Gebroch.rat. Funktion vereinf. < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Do 12.02.2009 | | Autor: | Sebban |
| Aufgabe | | [mm] (3*x^2-3*x) [/mm] / [mm] (x-2)^2 [/mm] |
Ich soll eine Kurvendiskussion zu dieser gebrochen rationalen Funktion erstellen.
Bei der Differentialrechnung viel mir jedoch auf, dass die Anwendung der Quotientenregel, ohne vorheriges vereinfachen des Terms zu einer sehr umfangreichen Ableitung führt. (Was die Extremstellenberechnung verkompliziert und schnell für Flüchtigkeitsfehler sorgen kann)
Ich habe es selbst nicht geschafft die Funktion zu vereinfachen. Letzte Stunde lernte unser Kurs die Linearfaktorzerlegung. Da ich dort nicht anwesend war bin ich mir nicht sicher ob ich eine Vereinfachungsmöglichkeit übersehen habe.
Durch ausklammern komme ich hier nicht zu Faktoren, die sich wegkürzen ließen. Und die Polynome von Zähler und Nenner gleichen sich auch nicht. Schlichte Polynomdivision ist (glaube ich) auch nicht durchführbar.
Habe ich also etwas übersehen oder muss ich einfach die Quotientenregel anwenden und mit den komplexen Ableitungen weiterrechnen. (Bei denen muss in meiner Rechnung bereits an einer Stelle ein Vorzeichenfehler vorliegen [kontrolliert mit Winplot])
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Sebban und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> [mm](3*x^2-3*x)[/mm] / [mm](x-2)^2[/mm]
> Ich soll eine Kurvendiskussion zu dieser gebrochen
> rationalen Funktion erstellen.
>
> Bei der Differentialrechnung viel mir jedoch auf, dass die
> Anwendung der Quotientenregel, ohne vorheriges vereinfachen
> des Terms zu einer sehr umfangreichen Ableitung führt. (Was
> die Extremstellenberechnung verkompliziert und schnell für
> Flüchtigkeitsfehler sorgen kann)
Das ist leider so 
>
> Ich habe es selbst nicht geschafft die Funktion zu
> vereinfachen. Letzte Stunde lernte unser Kurs die
> Linearfaktorzerlegung. Da ich dort nicht anwesend war bin
> ich mir nicht sicher ob ich eine Vereinfachungsmöglichkeit
> übersehen habe.
>
> Durch ausklammern komme ich hier nicht zu Faktoren, die
> sich wegkürzen ließen.
Ich auch nicht, du kannst den Zähler zwar schreiben als [mm] $3x\cdot{}(x-1)$, [/mm] aber so richtig hilft das nicht
> Und die Polynome von Zähler und
> Nenner gleichen sich auch nicht. Schlichte Polynomdivision
> ist (glaube ich) auch nicht durchführbar.
Kannst du machen, hilft aber auch nicht so sehr
>
> Habe ich also etwas übersehen oder muss ich einfach die
> Quotientenregel anwenden und mit den komplexen Ableitungen
> weiterrechnen. (Bei denen muss in meiner Rechnung bereits
> an einer Stelle ein Vorzeichenfehler vorliegen
> [kontrolliert mit Winplot])
So "schlimm" sind die Ausdrücke, die du mit der Quotientenregel erhältst, gar nicht, achte nur darauf, im Zähler, den du da erhältst, nicht bedenkenlos auszumultiplizieren!
Du kannst immer den Nennerterm (in einer gewissen Potenz) ausklammern und kürzen, so dass sich die Potenz im Nenner bei jeder Ableitung immer nur um 1 erhöht.
Ich mach das mal, dann siehst du konkret, was ich meine
[mm] $f(x)=\frac{3x^2-3x}{(x-2)^2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f'(x)=\frac{(6x-3)\cdot{}\blue{(x-2)}^2-\left[(3x^2-3x)\cdot{}2\cdot{}\blue{(x-2)}^1\right]}{(x-2)^4}$
[/mm]
Nun, wie gesagt, nicht wild ausmultiplizieren, sondern schön [mm] $\blue{(x-2)}$ [/mm] ausklammern
[mm] $=\frac{\blue{(x-2)}\cdot{}\left((6x-3)\cdot{}(x-2)-2\cdot{}(3x^2-3x)\right)}{(x-2)^4}$
[/mm]
Nun schön kürzen und dann vereinfachen im Zähler (ausmultiplizieren und zusammenfassen ...)
Mache das mal und rechne auch mal die 2.Ableitung zur Übung auf diese Weise aus ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Do 12.02.2009 | | Autor: | Sebban |
Meine Ableitung war also schon richtig. Ich hatte bereits nachdem Verfahren:
(u'*v) / [mm] (v^2) [/mm] - (u*v') / [mm] (v^2)
[/mm]
gekürzt.
Meine Nullstellenberechnung der Ableitung jedoch nicht. Aber ich habe den Vorzeichenfehler jetzt gefunden. Ich hatte einen Vorzeichenwechsel beim multiplizieren mit dem Nenner nicht beachtet.
Dann werde ich jetzt mal weiterschauen, ob meine 2. Ableitung auch richtig ist.
|
|
|
|
