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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:08 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Morgen
Ich verstehe die Hessesche Normalform nicht wirklich ganz.
[mm] \overrightarrow{n} [/mm] * [mm] \overrightarrow{r} [/mm] = [mm] \overrightarrow{n} [/mm] * [mm] \overrightarrow{r_{0}}
[/mm]
Was ist der Unterschied zwischen [mm] \overrightarrow{r} [/mm] und [mm] \overrightarrow{r_{0}} [/mm] ?
Beschreibt diese Hessesche Formel wirklich auch die entsprechende Ebene, einfach in einer anderen Form?
Wozu kann ich diese Form brauchen?
Für die Abstandsbestimmung?
In meinem Formelbuch steht unter der Hessesche Normalform:
g: [mm] \bruch{ax + by + c}{\wurzel{a^{2} + b^{2}}} [/mm] = 0
Das ist ja etwas ganz anderes
Den Abstand erhalte ich doch aus der Koordinatenform?
2x - 3y + z = -10
Abstand zum Ursprung: [mm] \bruch{-10}{\wurzel{2^{2} + 3^{2} + 1^{2}}} [/mm] = ....
Wäre dankbar um Aufklärung
Gruss Dinker
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:13 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Scheinbar gibt es mehrere Normalformen? Die "Hessesche" und die "Normale" Normalform?
Wann braucht man welche?
Danke
Gruss Dinker
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Hallo!
Die Normalform einer Ebene ist:
[mm] \vec{n}*\vec{r} [/mm] = [mm] \vec{n}*\vec{r_{0}}
[/mm]
wobei
[mm] \vec{n} [/mm] ein Normalenvektor der beschriebenen Ebene ist,
[mm] \vec{r_{0}} [/mm] ist ein Ortsvektor der beschriebenen Ebene.
[mm] \vec{r} [/mm] ist eine Variable, wird also bei Angabe einer speziellen Ebene nicht durch einen Vektor mit irgendwelchen Zahlen ersetzt.
Du musst dir die Normalenform gewissermaßen als eine Gleichung für alle möglichen Ortsvektoren [mm] \vec{r} [/mm] vorstellen. Diejenigen [mm] \vec_{r}, [/mm] die die Gleichung erfüllen, liegen in der Ebene. Die anderen nicht.
Beispiel: Die Normalform [mm] \vektor{1\\2\\3}*\vec{r} [/mm] = [mm] \vektor{1\\2\\3}*\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
Wir können sehen: Dir "Normalform-Gleichung" lautet ausgerechnet: [mm] \vektor{1\\2\\3}*\vec{r} [/mm] = 6.
Wenn wir jetzt beispielsweise für [mm] \vec{r} [/mm] den Vektor [mm] \vektor{-1\\-1\\3} [/mm] einsetzen, stimmt die obige Normalform-Gleichung. D.h. wir wissen: Dieser Vektor liegt in der Ebene. Für [mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\-1} [/mm] allerdings stimmt die Normalform-Gleichung nicht, also liegt dieser Ortsvektor nicht in der beschriebenen Ebene.
So funktioniert die Normalform.
Anschaulich muss man sich es einfach so vorstellen: Die dir sicher bekannte Parameterform beschreibt eine Ebene durch einen Ortsvektor und zwei Richtungsvektoren. Man hat sich nun aber gedacht: Anstatt meine Ebene mit zwei Richtungsvektoren zu beschreiben, könnte ich doch im Raum auch einfach einen Normalenvektor der Ebene nehmen: Der erfüllt genau denselben Zweck, nämlich anzugeben, wie die Ebene im Raum liegt.
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Die Hessesche Normalform ist ein Spezialfall der Normalform, hierbei ist einfach der Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] normiert, d.h. er hat die Länge 1 --> [mm] |\vec{n}| [/mm] = 1. Man schreibt meistens für den Normalenvektor dann [mm] \vec{n_{0}}.
[/mm]
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Die Frage, wozu man eine bestimmte Form braucht, ist immer etwas vage. Man braucht für eine bestimmte Aufgabe nicht eine bestimmte Form, aber es kann von Vorteil sein, wenn man die bestimmte Form gegeben hat und dadurch zum Beispiel schon einen Normalenvektor der Ebene kennt.
Und da man für Abstandsberechnungen meistens normierte Normalenvektoren braucht, ist es also sinnvoller, dort die HNF zu haben  , zumal die Formel für die Abstandsberechnung fast genau so aussieht:
HNF:
[mm] $\vec{n_{0}}*\vec{r} [/mm] = [mm] \vec{n_{0}}*\vec{r_{0}}$
[/mm]
[mm] $\vec{n_{0}}*\vec{r} [/mm] - [mm] \vec{n_{0}}*\vec{r_{0}} [/mm] = 0$
[mm] $\vec{n_{0}}*(\vec{r} [/mm] - [mm] \vec{r_{0}}) [/mm] = 0$
Formel für Abstandsberechnung eines Punktes [mm] \vec{r} [/mm] von der durch HNF beschriebene Ebene:
d = [mm] |\vec{n_{0}}*(\vec{r} [/mm] - [mm] \vec{r_{0}})|
[/mm]
Daran kann man jetzt auch noch einen Zusammenhang erkennen: Der Abstand d wird nur 0, wenn [mm] \vec{r} [/mm] auf der Ebene liegt (logisch). Und oben an der umgeformten HNF kann man sehen, dass genau dies auch dort steht.
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> In meinem Formelbuch steht unter der Hessesche Normalform:
> g: [mm]\bruch{ax + by + c}{\wurzel{a^{2} + b^{2}}}[/mm] = 0
>
> Das ist ja etwas ganz anderes
Auch wenn ich jetzt bezweifle, dass das wirklich dort gestanden hat, hier die Überlegung:
HNF:
[mm] $\vec{n_{0}}*\vec{r} [/mm] = [mm] \vec{n_{0}}*\vec{r_{0}}$
[/mm]
Nun wissen wir ja, dass [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{a\\b\\c} [/mm] einer Ebene gleichzeitig auch die a,b,c's aus der Koordinatenform einer Ebene sind. Normieren wir den Normalenvektor, d.h. wollen wir [mm] \vec{n_{0}} [/mm] = [mm] \frac{1}{|n_{0}|}\vec{n_{0}} [/mm] erhalten, rechnen wir:
[mm] $\vec{n_{0}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}\vektor{a\\b\\c}$
[/mm]
Nehmen wir den Unbekannten Vektor [mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] an, dann ist die linke Seite der HNF:
[mm] $\vec{n_{0}}*\vec{r} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}\vektor{a\\b\\c}*\vektor{x\\y\\z} [/mm] = [mm] \frac{ax+by+cz}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$
[/mm]
Das ergibt sich also einfach, wenn man für die Vektoren mal "ganze Vektoren" einsetzt. Die rechte Seite d = [mm] \vec{n_{0}}*\vec{r_{0}} [/mm] muss natürlich noch ergänzt werden.
Grüße,
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Danke für die ausführliche Erklärung.
Noch eine Frage
Die Umwandlung von der Normalform in die Hessesche Normalform wird doch einfach der Betrag von [mm] \overrightarrow{n} [/mm] ausgerechnet und dann vorangestellt?
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Hallo Dinker,
> Die Umwandlung von der Normalform in die Hessesche
> Normalform wird doch einfach der Betrag von
> [mm]\overrightarrow{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ausgerechnet und dann vorangestellt?
Man ersetzt alle \vec{n} durch $\vec{n_{0}} = \frac{1}{|\vec_{n}|}}*\vec{n}$, also nicht nur den Betrag voranstellen
Grüße,
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Mittag
Bei der Normalform habe ich noch eine Frage, auch wenn es mir wahrscheinlich bereits versucht wurde zu erklären. Warum hat der Normalvektor vorne nicht ein Parameter (oder wie sagt man dem?) Es gibt doch unendlich viele Punkte?
Danke
Gruss Dinker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Mi 02.09.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Eine Normalenform einer Ebene ist ja allegemein:
[mm] E:[\vec{x}-\vec{p}]*\vec{n}=0
[/mm]
Der Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] steht ja senkrecht auf all den Vektoren [mm] \vec{x}-\vec{p}, [/mm] die ja in der Ebene liegen (Mach dir klar, dass [mm] \vec{x}-\vec{p} [/mm] immer in der Ebene liegt). Und wenn ich den Normalenvektor durch einen Parameter "längenverändern" würde, würde sich ja nichts an der Orthogonalität der Vektoren ändern.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Ich habe noch eine Frage.
Kann man eine Ebene durch zwei Geraden angeben oder durch die Ebenengleichung:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 6} [/mm] + s [mm] \vektor{4 \\ 6 \\ 9 } [/mm] + k [mm] \vektor{9 \\ 7 \\ 3}?
[/mm]
Danke
gruss Dinker
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Mi 02.09.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo
Hallo
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> Ich habe noch eine Frage.
>
> Kann man eine Ebene durch zwei Geraden angeben oder durch
> die Ebenengleichung:
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 5 \\ 6}[/mm] + s [mm]\vektor{4 \\ 6 \\ 9 }[/mm]
> + k [mm]\vektor{9 \\ 7 \\ 3}?[/mm]
Das ist definitiv eine Ebenengleichung in Parameterform, ja. Aber was hat das mit der Frage zu tun? Was hat das mit irgendwelchen Geraden zu tun?
>
> Danke
> gruss Dinker
>
>
Marius
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> Kann man eine Ebene durch zwei Geraden angeben
Klar kann man sagen: sei E die Ebene, in welcher die Geraden [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] liegen.
Pech hat man allerdings, 1. wenn die beiden Geraden windschief sind, dann gibt's diese Ebene gar nicht, und 2. wenn [mm] g_1=g_2, [/mm] dann gibt's nämlich viele Ebenen, die gemeint sein könnten.
Gruß v. Angela
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