Geburtstag < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Der Mathekurs hat zwanzig Teilnehmer.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,dass mindestens zwei der Schüler am gleichen Tag des Jahres Geburtstag haben? |
Hallo^^
Bei der Aufgabe stand noch zusätzlich,dass man den Vorgang mithilfe von Zufallszahlen simulieren soll.Das hab ich gemacht und bin auf eine W. von [mm] \bruch{2}{365}.Kann [/mm] das so stimmen?
Was mich interessiert hat,ist ob man die Aufgabe auch ohne Simulation lösen kann?Eigentlich ist das doch einfach,man setzt einfach die Anzahl der Schüler,die am gleichen Tag Geburtstag haben zum Verhältnis der Jahrestage,also in unserem Fall [mm] p=\bruch{2}{365}.Kann [/mm] man das so machen?
Vielen Dank
lg
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> Der Mathekurs hat zwanzig Teilnehmer.Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit dafür,dass mindestens zwei der Schüler
> am gleichen Tag des Jahres Geburtstag haben?
> Hallo^^
>
> Bei der Aufgabe stand noch zusätzlich,dass man den Vorgang
> mithilfe von Zufallszahlen simulieren soll.Das hab ich
> gemacht und bin auf eine W. von [mm]\bruch{2}{365}.Kann[/mm] das so
> stimmen?
> Was mich interessiert hat,ist ob man die Aufgabe auch ohne
> Simulation lösen kann?Eigentlich ist das doch einfach,man
> setzt einfach die Anzahl der Schüler,die am gleichen Tag
> Geburtstag haben zum Verhältnis der Jahrestage,also in
> unserem Fall [mm]p=\bruch{2}{365}.Kann[/mm] man das so machen?
>
> Vielen Dank
> lg
hallo, wir haben das vor kurzem berechnet für eine gruppe von 25 mann. die gesuchte wahrscheinlichkeit p(A) war recht schwierig zu bestimmen. also geht man eher vom gegenereignis [mm] p(\overline{A}) [/mm] aus.
Das Gegenereignis A tritt dabei genau dann ein, wenn
- Person 2 einen Geburtstag hat, den Person 1 nicht hat und
- Person 3 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 und 2 nicht haben und
- Person 4 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis 3 nicht haben und
[mm] \vdots
[/mm]
- Person 20 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis 19 nicht haben.
damit ist hat das gegenereignis die wahrscheinlichkeit
[mm] p(\overline{A})=\frac{364}{365}*\frac{363}{365}*\frac{362}{365}*\cdots*\frac{346}{365}
[/mm]
und mit [mm] p(A)=1-p(\overline{A}) [/mm] kommst du dann auf die gesuchte wahrscheinlichkeit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Der Mathekurs hat zwanzig Teilnehmer.Wie groß ist die
> > Wahrscheinlichkeit dafür,dass mindestens zwei der Schüler
> > am gleichen Tag des Jahres Geburtstag haben?
> > Hallo^^
> >
> > Bei der Aufgabe stand noch zusätzlich,dass man den Vorgang
> > mithilfe von Zufallszahlen simulieren soll.Das hab ich
> > gemacht und bin auf eine W. von [mm]\bruch{2}{365}.Kann[/mm] das so
> > stimmen?
> > Was mich interessiert hat,ist ob man die Aufgabe auch
> ohne
> > Simulation lösen kann?Eigentlich ist das doch einfach,man
> > setzt einfach die Anzahl der Schüler,die am gleichen Tag
> > Geburtstag haben zum Verhältnis der Jahrestage,also in
> > unserem Fall [mm]p=\bruch{2}{365}.Kann[/mm] man das so machen?
> >
> > Vielen Dank
> > lg
> hallo, wir haben das vor kurzem berechnet für eine gruppe
> von 25 mann. die gesuchte wahrscheinlichkeit p(A) war recht
> schwierig zu bestimmen. also geht man eher vom
> gegenereignis [mm]p(\overline{A})[/mm] aus.
> Das Gegenereignis A tritt dabei genau dann ein, wenn
> - Person 2 einen Geburtstag hat, den Person 1 nicht hat
> und
> - Person 3 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 und 2
> nicht haben und
> - Person 4 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis 3
> nicht haben und
> [mm]\vdots[/mm]
> - Person 20 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis
> 19 nicht haben.
> damit ist hat das gegenereignis die wahrscheinlichkeit
>
> [mm]p(\overline{A})=\frac{364}{365}*\frac{363}{365}*\frac{362}{365}*\cdots*\frac{346}{365}[/mm]
> und mit [mm]p(A)=1-p(\overline{A})[/mm] kommst du dann auf die
> gesuchte wahrscheinlichkeit
>
>
Ok ich hab das mal berechnet und komme auf eine W. von ungefähr 41%.
Das wundert mich aber ein bischen,ich mein es gibt 365 Tage im Jahr und da müsste die W. dass 2 oder mehr von 20 Personen am gleichen Tag Geburtstag doch viel geringer sein.Das ist schon fast die Hälfte...?
lg
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> > > Der Mathekurs hat zwanzig Teilnehmer.Wie groß ist die
> > > Wahrscheinlichkeit dafür,dass mindestens zwei der Schüler
> > > am gleichen Tag des Jahres Geburtstag haben?
> > > Hallo^^
> > >
> > > Bei der Aufgabe stand noch zusätzlich,dass man den Vorgang
> > > mithilfe von Zufallszahlen simulieren soll.Das hab ich
> > > gemacht und bin auf eine W. von [mm]\bruch{2}{365}.Kann[/mm] das so
> > > stimmen?
> > > Was mich interessiert hat,ist ob man die Aufgabe
> auch
> > ohne
> > > Simulation lösen kann?Eigentlich ist das doch einfach,man
> > > setzt einfach die Anzahl der Schüler,die am gleichen Tag
> > > Geburtstag haben zum Verhältnis der Jahrestage,also in
> > > unserem Fall [mm]p=\bruch{2}{365}.Kann[/mm] man das so machen?
> > >
> > > Vielen Dank
> > > lg
> > hallo, wir haben das vor kurzem berechnet für eine gruppe
> > von 25 mann. die gesuchte wahrscheinlichkeit p(A) war recht
> > schwierig zu bestimmen. also geht man eher vom
> > gegenereignis [mm]p(\overline{A})[/mm] aus.
> > Das Gegenereignis A tritt dabei genau dann ein, wenn
> > - Person 2 einen Geburtstag hat, den Person 1 nicht hat
> > und
> > - Person 3 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 und
> 2
> > nicht haben und
> > - Person 4 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis
> 3
> > nicht haben und
> > [mm]\vdots[/mm]
> > - Person 20 einen Geburtstag hat, den die Personen 1
> bis
> > 19 nicht haben.
> > damit ist hat das gegenereignis die wahrscheinlichkeit
> >
> >
> [mm]p(\overline{A})=\frac{364}{365}*\frac{363}{365}*\frac{362}{365}*\cdots*\frac{346}{365}[/mm]
> > und mit [mm]p(A)=1-p(\overline{A})[/mm] kommst du dann auf die
> > gesuchte wahrscheinlichkeit
> >
> >
>
> Ok ich hab das mal berechnet und komme auf eine W. von
> ungefähr 41%.
> Das wundert mich aber ein bischen,ich mein es gibt 365
> Tage im Jahr und da müsste die W. dass 2 oder mehr von 20
> Personen am gleichen Tag Geburtstag doch viel geringer
> sein.Das ist schon fast die Hälfte...?
>
> lg
ja das ist glaube ich auch das problem bei stochastik, vom gefühl her kommen da doch sehr unterschiedliche ergebnisse bei raus 
http://mathenexus.zum.de/html/stochastik/kombinatorik/Geburtstagsproblem.htm hier kannst du nähere erläuterungen finden, und zb. auch eine bestätigung für dein ergebnis
"Ab 23 Personen ist also die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, bereits größer als 50%"
und deine 41% tauchen auch in der tabelle auf, ist also richtig (ich habs nicht nachgerechnet)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Di 22.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
ich hab nochmal eine Frage hierzu.Wie würde das Gegenereignis zu "Mindestens 2 Schüler haben am gleichen Tag Geburtstag" in Worten lauten.Es kann doch nicht sein"Höchstens 1 hat am gleichen Tag Geburtstag".Das ist unlogisch.Wie würde man das dann formulieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Di 22.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Das Gegenereignis würde lauten:
"höchstens 18 Leute haben am selben Tag Geburtstag"
Dieser Wert ergibt sich aus: $20-2 \ = \ 18$ .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Di 22.09.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo zusammen,
> Hallo Mandy!
>
>
> Das Gegenereignis würde lauten:
>
> "höchstens 18 Leute haben am selben Tag Geburtstag"
>
> Dieser Wert ergibt sich aus: [mm]20-2 \ = \ 18[/mm] .
>
>
> Gruß
> Loddar
>
sollte es nicht heißen:
"alle Personen haben an (paarweise) verschiedenen Tagen Geburtstag"?
oder
"höchstens 1 Person hat am gleichen Tag Geburtstag"
Das Ereignis "höchstens 18 haben am gleichen Tag Geburtstag" ist doch in "mindestens 2 haben am gleichen Tag Geburtstag" enthalten...
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Di 22.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo
>
> ich hab nochmal eine Frage hierzu.Wie würde das
> Gegenereignis zu "Mindestens 2 Schüler haben am gleichen
> Tag Geburtstag" in Worten lauten.Es kann doch nicht
> sein"Höchstens 1 hat am gleichen Tag Geburtstag".Das ist
> unlogisch.Wie würde man das dann formulieren?
Hallo,
wie wäre es mit "Alle Schüler haben an verschiedenen Tagen Geburtstag"?
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Di 22.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> hallo, wir haben das vor kurzem berechnet für eine gruppe
> von 25 mann. die gesuchte wahrscheinlichkeit p(A) war recht
> schwierig zu bestimmen. also geht man eher vom
> gegenereignis [mm]p(\overline{A})[/mm] aus.
> Das Gegenereignis A tritt dabei genau dann ein, wenn
> - Person 2 einen Geburtstag hat, den Person 1 nicht hat
> und
> - Person 3 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 und 2
> nicht haben und
> - Person 4 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis 3
> nicht haben und
> [mm]\vdots[/mm]
> - Person 20 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis
> 19 nicht haben.
> damit ist hat das gegenereignis die wahrscheinlichkeit
>
> [mm]p(\overline{A})=\frac{364}{365}*\frac{363}{365}*\frac{362}{365}*\cdots*\frac{346}{365}[/mm]
> und mit [mm]p(A)=1-p(\overline{A})[/mm] kommst du dann auf die
> gesuchte wahrscheinlichkeit
>
>
Ich hab die Aufgabe zwar schon berechnet,aber irgendwie bin ich doch ein wenig verwirrt.
Also das Gegenereignis zu "Mindestens 2 aus 20 Personen haben am selben Tag Geburtstag" lautet "Höchstens 18 Personen haben am selben Tag Geburtstag".
Nun hast du das Gegenereignis oben berechnet.Zum schluss kommst du auf:
....
> - Person 20 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis
> 19 nicht haben.
Aber wie kann das sein?Wenn Person 20 an einem Tag Geburtstag hat,an dem keine andere Person hat und alle anderen auch an verschiedenen Tagen haben,dann hat ja keiner am gleichen Tag Geburtstag.Dann ist ja sicher,dass keiner am gleichen Tag Geburtstag hat.Aber das ist doch nicht das Gegenerieignis...irgenwie verwirrt mich das.Kann mir das bitte jemand nochmal erklären?
Vielen Dank
lg
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Hallo,
Wie Fulla schon in der Mitteilung geschrieben hat, das Gegenereignis zu "Mindestens 2 von 20 Leuten haben am gleichen Tag Geburtstag" ist nicht "Höchstens 18 Leute haben am gleichen Tag Geburtstag" sondern "Alle haben an verschiedenen Tagen Geburtstag".
Generell kannst du dir merken: Ein Ereignis und dessen Gegenereignis müssen sich gegenseitig ausschließen und zusammen die Wahrscheinlichkeit von Ereignis und Gegenereignis summiert ergibt immer 1.
Nun weshalb ist "Höchstens 18 Leute haben am gleichen Tag Geburtstag" nicht das Gegenereignis:
Für die Fälle, das zwischen 2 und 18 der 20 Leute am gleichen Tag Geburtstag haben trifft sowohl das Ereignis "mindestens 2 Leute" als auch "höchstens 18 Leute" haben am selben Tag Geburtstag ein, somit kann das logischerweise nicht das Gegenereignis sein.
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | b) Bestimmen Sie eine allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeit,dass von n Personen mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben |
Ich hab jetzt mal Teilaufgabe b) versucht.
> hallo, wir haben das vor kurzem berechnet für eine gruppe
> von 25 mann. die gesuchte wahrscheinlichkeit p(A) war recht
> schwierig zu bestimmen. also geht man eher vom
> gegenereignis [mm]p(\overline{A})[/mm] aus.
> Das Gegenereignis A tritt dabei genau dann ein, wenn
> - Person 2 einen Geburtstag hat, den Person 1 nicht hat
> und
> - Person 3 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 und 2
> nicht haben und
> - Person 4 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis 3
> nicht haben und
> [mm]\vdots[/mm]
> - Person 20 einen Geburtstag hat, den die Personen 1 bis
> 19 nicht haben.
> damit ist hat das gegenereignis die wahrscheinlichkeit
>
> [mm]p(\overline{A})=\frac{364}{365}*\frac{363}{365}*\frac{362}{365}*\cdots*\frac{346}{365}[/mm]
> und mit [mm]p(A)=1-p(\overline{A})[/mm] kommst du dann auf die
> gesuchte wahrscheinlichkeit
>
>
Die Formel müsste dann doch so laute: [mm] p=1-\bruch{...}{365^{n-1}}.
[/mm]
Ich weiß nur nicht was in den Zähler kommt.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
lg
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Hallo Mandy_90,
Versuche es an einem einfacheren Beispiel mit 3 Personen und nimm dazu fencheltees Ausführungen. Dann wäre die W'keit hier:
[mm]p\left(\bar{A}\right)=1-\frac{365}{365}\cdot{}\frac{365-1}{365}\cdot{}\frac{365-2}{365}=1-\frac{365-3+3}{365}\cdot{}\frac{365-3+2}{365}\cdot{}\frac{365-3+1}{365}=1-\frac{365!/(365-3)!}{365^3}=1-\frac{3!}{365^3}\binom{365}{3}[/mm].
So funktioniert es auch für allgemeine [mm]n\![/mm].
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy_90,
>
>
> Versuche es an einem einfacheren Beispiel mit 3 Personen
> und nimm dazu fencheltees Ausführungen. Dann wäre die
> W'keit hier:
>
>
> [mm]p\left(\bar{A}\right)=1-\frac{365}{365}\cdot{}\frac{365-1}{365}\cdot{}\frac{365-2}{365}=1-\frac{365-3+3}{365}\cdot{}\frac{365-3+2}{365}\cdot{}\frac{365-3+1}{365}=1-\frac{365!/(365-3)!}{365^3}=1-\frac{3!}{365^3}\binom{365}{3}[/mm].
>
Ok Danke.Was ich noch nicht verstehe,ist wie man da drauf kommt,dass 365!/(365-3)!=3! ist? Und woher kommt dieses [mm] \vektor{365 \\ 3}?
[/mm]
> So funktioniert es auch für allgemeine [mm]n\![/mm].
Würde es dann für allgemeine n so aussehen: [mm] p=1-\bruch{\bruch{n!}{(n-k)!}}{n^{3}} [/mm] ?
>
>
> Viele Grüße
> Karl
>
>
>
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Hallo Mandy_90,
> Ok Danke.Was ich noch nicht verstehe,ist wie man da drauf
> kommt,dass 365!/(365-3)!=3! ist? Und woher kommt dieses
> [mm]\vektor{365 \\ 3}?[/mm]
Ich denke, er dachte: [mm]\textcolor{green}{365\cdot{}364\cdot{}363}\mathrel{\textcolor{red}{\cdot{}}}\textcolor{red}{362\dotsm 1}[/mm]. Und da der rote Teil hier "zuviel" ist, mußte er im Zähler durch diesen teilen. Hierbei ist 362! = (365-3)!. Also ist der Zähler: [mm]\tfrac{\textcolor{green}{365\cdot{}364\cdot{}363}\mathrel{\textcolor{red}{\cdot{}}}\textcolor{red}{(365-3)!}}{\textcolor{red}{(365-3)!}}[/mm].
Der Binomialkoeffizient wird meist folgendermaßen definiert: [mm]\textstyle\binom{n}{k}:=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/mm]. Also gilt auch: [mm]\textstyle k!\binom{n}{k}=\frac{k!n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!}[/mm]. Warum er so weiter umgeformt hat, ist nicht ganz klar. Wahrscheinlich hängt es damit zusammen, daß für größere [mm]n\![/mm] es für ältere Taschenrechner einfacher ist einen Binomialkoeffizienten zu berechnen als einen Bruch auszurechnen, wo Fakultäten vorkommen. D.h. mit dieser Darstellung der Formel kann man Diese für größere [mm]n\![/mm] ausprobieren, ohne das der Taschenrechner "ERROR" zurückgibt. Das hängt damit zusammen, daß man den Binomialkoeffizienten auch anders berechnen kann, ohne direkt seine Definition oben zu benutzen.
Gruß V.N.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:25 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit in einer Gruppe von 20 Schülern mindestens ein Schüler am 12.August Geburtstag?
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Kann man hier nicht einfach sagen,dass [mm] p=\bruch{1}{365} [/mm] ist?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Mi 23.09.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit in einer Gruppe von 20
> Schülern mindestens ein Schüler am 12.August Geburtstag?
>
> Kann man hier nicht einfach sagen,dass [mm]p=\bruch{1}{365}[/mm]
> ist?
Nee, kann man nich! Das ist die W. dafür, daß ein bestimmter von den 20 Schülern - also z. B. Meyer1 - am 12. August Geburtstag hat. Überleg dir vielleicht hier auch mal das Gegenereignis, damit kommst du besser zum Ziel.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi!
>
> > c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit in einer Gruppe von 20
> > Schülern mindestens ein Schüler am 12.August Geburtstag?
> >
> > Kann man hier nicht einfach sagen,dass [mm]p=\bruch{1}{365}[/mm]
> > ist?
>
> Nee, kann man nich! Das ist die W. dafür, daß ein
> bestimmter von den 20 Schülern - also z. B. Meyer1 - am
> 12. August Geburtstag hat. Überleg dir vielleicht hier
> auch mal das Gegenereignis, damit kommst du besser zum
> Ziel.
>
Ok,das Gegenereignis zu "Mindestens einer von 20 Schülern hat am 12.Ausgust Geburtstag" lautet "Keiner von 20 Schülern hat am 12.August Geburtstag".
Die W. dafür,dass ein Schüler nicht am 12.August Geburtstag hat beträgt [mm] p=\bruch{364}{365}.
[/mm]
Da es aber 20 Schüler sind,muss man [mm] (\bruch{364}{365})^{20}=0.95 [/mm] rechnen.Also ist die Wahrscheinlichkeit dafür,dass min. 1 von 20 Schülern am 12 August Geburtstag hat p=1-0.95=0.05,also 5% ?
Das ist aber ziemlich wenig.Stimmt das so?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Mi 23.09.2009 | | Autor: | statler |
> > > c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit in einer Gruppe von 20
> > > Schülern mindestens ein Schüler am 12.August Geburtstag?
> > >
> > > Kann man hier nicht einfach sagen,dass [mm]p=\bruch{1}{365}[/mm]
> > > ist?
> >
> > Nee, kann man nich! Das ist die W. dafür, daß ein
> > bestimmter von den 20 Schülern - also z. B. Meyer1 - am
> > 12. August Geburtstag hat. Überleg dir vielleicht hier
> > auch mal das Gegenereignis, damit kommst du besser zum
> > Ziel.
> >
>
> Ok,das Gegenereignis zu "Mindestens einer von 20 Schülern
> hat am 12.Ausgust Geburtstag" lautet "Keiner von 20
> Schülern hat am 12.August Geburtstag".
> Die W. dafür,dass ein Schüler nicht am 12.August
> Geburtstag hat beträgt [mm]p=\bruch{364}{365}.[/mm]
> Da es aber 20 Schüler sind,muss man
> [mm](\bruch{364}{365})^{20}=0.95[/mm] rechnen.Also ist die
> Wahrscheinlichkeit dafür,dass min. 1 von 20 Schülern am
> 12 August Geburtstag hat p=1-0.95=0.05,also 5% ?
> Das ist aber ziemlich wenig.Stimmt das so?
Du hast es doch ausgerechnet. Außerdem ist es immerhin deutlich mehr als dein o. a. Vorschlag.
(Fiese?) Frage: Was ist, wenn ich weiß, daß die 20 Schüler in Wirklichkeit 10 Zwillingspaare sind?
Gruß
Dieter
>
> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Fr 25.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > > c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit in einer Gruppe von 20
> > > > Schülern mindestens ein Schüler am 12.August Geburtstag?
> > > >
> > > > Kann man hier nicht einfach sagen,dass [mm]p=\bruch{1}{365}[/mm]
> > > > ist?
> > >
> > > Nee, kann man nich! Das ist die W. dafür, daß ein
> > > bestimmter von den 20 Schülern - also z. B. Meyer1 - am
> > > 12. August Geburtstag hat. Überleg dir vielleicht hier
> > > auch mal das Gegenereignis, damit kommst du besser zum
> > > Ziel.
> > >
> >
> > Ok,das Gegenereignis zu "Mindestens einer von 20 Schülern
> > hat am 12.Ausgust Geburtstag" lautet "Keiner von 20
> > Schülern hat am 12.August Geburtstag".
> > Die W. dafür,dass ein Schüler nicht am 12.August
> > Geburtstag hat beträgt [mm]p=\bruch{364}{365}.[/mm]
> > Da es aber 20 Schüler sind,muss man
> > [mm](\bruch{364}{365})^{20}=0.95[/mm] rechnen.Also ist die
> > Wahrscheinlichkeit dafür,dass min. 1 von 20 Schülern am
> > 12 August Geburtstag hat p=1-0.95=0.05,also 5% ?
> > Das ist aber ziemlich wenig.Stimmt das so?
>
> Du hast es doch ausgerechnet. Außerdem ist es immerhin
> deutlich mehr als dein o. a. Vorschlag.
>
> (Fiese?) Frage: Was ist, wenn ich weiß, daß die 20
> Schüler in Wirklichkeit 10 Zwillingspaare sind?
>
Nun,wenn ich weiß dass die 20 Schüler 10 Zwillingspaare sind,dann ist die W.,dass mindestens einer am 12.August Geb. hat 1 oder?
lg
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Hallo> > (Fiese?) Frage: Was ist, wenn ich weiß, daß die 20
> > Schüler in Wirklichkeit 10 Zwillingspaare sind?
> >
>
> Nun,wenn ich weiß dass die 20 Schüler 10 Zwillingspaare
> sind,dann ist die W.,dass mindestens einer am 12.August
> Geb. hat 1 oder?
Wieso denn bitteschön 1?
Es war nicht vorausgesetzt, dass du weißt, ob eines der Zwillingspaare am 12. Geburtstag hat, nur dass du weißt, dass es sich um 10 Zwillingspaare handelt.
Die Wahrscheinlichkeit zu berechnen geht analog zu: Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 Schülern (von denen du nicht weißt, ob Zwillinge dabei sind), mindestens einer am 12. August Geburtstag hat.
Denn es sind ja 10 verschiedene Zwillingspaare und die Paare haben jeweils an selben Tagen Geburtstag.
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | d) Ab welcher Schülerzahl ist die Wahrscheinlichkeit,dass mindestens ein Schüler am 12.August Geburtstag hat,größer als 50%? |
Hallo
Ich hab jetzt noch die letzte Teilaufgabe gemacht.Meine Rechnung:
[mm] 1-(\bruch{364}{365})^{n}>0.5
[/mm]
Wenn ich das nach n auflöse,komme ich auf n>252,65.Das bedeutet,dass wenn es 253 oder mehr Schüler sind,dass die Wahrscheinlichkeit,dass mindestens ein Schüler am 12.August Geburtstag hat,dann mindestens 50% ist?
Stimmt das so?
Übrigens:Auf deine Frage mit den Zwillingen werde ich später eingehen statler =)
lg
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Hallo,
> d) Ab welcher Schülerzahl ist die Wahrscheinlichkeit,dass
> mindestens ein Schüler am 12.August Geburtstag
> hat,größer als 50%?
> Hallo
>
> Ich hab jetzt noch die letzte Teilaufgabe gemacht.Meine
> Rechnung:
>
> [mm]1-(\bruch{364}{365})^{n}>0.5[/mm]
>
> Wenn ich das nach n auflöse,komme ich auf n>252,65.Das
> bedeutet,dass wenn es 253 oder mehr Schüler sind,dass die
> Wahrscheinlichkeit,dass mindestens ein Schüler am
> 12.August Geburtstag hat,dann mindestens 50% ist?
> Stimmt das so?
Habs nachgerechnet, stimmt so genau.
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 24.09.2009 | | Autor: | Arwen |
Wieso kann dieses Problem nicht mit dem Binomialkoeffizienten berechnet werden, also ungeordnet und im Zähler ohne Zurücklegen und im Nenner mit Zurücklegen? P(A)= 1 - [mm] {n}\choose{k} [/mm] / [mm] {n+k-1}\choose{k} [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Fr 25.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo.
Mh ich würd nur schonmal aus logischen Gründen sagen weil in deiner Formel für die Wahrscheinlichkeit nur n und k vorkommen, du brauchst aber 3 angaben: 365 Tage, 20 Schüler, 2 Ausgewählt...
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Hallo,
> Wieso kann dieses Problem nicht mit dem
> Binomialkoeffizienten berechnet werden, also ungeordnet und
> im Zähler ohne Zurücklegen und im Nenner mit
> Zurücklegen? P(A)= 1 - [mm]{n}\choose{k}[/mm] / [mm]{n+k-1}\choose{k}[/mm]
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Deine Frage hat mich ganz schön ins grübeln gebracht aber es gibt eine ganz einfache Antwort: Weil alle möglichen Ereignisse nicht immer gleich wahrscheinlich sind zu den günstigen Ereignissen, auch wenns aufs erste komisch klingen mag.
Ich möcht es dir mal anhand einer analogen Aufgabe verdeutlichen:
3 Leute würfeln mit einem ganz normalen 6-seitigen Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 eine gleiche Augenzahl würfeln?
Die richtige Lösung wäre hier: P= 1- [mm] \bruch{6*5*4}{6*6*6} [/mm] =
[mm] \bruch{96}{216} [/mm] = [mm] \bruch{4}{9}.
[/mm]
Falsch wäre dein Ansatz: P= 1- [mm] \bruch{\vektor{6 \\ 3}}{\vektor{8 \\ 3}} [/mm] = [mm] \bruch{36}{56} [/mm] = [mm] \bruch{9}{14}.
[/mm]
Ums klarer zu machen, weshalb das falsch ist, schauen wir uns doch mal die Ereignisse an,
zunächst die (nach deiner Rechnung) 20 Ereignisse, bei denen die Personen verschiedene Augenzahlen haben:
1-2-3, 1-2-4, 1-2-5, 1-2-6, 1-3-4, 1-3-5, 1-3-6, 1-4-5, 1-4-6, 1-5-6, 2-3-4, 2-3-5, 2-3-6, 2-4-5, 2-4-6, 2-5-6, 3-4-5, 3-4-6, 3-5-6, 4-5-6.
Zu diesen kommen nun noch die möglichen 36 Ereignisse, die da lauten
1-1- 1 bis 6 durchgängig, 2-2- 1 bis 6 durchgängig, 3-3-1 bis 6 durchgängig, 4-4 1 bis 6 durchgängig, 5-5- 1 bis 6 durchgängig, und 6-6- 1 bis 6 durchgängig.
Nun sieht man bei den günstigen Ereignissen kann 1-2-3 mit Berücksichtigung der Reihenfolge in folgender Form auftreten:
1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2, 3-2-1. Das sind 6 verschiedene gleich wahrscheinliche Möglichkeiten.
Nun schauen wir uns mal die dazukommenden restlichen möglichen Ereignisse an, zum Beispiel:
1-1-3, das kann in folgender Form auftreten: 1-1-3, 1-3-1, und 3-1-1. Sind also nur 3 verschiedene gleich wahrscheinliche Ereignisse.
Bei 1-1-1 gibts dieses Ereignis nur in dieser Form.
So entsteht dann der Fehler bei deiner Rechnung.
Viele Grüße
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