [mm] \bruch{364}{365} [/mm] und fertig.


Wie groß ist die W., dass 5 Personen an verschiedenen Tagen Geb.Tag haben?

1. Kandidat: egal, p=1
Dazu kommt 2. Kandidat: an einem anderen Tag: [mm] p=1*\bruch{364}{365} [/mm]

Dazu kommt 3. Kandidat: an keinem der bisherigen Tage: [mm] p=1*\bruch{364}{365}*\bruch{363}{365} [/mm]

Dazu kommt 4. Kandidat: an keinem der bisherigen Tage: [mm] p=1*\bruch{364}{365}*\bruch{363}{365}*\bruch{362}{365} [/mm]

Dazu kommt 5. Kandidat: an keinem der bisherigen Tage: [mm] p=1*\bruch{364}{365}*\bruch{363}{365}*\bruch{362}{365}*\bruch{361}{365} [/mm]
usw.

Bezug
                
Bezug
Geburtstage von zwei Personen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:07 Di 16.02.2021
Autor: Riesenradfahrrad

Vieler Dank an statler für den gewitzten Hinweis mit P=1/2 und sehr großen Dank HJKweseleit. Den letzten Teil finde ich sehr clever und Schülerfreundlich (Baumdiagramm veranschaulichbar). Den mittleren Teil muss ich mir noch mal mit mehr Ruhe anschauen und kann dann erst rückmelden, ob ich ihn nachvollziehen kann - aber schon mal dafür besten Dank!

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