Gauß'sche Eliminationsverfahre < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:53 So 08.02.2009 | | Autor: | dicentra |
| Aufgabe | Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:
[mm] 3x_2+9x_3=-1
[/mm]
[mm] 2x_1-x_2+4x_3=1
[/mm]
[mm] 4x_1-x_2-x_3=1
[/mm]
[mm] 6x_1-x_2-6x_3=1
[/mm]
Löse das Gleichungsystem mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren nach x auf und gib die Lösungsmenge an. |
[mm] \pmat{ 0 & 3 & 9 & | & -1 \\ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 4 & -1 & -1 & | & 1 \\ 6 & -1 & -6 & | & 1 } [/mm] Spalte 2 + Spalte 1
[mm] \pmat{ 0 & 2 & 9 & | & -1 \\ 2 & 0 & 4 & | & 1 \\ 4 & 0 & -1 & | & 1 \\ 6 & 0 & -6 & | & 1 } [/mm] Zeile 3 = -2*Zeile 2 und Zeile 4 = -3*Zeile 2
[mm] \pmat{ 0 & 2 & 9 & | & -1 \\ 2 & 0 & 4 & | & 1 \\ 0 & 0 & -9 & | & -1 \\ 0 & 0 & -18 & | & -2 } [/mm] Zeile 1 und 2 tauschen und Zeile 4 = -2*Zeile 3
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 4 & | & 1 \\ 0 & 2 & 9 & | & -1 \\ 0 & 0 & -9 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 } [/mm] Zeile 2 = -2*Zeile 2 und Zeile 3 = -3*Zeile 2
Jetzt weiß ich, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung hat, da die Stufenanzahl = der Unbekannten ist.
[mm] \IL [/mm] = [mm] \{\vec{x} | \vec{x} \vektor{33/2 \\ -1 \\ -8}\}
[/mm]
Ist das korrekt?
gruß, dic
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> Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:
>
> [mm]3x_2+9x_3=-1[/mm]
> [mm]2x_1-x_2+4x_3=1[/mm]
> [mm]4x_1-x_2-x_3=1[/mm]
> [mm]6x_1-x_2-6x_3=1[/mm]
>
> Löse das Gleichungsystem mit dem Gauß'schen
> Eliminationsverfahren nach x auf und gib die Lösungsmenge
> an.
> [mm]\pmat{ 0 & 3 & 9 & | & -1 \\ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 4 & -1 & -1 & | & 1 \\ 6 & -1 & -6 & | & 1 }[/mm]
> Spalte 2 + Spalte 1
>
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & 9 & | & -1 \\ 2 & 0 & 4 & | & 1 \\ 4 & 0 & -1 & | & 1 \\ 6 & 0 & -6 & | & 1 }[/mm]
> Zeile 3 = -2*Zeile 2 und Zeile 4 = -3*Zeile 2
>
> [mm]\pmat{ 0 & 2 & 9 & | & -1 \\ 2 & 0 & 4 & | & 1 \\ 0 & 0 & -9 & | & -1 \\ 0 & 0 & -18 & | & -2 }[/mm]
> Zeile 1 und 2 tauschen und Zeile 4 = -2*Zeile 3
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 4 & | & 1 \\ 0 & 2 & 9 & | & -1 \\ 0 & 0 & -9 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 }[/mm]
> Zeile 2 = -2*Zeile 2 und Zeile 3 = -3*Zeile 2
>
> Jetzt weiß ich, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung
> hat, da die Stufenanzahl = der Unbekannten ist.
>
> [mm]\IL[/mm] = [mm]\{\vec{x} | \vec{x} \vektor{33/2 \\ -1 \\ -8}\}[/mm]
>
> Ist das korrekt?
Hallo,
nein, das Ergebnis stimmt nicht. (man kann das leicht testen, indem man die gefundene Lösung ins Gleichungssystem einsetzt.).
Ich sehe gleich dort, wo Du die 1. und 2. Spalte addierst, nicht, wie Du auf das Ergebnis kommst - abgesehen davon, daß das Addieren von Spalten falsch ist.
Wenn ich Dir einen Rat geben darf: laß beim Lösen von linearen GSen die Spaltenumformungen, also auch Spaltenvertauschungen, ganz bleiben.
Mache zum Lösen linearer Gleichngssysteme nur Zeilenumformungen. Damit kommst Du sicher ans Ziel.
Gruß v. Angela
>
> gruß, dic
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:57 Sa 07.03.2009 | | Autor: | dicentra |
nochmal zu der aufgabe. habe sie oft versucht, aber komme immer auf was anderes.
hier mein heutiger versuch, nach dem das nicht gelöst werden kann.
[mm] \pmat{ 0 & 3 & 9 & | & -1 \\ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 4 & -1 & -1 & | & 1 \\ 6 & -1 & -6 & | & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 3 & 9 & | & -1 \\ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 1 & -9 & | & -1 \\ 0 & 2 & -14 & | & -2 }
[/mm]
hier die zweite zeile 2x von der dritten, 3x von der vierten abgezogen.
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 1 & -9 & | & -1 \\ 0 & 0 & 4 & | & 0 \\ 0 & 0 & 36 & | & 2 }
[/mm]
hier zeilen getauscht und dann die dritte von der vierten 2x abgezogen und die dritte von der ersten 3x abgezogen (2.matrix)
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 1 & -9 & | & -1 \\ 0 & 0 & 4 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 2 }
[/mm]
hier die vorletzte 9x von der letzten abgezogen. und demnach unlösbar.
ich hoffe, ich löse die aufgabe heute.
guten tag wünsche, dic
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> nochmal zu der aufgabe. habe sie oft versucht, aber komme
> immer auf was anderes.
>
> hier mein heutiger versuch, nach dem das nicht gelöst
> werden kann.
>
>
> [mm]\pmat{ 0 & 3 & 9 & | & -1 \\ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 4 & -1 & -1 & | & 1 \\ 6 & -1 & -6 & | & 1 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 3 & 9 & | & -1 \\ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 1 & -9 & | & -1 \\ 0 & 2 & -14 & | & -2 }[/mm]
Hallo,
die letzte Zeile stimmt hier nicht.
Gruß v. Angela
>
> hier die zweite zeile 2x von der dritten, 3x von der
> vierten abgezogen.
>
> [mm]\pmat{ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 1 & -9 & | & -1 \\ 0 & 0 & 4 & | & 0 \\ 0 & 0 & 36 & | & 2 }[/mm]
>
> hier zeilen getauscht und dann die dritte von der vierten
> 2x abgezogen und die dritte von der ersten 3x abgezogen
> (2.matrix)
>
> [mm]\pmat{ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 1 & -9 & | & -1 \\ 0 & 0 & 4 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 2 }[/mm]
>
> hier die vorletzte 9x von der letzten abgezogen. und
> demnach unlösbar.
>
> ich hoffe, ich löse die aufgabe heute.
>
> guten tag wünsche, dic
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:50 Sa 07.03.2009 | | Autor: | dicentra |
> > nochmal zu der aufgabe. habe sie oft versucht, aber komme
> > immer auf was anderes.
> >
> > hier mein heutiger versuch, nach dem das nicht gelöst
> > werden kann.
> >
> >
> > [mm]\pmat{ 0 & 3 & 9 & | & -1 \\ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 4 & -1 & -1 & | & 1 \\ 6 & -1 & -6 & | & 1 }[/mm]
>
> >
> > [mm]\pmat{ 0 & 3 & 9 & | & -1 \\ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 1 & -9 & | & -1 \\ 0 & 2 & -14 & | & -2 }[/mm]
>
> Hallo,
>
> die letzte Zeile stimmt hier nicht.
>
> Gruß v. Angela
[mm]\pmat{ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 1 & -9 & | & -1 \\ 0 & 0 & 36 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 }[/mm]
[mm] x_3=1/18
[/mm]
[mm] x_2=-1/2
[/mm]
[mm] x_1=5/36
[/mm]
[mm] \IL= \{\vec{x} | \vec{x} \vektor{\bruch{5}{36} \\ -\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{18}}\}
[/mm]
> >
> > hier die zweite zeile 2x von der dritten, 3x von der
> > vierten abgezogen.
> >
> > [mm]\pmat{ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 1 & -9 & | & -1 \\ 0 & 0 & 4 & | & 0 \\ 0 & 0 & 36 & | & 2 }[/mm]
>
> >
> > hier zeilen getauscht und dann die dritte von der vierten
> > 2x abgezogen und die dritte von der ersten 3x abgezogen
> > (2.matrix)
> >
> > [mm]\pmat{ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 1 & -9 & | & -1 \\ 0 & 0 & 4 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 2 }[/mm]
>
> >
> > hier die vorletzte 9x von der letzten abgezogen. und
> > demnach unlösbar.
> >
> > ich hoffe, ich löse die aufgabe heute.
> >
> > guten tag wünsche, dic
> >
> >
>
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> > > nochmal zu der aufgabe. habe sie oft versucht, aber komme
> > > immer auf was anderes.
> > >
> > > hier mein heutiger versuch, nach dem das nicht gelöst
> > > werden kann.
> > >
> > >
> > > [mm]\pmat{ 0 & 3 & 9 & | & -1 \\ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 4 & -1 & -1 & | & 1 \\ 6 & -1 & -6 & | & 1 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\pmat{ 0 & 3 & 9 & | & -1 \\ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 1 & -9 & | & -1 \\ 0 & 2 & -14 & | & -2 }[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > die letzte Zeile stimmt hier nicht.
> >
> > Gruß v. Angela
>
> [mm]\pmat{ 2 & -1 & 4 & | & 1 \\ 0 & 1 & -9 & | & -1 \\ 0 & 0 & 36 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 }[/mm]
>
> [mm]x_3=1/18[/mm]
> [mm]x_2=-1/2[/mm]
> [mm]x_1=5/36[/mm]
>
>
> [mm]\IL= \{\vec{x} | \vec{x} \vektor{\bruch{5}{36} \\ -\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{18}}\}[/mm]
Hallo,
die Matrix sieht so richtig aus. Die Koeffizientenmatrix hat den Rang 3, welcher auch Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist, was die Information liefert, daß das System lösbar ist, und zwar wegen [mm] \Rang=3 [/mm] (=An zahl der Spalten/Variablen) eindeutig.
Ob Du die richtige Lösung gefunden hast oder Dich womöglich verrechnet, siehst Du, wenn Du die Lösung ins Ausgangssystem einsetzt, ich denke, das kannst Du selbst.
Für die Lösungsmenge schreibe lieber [mm] \IL= \{ \vektor{\bruch{5}{36} \\ -\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{18}}\}, [/mm] man soll ja ohne zweifel erkennen, daß da nur ein Vektor drin ist.
Gruß v. Angela
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