Gaußscher Satz Fluss < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | | Gegeben sei das Vektorfeld [mm] \vec{F}(\vec{r}) [/mm] = [mm] xy^{2}\vec{e_{x}} [/mm] + [mm] yz^{2}\vec{e_{y}} [/mm] + [mm] zx^{2}\vec{e_{z}}. [/mm] Berechnen Sie den Fluss [mm] \integral_{S}{d\vec{\delta}* \vec{F}(\vec{r})} [/mm] (Das Integral hat nen Kringel in der Mitte und das delta ist eigentlich ein sigma...) des Vektorfeldes [mm] \vec{F} [/mm] durch die geschlossene Oberfläche S= [mm] \partial [/mm] V einer Kugel mit Radius R um den Ursprung mit Hilfe des Gaußschen Satzes. |
Hi!
Also ich weiß nicht so recht wie ich an die Aufgabe rangehe... Hab zwar Ideen aber da gibt es einige Dinge, die mir nicht ganz klar sind. Zuerst kann ich mit dem S= [mm] \partial [/mm] V nicht anfangen. Dann würde ich gerne wissen, wie das Vorgehen generell ist. Meine Idee ist, dass ich die Divergenz des Feldes berechne und darüber dann integriere, aber dann hätte ich ein dF da stehen und außerdem wüßt ich nicht in welchen Grenzen.
Wäre toll wenn mir da jemand weiterhelfen könnte...
LG
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Sa 22.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kerstin!
> Gegeben sei das Vektorfeld [mm]\vec{F}(\vec{r}) = xy^{2}\vec{e_{x}} + yz^{2}\vec{e_{y}} + zx^{2}\vec{e_{z}}.[/mm]
> Berechnen Sie den Fluss [mm]\integral_{S}{d\vec{\delta}* \vec{F}(\vec{r})}[/mm]
> (Das Integral hat nen Kringel in der Mitte und das delta
> ist eigentlich ein sigma...) des Vektorfeldes [mm]\vec{F}[/mm] durch
> die geschlossene Oberfläche S= [mm]\partial[/mm] V einer Kugel mit
> Radius R um den Ursprung mit Hilfe des Gaußschen Satzes.
> Hi!
>
> Also ich weiß nicht so recht wie ich an die Aufgabe
> rangehe... Hab zwar Ideen aber da gibt es einige Dinge, die
> mir nicht ganz klar sind. Zuerst kann ich mit dem [mm]S= \partial V[/mm] nicht anfangen.
Das bedeutet nur, dass die Fläche S die Randfläche des Volumens V ist. Ganz allgemein bezeichnet man mit [mm] $\partial [/mm] M$ den Rand der Menge M.
> Dann würde ich gerne wissen,
> wie das Vorgehen generell ist. Meine Idee ist, dass ich die
> Divergenz des Feldes berechne und darüber dann integriere,
> aber dann hätte ich ein dF da stehen und außerdem wüßt
> ich nicht in welchen Grenzen.
Es geht um das Integral
[mm] \oint\limits_S d\vec{\sigma}* \vec{F}(\vec{r})[/mm]
Da S die Randfläche von V ist, ist laut dem Satz von Gauss
[mm] \oint\limits_S d\vec{\sigma}* \vec{F}(\vec{r}) = \integral_V \mathop{\mathrm{div}} \vec{F}(\vec{r}) \, \,dV [/mm].
Du musst also das Volumenintegral auf der rechten Seite ausrechnen.
Für die Integration musst du das Integrationsgebiet V geeignet parametrisieren. V ist laut Aufgabe eine Kugel vom Radius R um den Ursprung, daher bietet es sich an, Kugelkoordinaten für diese Rechnung zu wählen - insbesondere auch deswegen, weil [mm] $\mathop{\mathrm{div}} \vec{F}(\vec{r})=\vec{r}^2$ [/mm] nur vom Betrag von [mm] $\vec{r}$ [/mm] abhängt, also nicht von den Winkeln.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Kueken |
Super. Vielen Dank!
Ich versuch mich mal darin =)
LG
Kerstin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Kueken |
Hmm, wahrscheinlich wird man das nachrechnen müssen und das ist zu viel Aufwand, aber vielleicht weiß jemand ja doch ob [mm] \bruch{2}{3} \pi^{2} R^{3} [/mm] stimmen kann. =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Sa 22.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hmm, wahrscheinlich wird man das nachrechnen müssen und
> das ist zu viel Aufwand, aber vielleicht weiß jemand ja
> doch ob [mm]\bruch{2}{3} \pi^{2} R^{3}[/mm] stimmen kann. =)
Nein, stimmt nicht, es kommt [mm]\bruch{4}{5} \pi R^{5}[/mm] heraus.
Es muss die 5. Potenz einer Länge herauskommen, weil die Divergenz von F die Dimension [mm] $(\text{Länge})^2$ [/mm] hat und das Integral die Dimension [mm] $(\text{Länge})^3$.
[/mm]
Ich vermute, du hast vergessen, den Integranden mit der Funktionaldeterminante der Koordinatentransformation zu multiplizieren [mm] ($r^2\sin\theta$).
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:49 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Kueken |
Ok, ich weiß aber noch nichtmal was das ist...
Könntest du vielleicht ein zwei Worte darüber verlieren. Was ist Funktionaldeterminante der Koordinatentransformation? Und warum damit multiplizieren? Muss man das immer machen?
Viele Grüße zurück und Danke dir für deine Antwort!
Kerstin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:21 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Kueken |
Upps,
das sollte eine Frage sein :)
Ok, ich weiß aber noch nicht was das ist...
Könntest du vielleicht ein zwei Worte darüber verlieren. Was ist Funktionaldeterminante der Koordinatentransformation? Und warum damit multiplizieren? Muss man das immer machen?
Viele Grüße zurück und Danke dir für deine Antwort!
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:13 Sa 22.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kerstin!
> Ok, ich weiß aber noch nicht was das ist...
> Könntest du vielleicht ein zwei Worte darüber verlieren.
> Was ist Funktionaldeterminante der
> Koordinatentransformation? Und warum damit multiplizieren?
> Muss man das immer machen?
Ja. Das ist die Verallgemeinerung der Substitution bei gewöhnlichen Integral: wenn du in
[mm] \integral f(x) dx [/mm]
die Substitution $x=g(z)$ machst, dann musst du mit $g'(z)$ multiplizieren:
[mm] \integral f(x) dx = \integral f(g(z))*g'(z) dz [/mm]
Bei einer Koordinatentransformation eines mehrdimensionalen Integrals steht da die Determinante der Jacobimatrix, z.B. [mm] $\vec{x} [/mm] = [mm] g(\vec{y})$:
[/mm]
[mm] \integral f(\vec x) dx = \integral f(g(\vec{y})) \left| \bruch{\partial(x_1,x_2,x_3)}{\partial(y_1,y_2,y_3)}\right| dy [/mm] .
Bei der Transformation von kartesischen Koordinaten im Polarkoordinaten in 3 Dimensionen ist diese Determinante gerade [mm] $r^2\sin\theta$ ($\theta$ [/mm] ist der Azimuthwinkel).
Also ist in der Aufgabe:
[mm] \integral_V r^2 d\mathbf{r} = \integral_0^{2\pi} d\phi \integral_0^\pi \sin\theta d\theta \integral_0^R r^2 * r^2 dr = 2\pi * 2 *R^5/5 [/mm].
Das Produkt der beiden ersten Integrale ist gerade die Oberfläche der Einheitskugel, also [mm] $4\pi$. [/mm] Es ist nützlich, sich das zu merken, denn bei kugelsymmetrischen Integralen, immer wenn der Integrand nur vom Radius abhängt, kann man die Integration über die Winkel vorziehen, und es ist
[mm] \integral_{K_R(0)} f(r) d\mathbf{r} = 4\pi \integral_0^R r^2 f(r) dr [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:29 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Kueken |
Ok, dann werd ich mir die 4 [mm] \pi [/mm] mal merken :)
Kann es sein, dass wir das unter dem Produkt der Maßfaktoren der jeweiligen Koordinaten kennengelernt haben? Wir hatten da mal was mit einer Matrix und Metrix und blaundschwätz. Das hab ich halt nicht verstanden, aber das hier erinnert mich stark daran...
Wie die Maßfaktoren heißen weiß ich aber noch =)
Danke dir wieder einmal =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Sa 22.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kerstin!
> Ok, dann werd ich mir die 4 [mm]\pi[/mm] mal merken :)
>
> Kann es sein, dass wir das unter dem Produkt der
> Maßfaktoren der jeweiligen Koordinaten kennengelernt
> haben? Wir hatten da mal was mit einer Matrix und Metrix
> und blaundschwätz. Das hab ich halt nicht verstanden, aber
> das hier erinnert mich stark daran...
Ja, genau das ist es. Anderes Stichwort: ![[]](/images/popup.gif) Transformationssatz.
Ich finde, man kann es sich anschaulich klar machen, wenn man das Integral als Ergebnis eines Grenzprozesses ansieht.
Ein Volumenintegral der Form
[mm] \integral_V f(x) dx [/mm]
kannst du approximieren, indem du das Volumen V in lauter kleine Quader zerlegst. Wenn ein Quader die (einander gegenüberliegenden) Eckpunkte $(x,y,z)$ und [mm] $(x+\Delta [/mm] x, [mm] y+\Delta [/mm] y, [mm] z+\Delta [/mm] z$ hat, so ist der Beitrag dieses kleinen Volumen näherungsweise $f(x,y,z) [mm] *\Delta x*\Delta y*\Delta [/mm] z$; alle diese Beiträge werden aufsummiert.
Jetzt machst du eine Transformation auf Polarkoordinaten. Nehmen wir an, zum Punkt $(x,y,z)$ gehören die Polarkoordinaten [mm] $(r,\theta,\phi)$ [/mm] und zum Punkt [mm] $(x+\Delta [/mm] x, [mm] y+\Delta [/mm] y, [mm] z+\Delta [/mm] z)$ gehören [mm] $(r+\Delta r,\theta+\Delta\theta,\phi+\Delta\phi)$. [/mm] Wie groß ist [mm] $\Delta x*\Delta y*\Delta [/mm] z$ in Polarkoordinaten ausgedrückt? Dazu rechnest du zum Beispiel
[mm] \Delta x = (x+\Delta x) - x = (r+\Delta r) \sin(\theta+\Delta\theta) * \cos(\phi+\Delta \phi) - r \sin\theta * \cos\phi [/mm]
und ebenso für [mm] $\Delta [/mm] y $ und [mm] $\Delta [/mm] z$.
Aus der Definition der Ableitung folgt, dass
[mm] \Delta x*\Delta y*\Delta z = \bruch{\partial (x,z,y)}{\partial (r,\theta,\phi)} * \Delta r *\Delta\theta* \Delta \phi + \text{Terme höherer Ordnung in $ \Delta r,\Delta\theta,\Delta \phi$} [/mm] .
(Das ist gerade der Anfang der Taylorentwicklung.)
Im Grenzübergang immer kleinerer Quader bleibt nur der erste Term übrig, und du hast den Transformationssatz.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 So 30.01.2011 | | Autor: | Kueken |
Danke dir für die Zusatzinfo! Jetzt hab ich auch das andere verstanden... =)
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