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| Aufgabe | | Lineare Algebra, Seite 39, Aufgabee 4: Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in S (50/245000) einen Sattelpunkt und schneidet die y-Achse im Punkt P (0/120000). Ermitteln Sie den Funktionsterm. |
Hey,
ich muss am Freitag eine Aufgabe vorstellen, um mich vor einem Unterkurs zu retten und krieg die Aufgabe nicht wirklich hin, meine Rechnung will nicht aufgehen. Ich muss anhand der gegebenen Informationen 4 Funktionen bilden, die ich dann mittels des gauschen Eliminationsverfahren in eine Dreiecksmatrix kriege und somit den Funktionsterm rauskriege.
Wie ich bisher vorgegangen bin: Da es sich um eine Funktion dritten Grades handelt, müsste es eigentlich folgende Grundformel sein: f(x)= ax³ + bx² cx + d.
Durch den Sattelpunkt habe ich folgende 3 Formeln bilden können:
I: f(50)= 245000
II: f'(50)= 0
III: f''(50)= 0
In den Funktionsterm eingesetzt bekomme ich folgendes heraus:
I: 125000a + 2500b+ 50c + d = 245000
II: 7500a + 100b + c = 0
III: 300a+ 2b = 0
Durch den Schnittpunkt an der y-Achse habe ich folgende letzte Formel gebildet:
IV: f(0)= 120000
In den Funktionsterm habe ich folgendes gebildet:
IV: d = 120000
Nun, das alles habe ich dann als erweiterte Matrix aufgeschrieben und bin angefangen zu rechnen..und eben hier komme ich nicht weiter. Ich muss ja ansich lediglich die 125000, die 100 und die eine 0 auf jeweils 1 kriegen und die 7500, die 300 und die 2 in ne 0 umwandeln. Ich komm einfach nicht aufs Ergebnis und hoffe daher nun hier auf Hilfe ^^. Ist wirklich wichtig, sonst würde ich auch nich so dreist fragen, daher: Kann mir jemand weiterhelfen bzw. den Dreiecks-Matrix-Rechenteil "kurz" vorrechnen?
Grüße
Jan
PS: Wenn meine am Anfang gebildeten Funktionen von grundauf falsch sind, dann sagt es mir bitte.. Vielleicht liegt dort ja der Hund begraben ;).
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Vielen Dank für deine Antwort! :)
Wie ist deine Matrix am Ende aufgegangen?
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 ?
Wenn ja, dann bräuchte Ich da eventuell doch nochmal detallierte Hilfe von jemanden, bei mir kommen da recht viele Brüche raus ^^.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mi 24.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib Du doch mal Schritt fuer Schritt auf, was du gemacht hast, Dann hilft dir sicher jemand den Fehler zu finden, aber DU hast die Schreibarbeit und nicht wir.
Gruss leduart
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Kein Problem:
Erweiterte Matrix-Gleichung:
125000 2500 50 1 | 245000
7500 100 1 0 | 0
300 2 0 0 | 0
0 0 0 1 | 120000
Erster Schritt: Vierte Zeile * -1, das dann addiert gen Erste Zeile
Ergebnis:
125000 2500 50 0 | 125000
7500 100 1 0 | 0
300 2 0 0 | 0
0 0 0 1 | 120000
Zweiter Schritt: Zweite Zeile * 25, das dann addiert gen Erste Zeile
Ergebnis:
-62500 0 25 0 | 125000
7500 100 1 0 | 0
300 2 0 0 | 0
0 0 0 1 | 120000
Dritter Schritt: Dritte Zeile *(- 25), das dann addiert gen Zweite Zeile
Ergebnis:
-62500 0 25 0| 125000
0 150 1 0 | 0
300 2 0 0 | 0
0 0 0 1 | 120000
So, und weiter weiss ich momentan nicht (Das ist meine zweiter Rechenweg, den ersten mit den Brüchen hab ich mittlerweile überstanden ^^). Ich müsste ja ansich zwingend die -62500, die 150 und die 0 (Zeile 3, Spalte 3) zu ner 1 umwandeln und die 300 zu einer 0 umwandeln. Könnte mir da eventuell jemand weiterhelfen? Soweit ich weiss, ist es ja auch nich zwingend notwendig, dass die oberen Werte wie die 25 und die andere 1 (Zeile 1, Spalte 3) zu ner 0 werden, oder?
Grüße
Jan
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Hallo,
ich möchte dir eine Lösungsmöglichkeit vorstellen:
[mm] \vmat{ 125000 & 2500 & 50 & 1 & 245000 \\ 7500 & 100 & 1 & 0 & 0 \\ 300 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 120000}
[/mm]
ich nehme lieber kleine Zahlen:
1. Zeile: durch 1000
2. Zeile: durch 100
3. Zeile: durch 100
[mm] \vmat{ 125 & 2,5 & 0,05 & 0,001 & 245 \\ 75 & 1 & 0,01 & 0 & 0 \\ 3 & 0,02 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 120000}
[/mm]
jetzt neue Zeilen bilden.
neue 2. Zeile: 75 mal 1. Zeile minus 125 mal 2. Zeile
neue 3. Zeile: 3 mal 1. Zeile minus 125 mal 3. Zeile
[mm] \vmat{ 125 & 2,5 & 0,05 & 0,001 & 245 \\ 0 & 62,5 & 2,5 & 0,075 & 18375 \\ 0 & 5 & 0,15 & 0,003 & 735 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 120000}
[/mm]
jetzt neue Zeile bilden
neue 3. Zeile: 5 mal 2. Zeile minus 62,5 mal 3. Zeile
[mm] \vmat{ 125 & 2,5 & 0,05 & 0,001 & 245 \\ 0 & 62,5 & 2,5 & 0,075 & 18375 \\ 0 & 0 & 3,125 & 0,1875 & 45937,5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 120000}
[/mm]
damit hast du es geschafft, beginnend mit der 4. Zeile wieder Gleichungen bilden, nach oben einsetzen, die Ergebnisse sind ja schon bekannt:
d=120000
c=7500
b=-150
a=1
Gleichung: .....
Steffi
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Hey,
danke für eure Antworten.
Was mir gerade auffällt: Ich habe bisher immer gedacht, dass wenn ich z.b. die zweite Zeile durch die erste verändern will wie bei dem beispiel von steffi ("jetzt neue Zeilen bilden: neue 2. Zeile: 75 mal 1. Zeile minus 125 mal 2. Zeile"), ich dann nur die zweite zeile auch richtig veränder und zwar mit der ersten die zweite umrechne, die erste davon allerdings komplett unberührt bleibt. Ich steig da grad garnicht mehr durch, mein Sitznachbar hat heute nämlich auch noch zu mir gemeint, dass sich lediglich in der Zeile etwas verändert, in der unter zuhilfenahme von anderen Zeilen was verändert werden soll. Im Netz finde ich dazu auch nicht wirklich viel Hilfe, von dem Buch will ich erst garnicht anfangen.
@ chrisno: Kann ich die einzelnen Zeilen auch einfach austauschen, sodass ich dann durch eventuelle Neuordnung eine Dreiecksform bekomme, die nicht unten links sondern oben rechts wäre? Ist das ansich erlaubt, die Dreiecksform oben rechts zu bilden?
nochmal @ steffi: kannst du mir eventuell noch kurz erklären, wie das dann am ende zurückgerechnet wird? ich bin kurz vorm kapitulieren und versteh selbst das nicht mehr. ich hätte nun einfach zeile mal spalte gerechnet, doch komm ich damit nicht wirklich weit.
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Hallo,
du bildest z. B. aus der 1. und 2. Zeile eine neue 2. Zeile, die 1. Zeile bleibt dabei unverändert!!!! Wie du an meinem Beispiel siehst, gucke ich zuerst in die ersten Spalten, dort stehen die Faktoren, die 1. Zeile multiplizierst du mit dem Faktor der 2. Zeile und umgekehrt, dann nimmst du die 1. und 3. Zeile, bildest eine neue 3. Zeile, jetzt stehen in der neuen 2. und neuen 3. Zeile in der 1. Spalte Nullen, jetzt nimmst du die 2. (neue) und 3. (neue) Zeile und bildest eine neue 3. Zeile.
Du kannst selbstverständlich auch einzelne Zeilen vertauschen, denke an deine aufgestellten Gleichungen aus dem Gleichungssystem, in welcher Reihenfolge du die Gleichungen untereinander schreibst ist doch egal, genauso ist die Reihenfolge der Zeilen in der Matrix egal.
Jetzt zu deiner Frage, wie zurückgerechnet wird, du hast ja meine Matrix:
in der 1. Spalte steht Variable a, in der 2. Spalte Variable b u.s.w., in der vierten Zeile steht 0; 0; 0; 1, 120000, das bedeutet
0*a+0*b+0*c+1*d=120000, also
1*d=120000, also c=120000
in der 3. Zeile steht 0;0; 3,125; 0,1875; 45937,5, das bedeutet
0*a+0*b+3,125*c+0,1875*d=45937,5 also
3,125*c+0,1875*d=45937,5, d hast du schon, also einsetzen
3,125*c+0,1875*120000=45937,5
3,125*c+22500=45937,5 | -22500
3,125*c=23437,5 | :3,125
c=7500
jetzt hast du schon 2 Variablen, mache aus der 2. Zeile wieder eine Gleichung, setze c und d ein, du hast b, über die 1. Zeile bekommst du dann a,
Steffi
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Vielen Dank für deine ausführliche Antwort, ich habs verstanden! :)
Nur.. bei der Berechnung von a krieg ich nicht 1 raus.
Ich hab folgende Rechnung:
125a + 2,5 * (-)150 + 0,05 * 7500 + 0,001 * 7500 = 245
=> 125a + 7,5 = 237,5 |:125
=> a = 1,9
Kannst du mir eventuell noch sagen, wo da der Fehler liegt?
Liebe Grüße
Jan
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Hallo,
du hast für d 7500 eingesetzt, d ist aber 120000 ,
Steffi
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Genau dasselbe ist mir grad auch aufgefallen.. ^^
Danke! :) Hast mir quasi das Leben gerettet ;).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mi 24.01.2007 | | Autor: | chrisno |
>
> -62500 0 25 0| 125000
> 0 150 1 0 | 0
> 300 2 0 0 | 0
> 0 0 0 1 | 120000
>
Das Ziel ist die Dreiecksform, wobei das Dreieck nicht so klar da stehen muß.
Zuerst einmal:
> 0 0 0 1 | 120000 das ist ja fertig, nun brauchst Du DIch nur noch um den Rest zu kümmern, da sonst ja überall d den Vorfaktor Null hat.
> -62500 0 25 0| 125000
> 0 150 1 0 | 0
> 300 2 0 0 | 0
Dein Ziel muß nun sein, das in einer Zeile nur noch ein Eintrag unlgeich Null steht. Wenn Du zum Beispiel die erste und zweite so kombinierst, dass die 150 verschwindet, dann hast Du eine neue Zeile r 0 s 0 | 0 (r und s für Dich zum ausrechnen) Dies kannst Du mit der ersten Zeile verrechnen,
mit dem Ergebnis, dass r = ... dasteht. Ab dann kannst Du alles rückwärts aufdröseln.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Do 25.01.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Vielen Dank für deine Antwort! :)
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> Wie ist deine Matrix am Ende aufgegangen?
>
> 1 0 0 0
> 0 1 0 0
> 0 0 1 0
> 0 0 0 1 ?
>
> Wenn ja, dann bräuchte Ich da eventuell doch nochmal
> detallierte Hilfe von jemanden, bei mir kommen da recht
> viele Brüche raus ^^.
ich hab das gar nicht mit 'ner Matrix gemacht 
da wir wissen, dass d=120000 ist, reduziert sich das Gleichungssystem auf drei Unkekannte.
Außerdem ist die dritte Gleichung schon fast gelöst: 300a+2b=0 oder b=-150a
in die zweite eingesetzt gibt das: c=7500a
und alles in der ersten verbraten: 125000a=125000 --- damit ist a=1, b=-150 u.s.w.
Liebe Grüße
Herby
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Ok danke, so langsam geht mir n Licht auf.. :)
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