Gaußscher Integralsatz < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Fr 12.12.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Berechnen Sie für die folgenden Körper K und Vektorfelder F: [mm] R^{3} [/mm] -> [mm] R^{3} [/mm] jeweils den Fluss (von innen nach außen) des Vektorfeldes F durch die Oberfläche von K unter der Verwendung des Gaußschen Integralsatz.
a) Der Körper K [mm] \subset R^{3} [/mm] sei eine Hohlkugel um den Urprung mit Innenradius R=1 und Außenradius R=2. Das Vektorfeld F sei gegeben durch
F(x,y,z) = [mm] \bruch{1}{3} (x^{3},y^{3},z^{3})^{T}.
[/mm]
b) K [mm] \subset R^{3} [/mm] sei der Zylinder längs der z-Achse von z=0 bis z=4 mit Radius R=2. Das Vektorfeld F sei gegeben durch
F(x,y,z) = [mm] (x^{3}y, y^{2}, x^{9}y^{5})^{T}.
[/mm]
c) Der Körper K [mm] \subset R^{3} [/mm] sei gegeben durch
K = { [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in R^{3} [/mm] , [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \le \bruch{4}{9} z^{2}, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 3 }.
K ist also ein Kegel längs der z-Achse, dessen Kegelspitze im Ursprung liegt und dessen Deckel die Kreisscheibe mit Radius R=2 und Mittelpunkt [mm] (0,0,3)^{T} [/mm] in der Ebene z=3 ist. Das Vektorfeld F sei gegeben durch
F(x,y,z) = (9x, 9y, [mm] z\wurzel{x^{2}+y^{2}})^{T} [/mm] |
Hi zusammen,
der Satz von Gauß zeigt doch die Beziehung vom Flächen- und Volumenintegral
[mm] \integral_{B}^{}{(div*v) dV} [/mm] = [mm] \integral_{\partialB}^{}{(v*n) d0}, [/mm] oder ?
Also nun zur Aufgabe.
a)
Ich berechne zuerst div F(x,y,z) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}{(x^2+y^2+z^2) dz,dy,dx}
[/mm]
Hier meine Schranke, bzw. Parameter: a=1 & b=2
Ist das korrekt gewählt, oder muss ich das Volumen einer Kugel hier irgendwie anwenden.
Volumen Kugel: V = [mm] \bruch{3}{4}*\pi*r^{3}
[/mm]
Falls meine gewählten Schranken doch stimmen sollten habe ich das ganze mal durchgerechnet.
Ich habe zunächst nach z integriert und dann obere minus untere Schranke berechnet. Das dann noch mit y und x.
Dies habe ich aus einer Beispielsaufgabe. Wieso eigentlich erst nach z dann y und dann x und nicht umgekehrt ?
Meine Ergebnis:
[mm] \integral_{1}^{2}\integral_{1}^{2}\integral_{1}^{2}{(x^2+y^2+z^2) dz,dy,dx} [/mm] = 7
Danke für eure Hilfe im voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Fr 12.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
> Hi zusammen,
>
> der Satz von Gauß zeigt doch die Beziehung vom Flächen-
> und Volumenintegral
> [mm]\integral_{B}^{}{(div*v) dV}[/mm] =
> [mm]\integral_{\partialB}^{}{(v*n) d0},[/mm] oder ?
>
> Also nun zur Aufgabe.
> a)
> Ich berechne zuerst div F(x,y,z) = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm]
>
> [mm]\integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}{(x^2+y^2+z^2) dz,dy,dx}[/mm]
Du integrierst doch über K und nicht über einen Quader.
Zur integration bieten sich hier Polarkoordinaten an.
>
> Hier meine Schranke, bzw. Parameter: a=1 & b=2
> Ist das korrekt gewählt, oder muss ich das Volumen einer
> Kugel hier irgendwie anwenden.
> Volumen Kugel: V = [mm]\bruch{3}{4}*\pi*r^{3}[/mm]
>
> Falls meine gewählten Schranken doch stimmen sollten habe
> ich das ganze mal durchgerechnet.
> Ich habe zunächst nach z integriert und dann obere minus
> untere Schranke berechnet. Das dann noch mit y und x.
> Dies habe ich aus einer Beispielsaufgabe. Wieso eigentlich
> erst nach z dann y und dann x und nicht umgekehrt ?
>
> Meine Ergebnis:
>
> [mm]\integral_{1}^{2}\integral_{1}^{2}\integral_{1}^{2}{(x^2+y^2+z^2) dz,dy,dx}[/mm]
> = 7
>
> Danke für eure Hilfe im voraus
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Sa 13.12.2014 | | Autor: | Phnix |
Ich habe diese Aufgabe zur Übungszwecken gerechnet und wollte nun mal Fragen ob ich alles richtig gemacht habe, oder ob jemand ein Fehler sieht.
a)
Kugel [mm] \pmat{ r *sin (\nu)* cos (\phi) \\ r* sin (\nu)* sin (\phi) \\ r *cos (\nu) }
[/mm]
0 [mm] \le\phi\le 2\pi
[/mm]
0 [mm] \le\nu\le \pi
[/mm]
1 [mm] \ler\le [/mm] 2
F [mm] =\bruch{1}{3} \pmat{ x^3 \\ y^3 \\ z^3}
[/mm]
div F [mm] =x^2+y^2+z^2
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{div FK dV}= \integral_{V}^{}{x^2+y^2+z^2 dx} [/mm] =
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi}\integral_{1}^{2}{{[r^2* sin^2 (\nu)* cos^2 (\phi) + r^2*sin^2 (\nu)*sin^2 (\phi)+ r^2* cos^2 (\nu)] * r^2 *sin (\phi) dr}d\nu}d\phi
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi}\integral_{1}^{2}{{[ sin^2 (\nu)* cos^2 (\phi)*sin (\phi) + sin^2 (\nu)*sin^3 (\phi)+ cos^2 (\nu) *sin (\phi)] * r^4 dr}d\nu}d\phi
[/mm]
von innen nach außen
Stammfunktion nach r und eingesetzt
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} [/mm] [ [mm] sin^2 (\nu)* cos^2 (\phi)*sin (\phi) [/mm] + [mm] sin^2 (\nu)*sin^3 (\phi)+ cos^2 (\nu)*sin (\phi)]*\bruch{31}{5}d\nu d\phi [/mm]
Stammfuntion nach [mm] \nu [/mm] vor dem Einsetzen in der Grenze 0 bis pi
[mm] =\bruch{31}{5}\integral_{0}^{2\pi} (\bruch{\nu}{2}- \bruch{sin(2\nu)}{4})* cos^2 (\phi)*sin (\phi) [/mm] +/ [mm] \bruch{\nu}{2}- \bruch{sin(2\nu)}{4})*sin^3 (\phi)+ (\bruch{\nu}{2}+ \bruch{sin(2\nu)}{4})*sin (\phi) d\phi [/mm]
Eingesetzt:
[mm] =\bruch{31}{5}\integral_{0}^{2\pi} (\bruch{\pi}{2}- \bruch{0}{4})* cos^2 (\phi)*sin (\phi) [/mm] + [mm] (\bruch{\pi}{2}- \bruch{0}{4})*sin^3 (\phi)+ (\bruch{\pi}{2}+ \bruch{0)}{4})*sin (\phi) [/mm] -0 [mm] d\phi [/mm]
pi/2 ausgeklammert und davor geschoben
[mm] =\bruch{31\pi}{10}*\integral_{0}^{2\pi} cos^2 (\phi)*sin (\phi) +sin^3 (\phi)+sin (\phi) d\phi
[/mm]
Stammfunktion nach [mm] d\phi
[/mm]
[mm] =\bruch{31\pi}{10}* [/mm] [ [mm] -\bruch{cos ^3 (\phi)}{3}+\bruch{cos ^3 (\phi)}{3}-\bruch{cos(\phi)} [/mm] - cos [mm] (\phi) [/mm] - cos [mm] (\phi)]
[/mm]
eingesetzt
[mm] =\bruch{31\pi}{10} *[\bruch{1}{3}-\bruch{1}{3} [/mm] - 1 -1 - [mm] [\bruch{1}{3}-\bruch{1}{3} [/mm] - 1-1 ]] [mm] =\bruch{31\pi}{10} [/mm] * (0)= 0
Ich bite von irgendwem um Bestätigung, ob er auf das selbe kommt.
|
|
|
| |
|
Hallo Phnix,
> Ich habe diese Aufgabe zur Übungszwecken gerechnet und
> wollte nun mal Fragen ob ich alles richtig gemacht habe,
> oder ob jemand ein Fehler sieht.
>
> a)
>
> Kugel [mm]\pmat{ r *sin (\nu)* cos (\phi) \\ r* sin (\nu)* sin (\phi) \\ r *cos (\nu) }[/mm]
>
> 0 [mm]\le\phi\le 2\pi[/mm]
> 0 [mm]\le\nu\le \pi[/mm]
> 1 [mm]\ler\le[/mm] 2
>
> F [mm]=\bruch{1}{3} \pmat{ x^3 \\ y^3 \\ z^3}[/mm]
>
> div F [mm]=x^2+y^2+z^2[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{div FK dV}= \integral_{V}^{}{x^2+y^2+z^2 dx}[/mm]
> =
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi}\integral_{1}^{2}{{[r^2* sin^2 (\nu)* cos^2 (\phi) + r^2*sin^2 (\nu)*sin^2 (\phi)+ r^2* cos^2 (\nu)] * r^2 *sin (\phi) dr}d\nu}d\phi[/mm]
>
Die Funktionaldeterminante lautet doch [mm]r^{2}*\sin\left(\red{\nu}\right)[/mm]
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi}\integral_{1}^{2}{{[ sin^2 (\nu)* cos^2 (\phi)*sin (\phi) + sin^2 (\nu)*sin^3 (\phi)+ cos^2 (\nu) *sin (\phi)] * r^4 dr}d\nu}d\phi[/mm]
>
> von innen nach außen
>
> Stammfunktion nach r und eingesetzt
>
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi}[/mm] [ [mm]sin^2 (\nu)* cos^2 (\phi)*sin (\phi)[/mm]
> + [mm]sin^2 (\nu)*sin^3 (\phi)+ cos^2 (\nu)*sin (\phi)]*\bruch{31}{5}d\nu d\phi[/mm]
>
> Stammfuntion nach [mm]\nu[/mm] vor dem Einsetzen in der Grenze 0 bis
> pi
> [mm]=\bruch{31}{5}\integral_{0}^{2\pi} (\bruch{\nu}{2}- \bruch{sin(2\nu)}{4})* cos^2 (\phi)*sin (\phi)[/mm]
> +/ [mm]\bruch{\nu}{2}- \bruch{sin(2\nu)}{4})*sin^3 (\phi)+ (\bruch{\nu}{2}+ \bruch{sin(2\nu)}{4})*sin (\phi) d\phi[/mm]
>
> Eingesetzt:
>
> [mm]=\bruch{31}{5}\integral_{0}^{2\pi} (\bruch{\pi}{2}- \bruch{0}{4})* cos^2 (\phi)*sin (\phi)[/mm]
> + [mm](\bruch{\pi}{2}- \bruch{0}{4})*sin^3 (\phi)+ (\bruch{\pi}{2}+ \bruch{0)}{4})*sin (\phi)[/mm]
> -0 [mm]d\phi[/mm]
>
> pi/2 ausgeklammert und davor geschoben
>
> [mm]=\bruch{31\pi}{10}*\integral_{0}^{2\pi} cos^2 (\phi)*sin (\phi) +sin^3 (\phi)+sin (\phi) d\phi[/mm]
>
> Stammfunktion nach [mm]d\phi[/mm]
>
> [mm]=\bruch{31\pi}{10}*[/mm] [ [mm]-\bruch{cos ^3 (\phi)}{3}+\bruch{cos ^3 (\phi)}{3}-\bruch{cos(\phi)}[/mm]
> - cos [mm](\phi)[/mm] - cos [mm](\phi)][/mm]
>
> eingesetzt
>
> [mm]=\bruch{31\pi}{10} *[\bruch{1}{3}-\bruch{1}{3}[/mm] - 1 -1 -
> [mm][\bruch{1}{3}-\bruch{1}{3}[/mm] - 1-1 ]] [mm]=\bruch{31\pi}{10}[/mm] *
> (0)= 0
>
> Ich bite von irgendwem um Bestätigung, ob er auf das selbe
> kommt.
Mit Deiner Funktionaldeterminante [mm]r^{2}*\sin\left(\phi\right)[/mm]
stimmt das Ergebnis,
MIt der richtigen Funktionaldeterminante [mm]r^{2}*\sin\left(\nu\right)[/mm]
kommt ein von NUll verschiedens Ergebnis heraus.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:35 Sa 13.12.2014 | | Autor: | Phnix |
Vielen Dank,
ärgerlicher Fehler!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Di 16.12.2014 | | Autor: | Bindl |
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi}\integral_{1}^{2}{{[r^2* sin^2 (\nu)* cos^2 (\phi) + r^2*sin^2 (\nu)*sin^2 (\phi)+ r^2* cos^2 (\nu)] * r^2 *sin (\phi) dr}d\nu}d\phi[/mm]
>
> >
>
>
> Die Funktionaldeterminante lautet doch
> [mm]r^{2}*\sin\left(\red{\nu}\right)[/mm]
Kann ich hier nicht das [mm] r^{2} [/mm] kürzen ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Di 16.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> >
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi}\integral_{1}^{2}{{[r^2* sin^2 (\nu)* cos^2 (\phi) + r^2*sin^2 (\nu)*sin^2 (\phi)+ r^2* cos^2 (\nu)] * r^2 *sin (\phi) dr}d\nu}d\phi[/mm]
>
> >
> > >
> >
> >
> > Die Funktionaldeterminante lautet doch
> > [mm]r^{2}*\sin\left(\red{\nu}\right)[/mm]
>
> Kann ich hier nicht das [mm]r^{2}[/mm] kürzen ?
Was willst Du da kürzen ?
Es ist
[mm] r^2\cdot{} sin^2 (\nu)\cdot{} cos^2 (\phi) [/mm] + [mm] r^2\cdot{}sin^2 (\nu)\cdot{}sin^2 (\phi)+ r^2\cdot{} cos^2 (\nu)=r^2
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Di 16.12.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
gegen was willst du [mm] r^2 [/mm] kürzen insgesamt integrierst du über [mm] r^4 sin(\nu)drd\nu d\phi
[/mm]
und warum setzt du nicht direkt [mm] x^2+y^2+z^2=r^2'
[/mm]
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich habe einen Ansatz für b)
Polarkoordinaten Zylinder:
x = [mm] r*cos(\phi) [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le 2\pi [/mm] * R = [mm] 4\pi
[/mm]
y = [mm] r*sin(\phi) [/mm] 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le 4\pi
[/mm]
z = h 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 4
det F = [mm] 3x^{2}y [/mm] + 2y
[mm] \integral_{}^{}{div V K dV} [/mm] = [mm] \integral_{K}^{}{3x^{2}y + 2y dV}
[/mm]
Das ganze müsste ich ja dann erst nach [mm] \phi [/mm] dann nach r und zu guter letzt nach z integrieren.
Ich glaube jedoch das meine Parameter falsch sind, da ich eigentlich keine Ahnung habe wie ich diese bestimme.
Bei z glaube ich das von 0 bis 4 stimmt, da die Werte ja angegeben sind.
Für x und y habe ich den Umfang eines Kreises genommen, der ja [mm] 2\pi*r [/mm] ist. Und da r=2 bekomme ich für x und y [mm] 4\pi.
[/mm]
Ich hoffe mir kann jemand helfen
|
|
|
| |
|
Hallo Bindl,
> Hi,
>
> ich habe einen Ansatz für b)
>
> Polarkoordinaten Zylinder:
> x = [mm]r*cos(\phi)[/mm] 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le 2\pi[/mm] * R = [mm]4\pi[/mm]
> y = [mm]r*sin(\phi)[/mm] 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le 4\pi[/mm]
> z = h
> 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] 4
>
> det F = [mm]3x^{2}y[/mm] + 2y
>
> [mm]\integral_{}^{}{div V K dV}[/mm] = [mm]\integral_{K}^{}{3x^{2}y + 2y dV}[/mm]
>
> Das ganze müsste ich ja dann erst nach [mm]\phi[/mm] dann nach r
> und zu guter letzt nach z integrieren.
>
> Ich glaube jedoch das meine Parameter falsch sind, da ich
> eigentlich keine Ahnung habe wie ich diese bestimme.
>
Bestimme die Parameter gemäß der Parametertransformation.
Der Radius des Zylinders ist R=2.
Der Winkel [mm]\phi[/mm] läuft von 0 bis [mm]2\pi[/mm],
da es sich um einen Vollkreis handelt.
> Bei z glaube ich das von 0 bis 4 stimmt, da die Werte ja
> angegeben sind.
Stimmt auch.
> Für x und y habe ich den Umfang eines Kreises genommen,
> der ja [mm]2\pi*r[/mm] ist. Und da r=2 bekomme ich für x und y
> [mm]4\pi.[/mm]
>
Wenn Du die angegebene Parametertransformation verwendest,
benötigst Du noch die Funktionaldeterminante.
> Ich hoffe mir kann jemand helfen
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke erstmal für die Hilfe.
also zur Parametertransformation konnte ich leider nichts finden wie man dort vorzugehen hat.
Habe ich folgende Parameter:
0 [mm] \le \phi \le 2\pi
[/mm]
0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2
0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 4
?
Die Funktionaldeterminante bei einem Zylinder ist "r", richtig ?
|
|
|
| |
|
Hallo Bindl,
> Hi,
> danke erstmal für die Hilfe.
>
> also zur Parametertransformation konnte ich leider nichts
> finden wie man dort vorzugehen hat.
>
> Habe ich folgende Parameter:
> 0 [mm]\le \phi \le 2\pi[/mm]
> 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 2
> 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le[/mm] 4
> ?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Funktionaldeterminante bei einem Zylinder ist "r",
> richtig ?
Richtig.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
es ist leider ein Problem aufgetreten.
[mm] \integral_{0}^{4}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{2\pi}{(3r^{2}*cos^{2}(\phi)*r*sin(\phi)+2r*sin(\phi))r d\phi dr dz}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{4}\integral_{0}^{2} [-r^{2}(r^{2}*cos^{2}(\phi)+2)cos(\phi)] [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] dr dz = [mm] \integral_{0}^{4}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{2\pi}{0 dr dz}
[/mm]
Was ist falsch gelaufen ?
0 kann ich ja nicht weiter integrieren.
|
|
|
| |
|
Hallo Bindl,
> Hi,
> es ist leider ein Problem aufgetreten.
>
> [mm]\integral_{0}^{4}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{2\pi}{(3r^{2}*cos^{2}(\phi)*r*sin(\phi)+2r*sin(\phi))r d\phi dr dz}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{4}\integral_{0}^{2} [-r^{2}(r^{2}*cos^{2}(\phi)+2)cos(\phi)][/mm]
> von 0 bis [mm]2\pi[/mm] dr dz =
> [mm]\integral_{0}^{4}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{2\pi}{0 dr dz}[/mm]
>
> Was ist falsch gelaufen ?
> 0 kann ich ja nicht weiter integrieren.
Wenn das Vektorfeld F stimmt gar nichts.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
das Vektorfeld ist F(x,y,z) = [mm] (x^{3}y, y^{2}, x^{9}y^{5})^{T}.
[/mm]
> Wenn das Vektorfeld F stimmt gar nichts.
Bedeutet das, das ich hier fertig bin mit dem rechnen, oder ist alles falsch?
|
|
|
| |
|
Hallo Bindl,
> Hi,
>
> das Vektorfeld ist F(x,y,z) = [mm](x^{3}y, y^{2}, x^{9}y^{5})^{T}.[/mm]
>
>
> > Wenn das Vektorfeld F stimmt gar nichts.
>
> Bedeutet das, das ich hier fertig bin mit dem rechnen, oder
> ist alles falsch?
>
Das bedeutet, daß Du hier fertig bist.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Danke für die zahlreiche Hilfe!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
wie habe ich bei Aufgabe c) vorzugehen ?
Muss ich hier die Polarkoordinaten eines Kegels nehmen.
Nur wie heißen diese ? Ich werde ja sicherlich berücksichtigen müsswn das der Kegel "auf dem Kopf" steht, oder ?
|
|
|
| |
|
Hallo Bindl,
> Hi,
>
> wie habe ich bei Aufgabe c) vorzugehen ?
>
> Muss ich hier die Polarkoordinaten eines Kegels nehmen.
> Nur wie heißen diese ? Ich werde ja sicherlich
> berücksichtigen müsswn das der Kegel "auf dem Kopf"
> steht, oder ?
Die Parametertransformation für den Körper lautet:
[mm]x=\bruch{2}{3}*u*cos\left(v\right)[/mm]
[mm]y=\bruch{2}{3}*u*sin\left(v\right)[/mm]
[mm]z=r[/mm]
[mm]0 \le r \le 3, \ 0 \le u \le r, \ 0 \le v \le 2\pi[/mm]
Damit ist auch berücksichtigt,
dass der Kegel auf dem "Kopf" steht.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Bindl |
> Hallo Bindl,
>
> > Hi,
> >
> > wie habe ich bei Aufgabe c) vorzugehen ?
> >
> > Muss ich hier die Polarkoordinaten eines Kegels nehmen.
> > Nur wie heißen diese ? Ich werde ja sicherlich
> > berücksichtigen müsswn das der Kegel "auf dem Kopf"
> > steht, oder ?
>
>
> Die Parametertransformation für den Körper lautet:
>
> [mm]x=\bruch{2}{3}*u*cos\left(v\right)[/mm]
> [mm]y=\bruch{2}{3}*u*sin\left(v\right)[/mm]
> [mm]z=r[/mm]
>
> [mm]0 \le r \le 3, \ 0 \le u \le r, \ 0 \le v \le 2\pi[/mm]
>
0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] r, also 0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 2 ?
> Damit ist auch berücksichtigt,
> dass der Kegel auf dem "Kopf" steht.
>
>
> Gruss
> MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Bindl,
> > Hallo Bindl,
> >
> > > Hi,
> > >
> > > wie habe ich bei Aufgabe c) vorzugehen ?
> > >
> > > Muss ich hier die Polarkoordinaten eines Kegels nehmen.
> > > Nur wie heißen diese ? Ich werde ja sicherlich
> > > berücksichtigen müsswn das der Kegel "auf dem Kopf"
> > > steht, oder ?
> >
> >
> > Die Parametertransformation für den Körper lautet:
> >
> > [mm]x=\bruch{2}{3}*u*cos\left(v\right)[/mm]
> > [mm]y=\bruch{2}{3}*u*sin\left(v\right)[/mm]
> > [mm]z=r[/mm]
> >
> > [mm]0 \le r \le 3, \ 0 \le u \le r, \ 0 \le v \le 2\pi[/mm]
> >
>
> 0 [mm]\le[/mm] u [mm]\le[/mm] r, also 0 [mm]\le[/mm] u [mm]\le[/mm] 2 ?
>
Für den Rand setzt Du einfach u=r.
Damit ist
[mm]x=\bruch{2}{3}*r*cos\left(v\right)[/mm]
[mm]y=\bruch{2}{3}*r*sin\left(v\right)[/mm]
[mm]z=r[/mm]
> > Damit ist auch berücksichtigt,
> > dass der Kegel auf dem "Kopf" steht.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
so nun bin ich etwas weiter.
divF = 9 + 9 + [mm] \wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{3}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{2\pi}{18 + \wurzel{\bruch{4}{9}*r^{2}*cos(v) + \bruch{4}{9}*r^{2}*sin(v)} dv du dr} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{3}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{2\pi}{18 + \bruch{2}{3}r dv du dr}
[/mm]
Fehlt hier eine Funtionaldeterminante oder ist das soweit richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo Bindl,
> Hi,
>
> so nun bin ich etwas weiter.
>
> divF = 9 + 9 + [mm]\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{3}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{2\pi}{18 + \wurzel{\bruch{4}{9}*r^{2}*cos(v) + \bruch{4}{9}*r^{2}*sin(v)} dv du dr}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{3}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{2\pi}{18 + \bruch{2}{3}r dv du dr}[/mm]
>
> Fehlt hier eine Funtionaldeterminante oder ist das soweit
> richtig?
>
Es fehlt die Funktionaldeterminante.
Geschweige denn, daß die Integralgrenzen richtig sind.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mi 17.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
die Grenzen wollen mir einfach nicht in den Kopf.
Die Funktionaldeterminate bekomme ich indem ich die Determinante der Jacobi Matrix berechne.
Also, [mm] \bruch{\partial x}{\partial r} [/mm] * [mm] \bruch{\partial y}{\partial u} [/mm] * [mm] \bruch{\partial z}{\partial v} [/mm] + ...., oder ?
|
|
|
| |
|
Hallo Bindl,
> Hi,
> die Grenzen wollen mir einfach nicht in den Kopf.
>
Nun, die Parametrisierung des Körpers lautet doch:
[mm]x=\bruch{2}{3}\cdot{}u\cdot{}cos\left(v\right)[/mm]
[mm]y=\bruch{2}{3}\cdot{}u\cdot{}sin\left(v\right)[/mm]
[mm]z=r[/mm]
[mm]0 \le r \le 3, \ 0 \le u \le r, \ 0 \le v \le 2\pi[/mm]
> Die Funktionaldeterminate bekomme ich indem ich die
> Determinante der Jacobi Matrix berechne.
>
> Also, [mm]\bruch{\partial x}{\partial r}[/mm] * [mm]\bruch{\partial y}{\partial u}[/mm]
> * [mm]\bruch{\partial z}{\partial v}[/mm] + ...., oder ?
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
