Gaußfunktion wie Stammfunktion < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 So 08.05.2005 | | Autor: | Stilo |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo.
Wenn ich die Formel zur Gaußfunktion (Integral...) habe, wie bilde ich dann die Stammfunktion? Ich habe absolut keine Ahnung wie ich das mache durch das *e^[...]
Angenommen ich habe eine Aufgabe mit:
Erwartungswert μ = 175 cm und der Standardabweichung σ = 7,5 cm.
Aufgabe dazu: kleiner als 160 cm
Wie stell ich das an? Ich kann nicht die Stammfunktion bilden und wenn ich die hätte wüsste ich gar nicht wie ich weiter mache, da der Anfangswert ja "minus unendlich" ist.
Würde mich über hilfe freuen, ist wichtig.
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Hallo
Die Herleitung der Stammfunktion ist relativ schwierig! Ich gebe Sie dir einfach mal so an die Hand. Das mit den Grenzen ist wurscht, die fallen nämlich weg! Also:
für a>0
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty} {e^{-ax^2} dx} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{\pi}{a}}
[/mm]
Viel Erfolg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 So 08.05.2005 | | Autor: | Stilo |
Hm Danke, aber fällt der Teil wo ich nachher "minus unendlich" einsetze weg (da dieser nachher schwindend gering ist)? Und dann wie kommst du auf Wurzel (pi/a)?
Ich meine die normalenverteilungsfunktion ist doch:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grafik: http://www.fh-friedberg.de/users/mlutz/JavaKurs/applets/GaussFit/GaussVerteilung.gif
(Quelle: http://www.fh-friedberg.de/users/mlutz/JavaKurs/applets/GaussFit/Normalverteilung.html)
Wenn ich dort nu, die von mir oben genannten, Werte einsetze (Erwartungswert , Standardabweichung) sieht dort nicht die Sammfunktion anders aus?
Ist es auch irgendwie möglich in mehreren Schritten mir zu zeigen, wie sie gemacht wurde? Da ich das einfach nicht verstehe (könnte man ja auch auf nen Zettel kritzeln, scannen/fotografieren,etc).
Danke schonmal, freue mich über jede Hilfe. Habe einfach zu viele Schwierigkeiten damit... und zu wenig Zeit um das alles durchzuarbeiten, versucht und versucht und gescheitert.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Das, was du angegeben hast, ist ja bereits die Stammfunktion. Eine elementarere Darstellung, also eine funktionale Darstellung, ausschließlich mit sogenannten "elementaren Funktionen" wie Polynomfunktionen, Exponentialfunktionen,... gibt es nicht.
Durch eine einfache Substitution $x [mm] \mapsto \frac{x-\mu}{\sigma}$ [/mm] kann man dieses Integral auf die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung transformieren. Deren Werte werden numerisch berechnet und tabellarisch angebeben, wie etwa ![[]](/images/popup.gif) hier.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Stilo |
Dank euch. Das hat mir sehr geholfen.
[Externes Bild http://teximg2.matheraum.de/4/2/00138024.png] ... ich setze die Werte die ich genannt habe ein und bekomme "-2" heraus. Diesen Wert lese ich bei der Tabelle ab... bei 2=0,9772. Da ich aber "-2" hatte rechne ich 1-0,9772=0,0228 richtig? Zumindest soll der Wert auch rauskommen. Also wenn negative Zahl muss ich das so machen oder?
Dann habe ich aber eine weitere Frage wenn das stimmt.
[Externes Bild https://matheraum.de/uploads/forum/00065191/forum-i00065191-n001.gif]
Wozu dann diese Formel? Ist diese nur wenn ich einen exakten Wert also z.B. die Wahrscheinlichkeit der größe 160cm haben will? Brauche ich diese Formel sonst nicht? Denn ich habe diese ja gar nciht verwendet.
Danke im vorraus.
// edit:
Habe es selbst herausgefunden, doch eine frage ob es stimmt. Wenn ich mit der Formel rechne, brauche ich keine Tabelle zum ablesen stimmts? Da bekomme ich auch das gleiche Ergebnis raus... . Und der Wert für eine bestimmte größe kommt heraus, wenn ich die Formel (ohne integral) verwende? Ich glaube dann hab ich es soweit verstanden.
// edit2: Irgendwie habe ich doch noch ein Fehler im oben genannten. Wenn ich z.B. nicht "kleiner" als 160, sonder "größer" als 180 bei der aufgabe verwende, komme ich nicht auf das richtige ergenis. Und die tabelle fängt bei 0,5 an, was ist wenn Werte unter 0,5 rauskommen sollen? Muss ich da irgendwas noch beachten? (Ich nehme mal an es fängt bei 0,5 an, durch den Gipfel??, aber wie mach das das dann)
Aber gibt es irgendwo eine Herleitung zu der Formel? Denn ich finde keine.
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Hallo Stilo!
> [Externes Bild http://teximg2.matheraum.de/4/2/00138024.png] ... ich setze
> die Werte die ich genannt habe ein und bekomme "-2" heraus.
> Diesen Wert lese ich bei der Tabelle ab... bei 2=0,9772. Da
> ich aber "-2" hatte rechne ich 1-0,9772=0,0228 richtig?
> Zumindest soll der Wert auch rauskommen. Also wenn negative
> Zahl muss ich das so machen oder?
Genau. [mm] $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$.
[/mm]
> Dann habe ich aber eine weitere Frage wenn das stimmt.
>
> [Externes Bild https://matheraum.de/uploads/forum/00065191/forum-i00065191-n001.gif]
>
> Wozu dann diese Formel? Ist diese nur wenn ich einen
> exakten Wert also z.B. die Wahrscheinlichkeit der größe
> 160cm haben will? Brauche ich diese Formel sonst nicht?
> Denn ich habe diese ja gar nciht verwendet.
Nein, mit der Formel kannst Du keine Wahrscheinlichkeiten ausrechnen. Wie bereits gesagt, kann man keine explizite Stammfunktion angeben, um das Integral zu bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Größe ist 0, also P(X=160)=0. Das gilt natürlich nicht nur für die 160, sondern für jede reelle Zahl.
> // edit:
>
> Habe es selbst herausgefunden, doch eine frage ob es
> stimmt. Wenn ich mit der Formel rechne, brauche ich keine
> Tabelle zum ablesen stimmts? Da bekomme ich auch das
> gleiche Ergebnis raus... . Und der Wert für eine bestimmte
> größe kommt heraus, wenn ich die Formel (ohne integral)
> verwende? Ich glaube dann hab ich es soweit verstanden.
Ich weiß nicht, was Du da für ein Ergebnis rausbekommst. Die Tabelle zum Ablesen brauchst Du in jedem Fall, weil Du sonst das Integral nicht berechnen kannst. Und wie gesagt, die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Größe ist 0.
> // edit2: Irgendwie habe ich doch noch ein Fehler im oben
> genannten. Wenn ich z.B. nicht "kleiner" als 160, sonder
> "größer" als 180 bei der aufgabe verwende, komme ich nicht
> auf das richtige ergenis.
Hier musst Du über die Gegenwahrscheinlichkeit gehen. Also
[mm] $P(X>180)=1-P(X\le [/mm] 180)$,
und dann ganz normal standardisieren und in der Tabelle nachschauen.
> Und die tabelle fängt bei 0,5 an,
> was ist wenn Werte unter 0,5 rauskommen sollen? Muss ich da
> irgendwas noch beachten? (Ich nehme mal an es fängt bei 0,5
> an, durch den Gipfel??, aber wie mach das das dann)
Wieder über [mm] $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$. [/mm] Die Tabelle ist nur für positive Argumente. Oben hast Du ja ausgerechnet, dass [mm] $\Phi(-2)=0.0228$. [/mm] Das ist schließlich kleiner als 0,5.
Viele Grüße
Brigitte
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