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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] R^2 [/mm] -> R, k € R
k | [mm] y^2 [/mm] - x + 1 | , (x,y) € [0,2] x [-1,1]
f(x,y) = (
0 , sonst
In der Statistik nenne man eine Funktion f: [mm] R^2 [/mm] -> R eine Dichtefunktion, wenn
(i) f(x,y) >= 0 für alle (x,y) € [mm] R^2
[/mm]
(ii) [mm] \integral_{R}^{}\integral_{x R}^{}{f(x,y) dG} [/mm] = 1
gilt. Bestimmen Sie k € R so, dass f eine Dichtefunktion ist. |
Guten Tag,
ich habe wie folgt angenfangen:
[mm] \integral_{0}^{2}\integral_{-1}^{1}{k | y^2 - x + 1 | dy dx}
[/mm]
Auflösen:
2 * ( [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{k ( y^2 - x + 1 ) dy dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}\integral_{x^2}^{1}{k ( y^2 - x + 1 ) dy dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}\integral_{0}^{x^2}{-k ( y^2 - x + 1 ) dy dx}
[/mm]
Aber wenn ich das ausrechne, kommt so ein Gewusel dabei raus...
Ist mein Ansatz denn überhaupt richtig?
Mit freundlichen Grüßen,
Pingumane
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Der Faktor [mm]k[/mm] ist konstant und kann vors Integral gezogen werden. Es genügt daher,
[mm]I = \int \limits_0^2 \int \limits_{-1}^1 \left| y^2 - x + 1 \right| ~ \mathrm{d}y ~ \mathrm{d}x[/mm]
zu berechnen. Der Integrand ist bezüglich [mm]y[/mm] gerade, das [mm]y[/mm]-Integrationsintervall [mm][-1,1][/mm] liegt symmetrisch zu 0. Daher gilt:
[mm]I = 2 \cdot \int \limits_0^2 \int \limits_0^1 \left| y^2 - x + 1 \right| ~ \mathrm{d}y ~ \mathrm{d}x[/mm]
Jetzt zerlegt man das [mm]x[/mm]-Intervall: [mm][0,2] = [0,1] \cup [1,2][/mm]. Der Grund ist der folgende: Für [mm]x \in [0,1][/mm] gilt [mm]y^2 - x + 1 \geq y^2 \geq 0[/mm]. Man kann daher für [mm]x \in [0,1][/mm] die Betragsstriche weglassen:
[mm]I = 2 \cdot \left( \int \limits_0^1 \int \limits_0^1 \left( y^2 - x + 1 \right) ~ \mathrm{d}y ~ \mathrm{d}x \ + \ \int \limits_1^2 \int \limits_0^1 \left| y^2 - x + 1 \right| ~ \mathrm{d}y ~ \mathrm{d}x \right)[/mm]
Jetzt sind noch die Betragsstriche im zweiten Doppelintegral zu entfernen. Man unterscheidet (beachte: [mm]y \in [0,1][/mm] und [mm]x-1 \in [0,1][/mm] wegen der Integrationsintervalle)
[mm]y^2 - x + 1 \geq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ y^2 \geq x - 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ y \geq \sqrt{x-1}[/mm]
sowie
[mm]y^2 - x + 1 \leq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ y^2 \leq x - 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ y \leq \sqrt{x-1}[/mm]
Jetzt versuche, die Sache zu Ende zu bringen.
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Vielen Dank für die Antwort.
Erst einmal eine kleine Erklärung zu meiner Rechnung.
Genau den Ansatz habe ich auch benutzt. Ich habe mir dafür die Integrationsgrenzen mal aufgezeichnet, sowie die Funktion und habe, wie du auch bereits sagtest, ebenfalls festgestellt, dass die Funktion symmetrisch ist und ich die Integrationsintervalle aufteilen muss in [0,1] x [0,1] und [1,2] x [0,1].
Was ich übersehen habe, ist die Tatsache, dass man das k aus dem Integral nehmen kann. Zudem habe ich gedacht, dass meine Integrationsgrenzen für x > 1 den Funktionsverlauf annehmen müssen. Sprich y = 1 für die obere Grenze und y = [mm] x^2 [/mm] für die untere; sowie für den negativen Teil y ? [mm] x^2 [/mm] als obere und y = 0 als untere Grenze.
Ich weiß jetzt, dass ich die Grenzen falsch gesetzt habe, weil ich die Funktion y = [mm] x^2 [/mm] angenommen hatte, was aber, wie du gezeigt hast y = [mm] \wurzel{x-1} [/mm] lauten muss.
Ich hoffe damit konnte ich meine Gedanken ein wenig klarer machen. Vielleicht wurde es auch schlimmer :)
Mir ist noch der Teil hier noch unklar:
Jetzt sind noch die Betragsstriche im zweiten Doppelintegral zu entfernen. Man unterscheidet (beachte: $ y [mm] \in [/mm] [0,1] $ und $ x-1 [mm] \in [/mm] [0,1] $ wegen der Integrationsintervalle)
$ [mm] y^2 [/mm] - x + 1 [mm] \geq [/mm] 0 \ \ [mm] \Leftrightarrow [/mm] \ \ [mm] y^2 \geq [/mm] x - 1 \ \ [mm] \Leftrightarrow [/mm] \ \ y [mm] \geq \sqrt{x-1} [/mm] $
sowie
$ [mm] y^2 [/mm] - x + 1 [mm] \leq [/mm] 0 \ \ [mm] \Leftrightarrow [/mm] \ \ [mm] y^2 \leq [/mm] x - 1 \ \ [mm] \Leftrightarrow [/mm] \ \ y [mm] \leq \sqrt{x-1} [/mm] $
Kann ich die Integrationsgrenzen so stehen lassen und muss den Integranden auflösen (siehe Gl. 1), oder muss ich ebenfalls die Grenzen ersetzen (siehe Gl. 2)? Und mir ist nicht ganz klar geworden wie ich den Betrag aufzulösen habe.
Ich dachte es ginge so: Wenn Betrag > 0 -> Klammern weg; Wenn Betrag < 0 -> Term negativ setzen
Gl. 1:
I = 2 * ( $ [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{( y^2 - x + 1 ) dy dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{1}^{2}\integral_{0}^{1}{( y^2 - x + 1 ) dy dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{1}^{2}\integral_{0}^{0}{(-1)*( y^2 - x + 1 ) dy dx} [/mm] $ )
Gl. 2:
I = 2 * ( $ [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{( y^2 - x + 1 ) dy dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{1}^{2}\integral_{\wurzel{x-1}}^{1}{( y^2 - x + 1 ) dy dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{1}^{2}\integral_{0}^{\wurzel{x-1}}{(-1)*( y^2 - x + 1 ) dy dx} [/mm] $ )
Ist eine der Gleichungen richtig?
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Die zweite Gleichung ist richtig.
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Okay, gibt es jetzt noch irgend einen Trick, mit dem sich die Integrale leicht lösen können? Es ist immerhin eine Klausuraufgabe und so einen Batzen zu integrieren dauert seine Zeit und ist sehr fehleranfällig. Kann man da etwas zusammenfassen, was ich gerade übersehe?
Noch einmal die Gleichung:
I = 2 * ( $ [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{( y^2 - x + 1 ) dy dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{1}^{2}\integral_{\wurzel{x-1}}^{1}{( y^2 - x + 1 ) dy dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{1}^{2}\integral_{0}^{\wurzel{x-1}}{(-1)\cdot{}( y^2 - x + 1 ) dy dx} [/mm] $ )
Wenn ich alle nach y integriert habe, kann ich den zweiten Teil des zweiten Integrals mit dem dritten verrechnen. Gibt es noch eine Vereinfachung?
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Hallo,
Prinzipiell sind diese Integrale elementar ausrechenbar - also da braucht man 0 Tricks und Kniffe ... der Integrand lautet :
[mm] $y^2 [/mm] -x +1$
dieser ist sowohl nach x als auch y elementar intbar.
Lg
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Machbar schon, nur wird das doch unglaublich mühselig. Ich mach das mal nach y:
I = 2 * ( $ [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}{( y^2 - x + 1 ) dy dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{1}^{2}\integral_{\wurzel{x-1}}^{1}{( y^2 - x + 1 ) dy dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{1}^{2}\integral_{0}^{\wurzel{x-1}}{(-1)\cdot{}( y^2 - x + 1 ) dy dx} [/mm] $ )
= 2 * ( [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{3} - x + 1 dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{2}{(\bruch{1}{3} - x + 1) - ( \bruch{(x-1)* \wurzel{x-1}}{3} - x*\wurzel{x-1} + \wurzel{x-1}) dx} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{(x-1)* \wurzel{x-1}}{3} - x*\wurzel{x-1} + \wurzel{x-1} dx} [/mm] )
Das ist einfach ein riesen Koloss, wenn ich das jetzt noch nach x integriere...
Vielleicht übersehe ich ja auch einfach eine elementare Kleinigkeit beim Integrieren, die mir das Leben deutlich angenehemr machen könnte.
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Wenn man die Integrationsreihenfolge vertauscht und [mm]\int |t| ~ \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \, t \cdot |t|[/mm] verwendet, kommt man ohne Fallunterscheidung aus. Das sieht man jedoch nicht von vorneherein so ohne weiteres. Für die Klausur wäre das also nicht unbedingt von Vorteil.
[mm]I = 2 \cdot \int \limits_0^1 \int \limits_0^2 \left| y^2 - x + 1 \right| ~ \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y = 2 \cdot \int \limits_0^1 \int \limits_0^2 \left| -y^2 + x - 1 \right| ~ \mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y[/mm]
Für das innere Integral berechnet man (wegen des Integrationsintervalls für [mm]y[/mm] ist [mm]\left| -y^2 + 1 \right| = -y^2 + 1[/mm]):
[mm]\int \limits_0^2 \left| -y^2 + x - 1 \right| ~ \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left. \left( -y^2 + x - 1 \right) \cdot \left| -y^2 + x - 1 \right| \right|_{x=0}^{x=2} = \frac{1}{2} \left( \left( 1 - y^2 \right)^2 + \left( 1 + y^2 \right)^2 \right) = \left( 1 + y^4 \right)[/mm]
Und die Hauptrechnung geht dann so weiter:
[mm]I = 2 \cdot \int \limits_0^1 \left( 1 + y^4 \right) ~ \mathrm{d} y[/mm]
Die Sache ist wegen der Vorzeichen aber auch rechenfehleranfällig.
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Noch ergänzend (und der Notation von Leopold_Gast folgend) :
Bestimme dann anschließend k so, dass
$k [mm] \cdot [/mm] I = 1 $
gilt.
Lg
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