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Gauß - Approximation Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Fr 06.12.2019
Autor: Steve96

Hallo, ich bin's mal wieder :)

Ich habe Probleme den Beweis zum untenstehenden Satz nachzuvollziehen und hoffe auf eine Antwort auf meine Fragen. Ich gehe das Skript vom Rannacher durch. Hier den Link dazu: https://ganymed.math.uni-heidelberg.de/~lehre/notes/num0/numerik0.pdf, Seite 59


Bevor wir zum Satz kommen, tippe ich noch ab, was dafür definiert wurde.


________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Gegeben sei eine Funktion $f [mm] \in [/mm] C[a, b ]$, so wie ein endlich dimensionaler Teilraum $S [mm] \subset [/mm] C[a, b ]$, dessen Elemente zur Approximation von $f$ dienen sollen. Im Gegensatz zur Interpolation verwendet die "Gauß - Approximation" das sog. "quadratische Mittel"


[mm] $\vert \vert [/mm] f [mm] \vert \vert [/mm] := [mm] \left ( \int_{a}^{b} \vert f(x) \vert^{2} dx \right )^{\frac{1}{2}}$ [/mm] als  Maß für die Güte einer Approximation, d.h.:

Gesucht ist ein $g [mm] \in [/mm] S$, so dass [mm] $\vert \vert [/mm] f - g [mm] \vert \vert [/mm] = [mm] min\limits_{\varphi \in S} \vert \vert [/mm]  f - [mm] \varphi \vert \vert$. [/mm]



Das Analogon zum euklidischen Skalarprodukt ist in diesem Fall das sog. [mm] $L^{2}$ [/mm] - Skalarprodukt

$(f, g) := [mm] \int_{a}^{b} [/mm] f(t) [mm] \overline{g(t)} dt,\quad [/mm] (f, f) = [mm] \vert \vert [/mm] f  [mm] \vert \vert^{2}$ [/mm]


________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Nun zum Satz und Beweis:



Behauptung
_________



Sei $H$ ein unitärer Raum und $S [mm] \subset [/mm] H$ ein endlich dimesnionaler Teilraum. Dann existiert zu jedem $f [mm] \in [/mm] H$ eine eindeutig bestimmte "beste Approximation" $g [mm] \in [/mm] S$

[mm] $\vert \vert [/mm] f - g [mm] \vert \vert [/mm] = [mm] \min\limits_{\varphi \in S} \vert \vert [/mm]  f - [mm] \varphi \vert \vert [/mm]  $


Beweis
_________


$(i)$  Wir wollen die Eigenschaft der besten Approximation zunächst durch eine
etwas handlichere Bedingung charakterisieren. Sei $ g [mm] \in [/mm] S$ eine beste Approximation. Dann besitzt für beliebiges, fest gewähltes [mm] $\varphi \in [/mm] S$ die quadratische Funktion

[mm] $F_{\varphi}(t) [/mm] := [mm] \vert \vert [/mm] f - g - t [mm] \varphi \vert \vert [/mm] ^{2}$, $t [mm] \in \mathbb{R}$, [/mm]


bei $t = 0$ ein Minimum.


Folglich ist [mm] $\frac{d}{dt} F(t)_{\vert\; t = 0} [/mm] = [mm] \frac{d}{dt} \vert \vert [/mm] f - g - t [mm] \varphi \vert \vert^{2}_{\vert \;t = 0} [/mm] = 0 $


Ausgeschrieben bedeutet dies $(f - g - t [mm] \varphi, \varphi)_{\vert \;t = 0} [/mm] = 0$ und folglich $( f - g, [mm] \varphi) [/mm] = [mm] 0\quad \forall \varphi \in [/mm] S$   $(2.5.33)$


Diese Beziehung kann man so interpretieren, dass der Fehler f- g auf dem approximierenden Teilraum $S$ “orthogonal” ist bzgl. des [mm] $L^{2}$-Skalarprodukts [/mm] (·, ·) .


Genüge nun umgekehrt $ g [mm] \in [/mm] S$ der Bedingung $(2.5.33)$. Dann gilt mit einem beliebigen [mm] $\varphi \in [/mm] S$:


[mm] $\vert \vert [/mm] f - g [mm] \vert \vert^{2} [/mm] = (f - g, f - g) = (f - g, f - [mm] \varphi) [/mm] + (f - g, [mm] \varphi [/mm] - g) [mm] \le \vert \vert [/mm]  f -  g [mm] \vert \vert \cdot \vert \vert [/mm]  f - [mm] \varphi \vert \vert$ [/mm] und folglich


[mm] $\vert \vert [/mm] f - g [mm] \vert \vert \le inf\limits_{\varphi \in S} \vert \vert [/mm]  f -  [mm] \varphi \vert \vert$, [/mm] d.h. $g$ ist auch beste Approximation.




Den Beweis beende ich erst einmal hier, weil dieser Frage sonst viel zu lang wird.

Ich habe zu diesem Abschnitt ein paar Fragen.




1. Frage
_______


Warum betrachtet man überhaupt so einen endlichdimensionalen Teilraum $S [mm] \subset [/mm] H$, dessen Elemente zur Approximation von $ f $ dienen sollen ? Kann nicht jedes Element von $H$, also jede Funktion, eine Art "Approximation von $f$ darstellen? Die Frage ist doch nur, ob diese Approximation sinnvoll ist.

Z.B. wäre [mm] $x^{3}$ [/mm] eine Art "Approximation$ von [mm] $x^{2}$. [/mm] Wir sind uns aber all einig, dass diese Approximation sehr schlecht ist.


Oder denke ich komplett falsch? Worin unterscheiden sich die Elemente von $S$ von den Elementen von $H [mm] \setminus [/mm] S$ ?



2. Frage
_______


Wie genau sieht die Funktion [mm] $F_{\varphi}(t) [/mm] = [mm] \vert \vert [/mm] f - g - t [mm] \varphi \vert \vert [/mm] ^{2}$ aus?

Etwa so? : [mm] $F_{\varphi}(t) [/mm] = [mm] \vert \vert [/mm] f - g - t [mm] \varphi \vert \vert [/mm] ^{2} = [mm] \left ( \left ( \int_{a}^{b} \vert f - g - t \varphi \vert^{2} dx \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{2} [/mm] =   [mm] \int_{a}^{b} \vert [/mm] f - g - t [mm] \varphi \vert^{2} [/mm] dx$

Wobei die Funktionen $f, g, [mm] \varphi$ [/mm] von $t$ abhängen, oder?

Aber [mm] $F_{\varphi}(t)$ [/mm] ist doch ein bestimmtes Integral und demzufolge irgend eine reelle Zahl, oder nicht? Ich bin verwirrt.



3. Frage
_______


Wie kann man sehen, dass [mm] $F_{\varphi}(t) [/mm] $ bei $t = 0$ ein Minimum besitzt? Wie gesagt, ich verstehe nicht einmal, ob [mm] $F_{\varphi}(t)$ [/mm] nun eine Zahl ist oder nicht.





Das sind meine Fragen. Den Rest verstehe ich vielleicht später, wenn meine Fragen geklärt sind.




Ich bedanke mich schon im Voraus.

Liebe Grüße, Steve

        
Bezug
Gauß - Approximation Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 Fr 06.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

erst mal: Sehr schön ausgearbeitete Frage!

> Warum betrachtet man überhaupt so einen
> endlichdimensionalen Teilraum [mm]S \subset H[/mm], dessen Elemente
> zur Approximation von [mm]f[/mm] dienen sollen ? Kann nicht jedes
> Element von [mm]H[/mm], also jede Funktion, eine Art "Approximation
> von [mm]f[/mm] darstellen? Die Frage ist doch nur, ob diese
> Approximation sinnvoll ist.

Wenn wir ganz H betrachten würden, wäre die Aussage ziemlich trivial, nämlich: "Es gibt eine Funktion in H, die [mm] $f\in [/mm] H$ bestmöglich approximiert."
Wähle f selbst und der Drops ist gelutscht. Besser kann man nicht approximieren.

D.h. die Aussage des Satzes ist nur sinnvoll, wenn wir eine Teilmenge von H betrachten.

Die Aussage des Satzes ist lapidar gesagt: Man kann eine beliebige Funktion eines Raumes durch eine Teilmenge von Funktionen approximieren.
Sind bestimmte Voraussetzungen erfüllt, ist die Approximation in einem gewissen Sinne "optimal" und es gibt eine Funktion, die das auch erfüllt.

> Z.B. wäre [mm]$x^{3}$[/mm] eine Art "Approximation$ von [mm]$x^{2}$.[/mm]
> Wir sind uns aber all einig, dass diese Approximation sehr
> schlecht ist.

Ja, und der Fehler wäre in obigem Raum [mm] $||x^3 [/mm] - [mm] x^2||_2$ [/mm]

> Oder denke ich komplett falsch? Worin unterscheiden sich
> die Elemente von [mm]S[/mm] von den Elementen von [mm]H \setminus S[/mm] ?

Na "unterscheiden" ist eben vllt. die falsche Frage.
Nimmt man H jetzt bspw. als Raum der differenzierbaren Funktionen und S den Raum der stetigen Funktionen (auch wenn der jetzt nicht endlichdimensional ist…), dann wäre die Aussage eben: Man kann differenzierbare Funktionen durch stetige Funktionen approximieren und es gibt eine "beste" stetige Funktion.

> Wie genau sieht die Funktion [mm]F_{\varphi}(t) = \vert \vert f - g - t \varphi \vert \vert ^{2}[/mm] aus?
>
> Etwa so? : [mm]F_{\varphi}(t) = \vert \vert f - g - t \varphi \vert \vert ^{2} = \left ( \left ( \int_{a}^{b} \vert f - g - t \varphi \vert^{2} dx \right )^{\frac{1}{2}} \right )^{2} = \int_{a}^{b} \vert f - g - t \varphi \vert^{2} dx[/mm]

Korrekt, bis auf eine Unsauberkeit beim Aufschrieb.
Es muss natürlich heißen:
[mm] \int_{a}^{b} \vert f(x) - g(x) - t \varphi(x) \vert^{2} dx[/mm]

Man betrachtet oftmals [mm] $$||\cdot||_2^2$ [/mm] damit man die Wurzel los wird.

> Wobei die Funktionen [mm]f, g, \varphi[/mm] von [mm]t[/mm] abhängen, oder?

Nein. Die Funktionen hängen von x ab, t ist einfach ein Vorfaktor vor [mm] $\varphi$. [/mm]

Die Frage zeigt, dass du die Aussage weiter oben nicht verstanden hast:

> Dann besitzt für beliebiges, fest gewähltes $ [mm] \varphi \in [/mm] S $ die quadratische Funktion
> $ [mm] F_{\varphi}(t) [/mm] := [mm] \vert \vert [/mm] f - g - t [mm] \varphi \vert \vert [/mm] ^{2} $, $ t [mm] \in \mathbb{R} [/mm] $,
> bei $ t = 0 $ ein Minimum.

Was sagt uns das: Wir haben eine "beste" Approximation g von f, d.h. $||f [mm] -g||_2$ [/mm] ist minimal.
Nun variiert man g etwas, indem man "etwas" dazurechnet. In unserem Fall  [mm] $t\cdot\varphi$, [/mm] wobei $t [mm] \in \IR$ [/mm] angibt, wie sehr g durch [mm] \varphi [/mm] varriert wird.

Man erhält also eine neue Funktion $g + [mm] t\varphi$ [/mm] (und hier zurück zum Integral: Funktionen sind hier $g$ und [mm] $\varphi, [/mm] t$ ist ein reeller Parameter, d.h. es ist mit Argumenten geschrieben:  $g(x) + [mm] t\varphi(x)$ [/mm]

Die Funktion $g + [mm] t\varphi$ [/mm] approximiert die Funktion f nach Voraussetzung (g ist die beste Approximation!) schlechter als g, damit folgt sofort für alle $t$:
$||f [mm] -g||_2 [/mm] = ||f -g - [mm] 0\cdot\varphi||_2 \le [/mm] ||f -g - [mm] t\cdot\varphi||_2$ [/mm]

Setzt man nun [mm] $F_\varphi(t) [/mm] =  ||f -g - [mm] t\cdot\varphi||_2$ [/mm] so hat diese nach obigem ein Minimum bei $t=0$, da [mm] $F_\varphi(0) [/mm] =  ||f -g - [mm] 0\cdot\varphi||_2 \le [/mm] ||f -g - [mm] t\cdot\varphi||_2 [/mm] = [mm] F_\varphi(t)$ [/mm]

> Aber [mm]F_{\varphi}(t)[/mm] ist doch ein bestimmtes Integral und demzufolge irgend eine reelle Zahl, oder nicht?

Korrekt, eine reelle Zahl in Abhängigkeit von t und [mm] $\varphi$, [/mm] d.h. [mm] $F_\varphi: \IR \to \IR$, [/mm] d.h. [mm] F_\varphi [/mm] ist eine Funktion von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$. [/mm]

> Ich bin verwirrt.

Wieso? So eine Funktion kann man doch schön minimieren.

> Wie kann man sehen, dass [mm]F_{\varphi}(t)[/mm] bei [mm]t = 0[/mm] ein
> Minimum besitzt? Wie gesagt, ich verstehe nicht einmal, ob
> [mm]F_{\varphi}(t)[/mm] nun eine Zahl ist oder nicht.

Ist hoffentlich nach obigem klar.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Gauß - Approximation Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:02 Sa 07.12.2019
Autor: Steve96

Hallo, freue mich, dass du geantwortet hast :)

Tut mir Leid für die späte Antwort, ich muss nebenher noch für eine Klausur lernen.

Deine Antwort hat mir ziemlich geholfen. Ich versuche jetzt nochmal die Beweisschritte in eigenen Worten zu formulieren:



Sei $g [mm] \in [/mm] S$ eine Bestapproximation.

Man definiere die Funktion [mm] $F_{\varphi}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] t [mm] \mapsto \vert \vert [/mm] f(x) - g(x) - t [mm] \varphi(x) \vert \vert^{2} [/mm] = [mm] \int_{a}^{b} \vert [/mm] f(x) - g(x) - t [mm] \varphi(x) \vert^{2} [/mm] $


Die Funktion [mm] $F_{\varphi}(t)$ [/mm] hat bei $t = 0$ ein Minimum. Man erkennt das folgendermaßen:

______________________________________________________________________________________________________________________________


Definiere die Funktion [mm] $F'_{\varphi}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] t [mm] \mapsto \vert \vert [/mm] f(x) - g(x) - t [mm] \varphi(x) \vert \vert [/mm] = [mm] \left ( \int_{a}^{b} \vert f(x) - g(x) - t \varphi(x) \vert^{2} \right )^{\frac{1}{2}}$ [/mm]


Nach Voraussetzung ist $g$ eine Bestapproximation, d.h. es gilt [mm] $F'_{\varphi}(0) [/mm] =  [mm] \vert \vert [/mm] f(x) - g(x) - 0 [mm] \cdot \varphi(x) \vert \vert [/mm]  = [mm] \vert \vert [/mm] f(x) -  g(x) [mm] \vert \vert [/mm] = [mm] \min\limits_{\varphi \in S} \vert \vert [/mm]  f(x) - [mm] \varphi(x) \vert \vert$ [/mm]

Das heißt aber auch, dass jede andere Funktion $g(x) - t [mm] \cdot \varphi(x)$ [/mm] $(t [mm] \in \mathbb{R}\setminus \{ 0 \})$ [/mm] eine schlechtere Approximation als $g(x)$ ist.

Es gilt also:  [mm] $F'_{\varphi}(0) [/mm]  = [mm] \vert \vert [/mm] f(x) -  g(x) [mm] \vert \vert \le \vert \vert [/mm] f(x) - g(x) - t [mm] \varphi(x) \vert \vert [/mm] =   [mm] F'_{\varphi}(t)\quad \forall [/mm] t [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm]


Also hat [mm] $F'_{\varphi}(t)$ [/mm] bei $ t = 0$ ein Minimum.



Da [mm] $F'_{\varphi}(t) [/mm] = [mm] \sqrt{F_{\varphi}(t) }$ [/mm] bei $t = 0$ ein Minimum hat und die Wurzelfunktion streng monoton steigend ist, hat auch [mm] $F_{\varphi}(t) [/mm] $ bei $t = 0$ ein Minimum.


Kann man so argumentieren?
______________________________________________________________________________________________________________________________




> Hiho,
>  
> erst mal: Sehr schön ausgearbeitete Frage!

Vielen Dank! :)


> Wenn wir ganz H betrachten würden, wäre die Aussage
> ziemlich trivial, nämlich: "Es gibt eine Funktion in H,
> die [mm]f\in H[/mm] bestmöglich approximiert."
> Wähle f selbst und der Drops ist gelutscht. Besser kann
> man nicht approximieren.
> D.h. die Aussage des Satzes ist nur sinnvoll, wenn wir eine
> Teilmenge von H betrachten.


Okay, das ist jetzt klar. Wieso habe ich nicht daran gedacht...

> Die Aussage des Satzes ist lapidar gesagt: Man kann eine
> beliebige Funktion eines Raumes durch eine Teilmenge von
> Funktionen approximieren.
> Sind bestimmte Voraussetzungen erfüllt, ist die
> Approximation in einem gewissen Sinne "optimal" und es gibt
> eine Funktion, die das auch erfüllt.
>  
> > Z.B. wäre [mm]$x^{3}$[/mm] eine Art "Approximation$ von [mm]$x^{2}$.[/mm]
> > Wir sind uns aber all einig, dass diese Approximation sehr
> > schlecht ist.
>  Ja, und der Fehler wäre in obigem Raum [mm]||x^3 - x^2||_2[/mm]
>  
> > Oder denke ich komplett falsch? Worin unterscheiden sich
> > die Elemente von [mm]S[/mm] von den Elementen von [mm]H \setminus S[/mm] ?
>  
> Na "unterscheiden" ist eben vllt. die falsche Frage.
> Nimmt man H jetzt bspw. als Raum der differenzierbaren
> Funktionen und S den Raum der stetigen Funktionen (auch
> wenn der jetzt nicht endlichdimensional ist…), dann wäre
> die Aussage eben: Man kann differenzierbare Funktionen
> durch stetige Funktionen approximieren und es gibt eine
> "beste" stetige Funktion.

Das macht Sinn. Jetzt hab ich wenigstens eine Vorstellung davon.  Danke!



> Was sagt uns das: Wir haben eine "beste" Approximation g
> von f, d.h. [mm]||f -g||_2[/mm] ist minimal.
>  Nun variiert man g etwas, indem man "etwas" dazurechnet.
> In unserem Fall  [mm]t\cdot\varphi[/mm], wobei [mm]t \in \IR[/mm] angibt, wie
> sehr g durch [mm]\varphi[/mm] varriert wird.
>  
> Man erhält also eine neue Funktion [mm]g + t\varphi[/mm] (und hier
> zurück zum Integral: Funktionen sind hier [mm]g[/mm] und [mm]\varphi, t[/mm]
> ist ein reeller Parameter, d.h. es ist mit Argumenten
> geschrieben:  [mm]g(x) + t\varphi(x)[/mm]


Müsste es in diesem Fall nicht $g - [mm] t\varphi$ [/mm] heißen ? Weil wir ziehen ja oben $t [mm] \cdot \varphi(x)$ [/mm] von $g(x)$ ab.


> Die Funktion [mm]g + t\varphi[/mm] approximiert die Funktion f nach
> Voraussetzung (g ist die beste Approximation!) schlechter
> als g, damit folgt sofort für alle [mm]t[/mm]:
>  [mm]||f -g||_2 = ||f -g - 0\cdot\varphi||_2 \le ||f -g - t\cdot\varphi||_2[/mm]

> Setzt man nun [mm]F_\varphi(t) = ||f -g - t\cdot\varphi||_2[/mm] so
> hat diese nach obigem ein Minimum bei [mm]t=0[/mm], da [mm]F_\varphi(0) = ||f -g - 0\cdot\varphi||_2 \le ||f -g - t\cdot\varphi||_2 = F_\varphi(t)[/mm]


Bis jetzt meine ich die Argumentation verstanden zu haben. Aber warum nimmst du hier die "euklidische Norm" ?

Wir haben im Skript nur die Norm [mm] $\vert \vert [/mm] f [mm] \vert \vert [/mm] := [mm] \left ( \int_{a}^{b} \vert f(x) \vert^{2} dx \right )^{\frac{1}{2}}$ [/mm]  definiert. Daher verwirrt mir die 2 als Index.

Oder meinst du mit  [mm] $\vert \vert [/mm] f [mm] \vert \vert_{2}$ [/mm] die Gleichung  [mm] $\vert \vert [/mm] f [mm] \vert \vert_{2} [/mm] = [mm] \int_{a}^{b} \vert [/mm] f(x) [mm] \vert^{2} [/mm] dx$ ?




Nun zum restlichen Abschnitt:

______________________________________________________________________________________________________________________________________

Folglich ist [mm] $\frac{d}{dt} F(t)_{\vert\; t = 0} [/mm] = [mm] \frac{d}{dt} \vert \vert [/mm] f - g - t [mm] \varphi \vert \vert^{2}_{\vert \;t = 0} [/mm] = 0 $


Ausgeschrieben bedeutet dies $(f - g - t [mm] \varphi, \varphi)_{\vert \;t = 0} [/mm] = 0$ und folglich $( f - g, [mm] \varphi) [/mm] = [mm] 0\quad \forall \varphi \in [/mm] S$   $(2.5.33)$


Diese Beziehung kann man so interpretieren, dass der Fehler f- g auf dem approximierenden Teilraum $S$ “orthogonal” ist bzgl. des [mm] $L^{2}$-Skalarprodukts [/mm] (·, ·) .


Genüge nun umgekehrt $ g [mm] \in [/mm] S$ der Bedingung $(2.5.33)$. Dann gilt mit einem beliebigen [mm] $\varphi \in [/mm] S$:


[mm] $\vert \vert [/mm] f - g [mm] \vert \vert^{2} [/mm] = (f - g, f - g) = (f - g, f - [mm] \varphi) [/mm] + (f - g, [mm] \varphi [/mm] - g) [mm] \le \vert \vert [/mm]  f -  g [mm] \vert \vert \cdot \vert \vert [/mm]  f - [mm] \varphi \vert \vert$ [/mm] und folglich


[mm] $\vert \vert [/mm] f - g [mm] \vert \vert \le inf\limits_{\varphi \in S} \vert \vert [/mm]  f -  [mm] \varphi \vert \vert$, [/mm] d.h. $g$ ist auch beste Approximation.


______________________________________________________________________________________________________________________________________


Hierzu habe ich auch noch 2 Frgen:


1. Frage
_______


Dass [mm] $\frac{d}{dt} F(t)_{\vert\; t = 0} [/mm] = [mm] \frac{d}{dt} \vert \vert [/mm] f - g - t [mm] \varphi \vert \vert^{2}_{\vert \;t = 0} [/mm] = 0 $  gilt, ist klar. Haben wir ja oben besprochen.

Aber warum ist $F(t)$ nicht mehr von [mm] $\varphi$ [/mm] abhängig? Weil dort steht nur  [mm] $\frac{d}{dt} F(t)_{\vert\; t = 0}$, [/mm] statt [mm] $\frac{d}{dt} F(t)_{\varphi}_{\vert\; t = 0}$ [/mm]

Was ich nicht verstehe, ist, warum daraus folgt, dass  $(f - g - t [mm] \varphi, \varphi)_{\vert \;t = 0} [/mm] = 0$ ist.


Wenn man von Umschreiben redet, denke ich, dass [mm] $\frac{d}{dt} [/mm] F(t) = (f - g - t [mm] \varphi, \varphi)$ [/mm] sein soll. Falls das so ist, dann weiß ich nicht, wie man darauf kommt.

Ich meine, es ist ja  $(f - g - t [mm] \varphi, \varphi) [/mm] = (f, [mm] \varphi) [/mm] - (g, [mm] \varphi) [/mm] -  t [mm] (\varphi, \varphi) [/mm] = (f, [mm] \varphi) [/mm] - (g, [mm] \varphi) [/mm] -  t [mm] \vert \vert \varphi \vert \vert^{2}$ [/mm]


Und die Ableitung  [mm] $\frac{d}{dt} [/mm] F(t)$ zu berechnen sieht irgendwie nicht zielführend aus.



2. Frage
_______



Warum gilt die Gleichung [mm] $\vert \vert [/mm] f - g [mm] \vert \vert^{2} [/mm] = (f - g, f - g) = (f - g, f - [mm] \varphi) [/mm] + (f - g, [mm] \varphi [/mm] - g)$ ?

Habe mich gerade noch einmal damit beschäftigt, aber ich verstehe einfach nicht, woher man plötzlich [mm] $\varphi$ [/mm] bekommt.
Mag sein, dass es sehr spät ist und ich zu müde bin, um das zu erkennen.








Meine Frage ist etwas lang geworden. Hoffe, es macht dir nichts aus.

Freue mich auf eine weitere Antwort.


lg, Steve


Bezug
                        
Bezug
Gauß - Approximation Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Sa 07.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Tut mir Leid für die späte Antwort, ich muss nebenher noch für eine Klausur lernen.

Macht nix, ich bin ja auch nicht immer da.

> Man definiere die Funktion [mm]F_{\varphi}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, t \mapsto \vert \vert f(x) - g(x) - t \varphi(x) \vert \vert^{2} = \int_{a}^{b} \vert f(x) - g(x) - t \varphi(x) \vert^{2}[/mm]

Denke bitte zukünftig an das "dx" am Ende des Integrals. Gerade bei Integralen mit mehren Parametern kann es sonst zu Verwirrungen kommen.

> Definiere die Funktion [mm]F'_{\varphi}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, t \mapsto \vert \vert f(x) - g(x) - t \varphi(x) \vert \vert = \left ( \int_{a}^{b} \vert f(x) - g(x) - t \varphi(x) \vert^{2} \right )^{\frac{1}{2}}[/mm]

Ich würde die Funktion jetzt nicht F' nennen, um Verwirrungen mit der Ableitung zu vermeiden.

> Kann man so argumentieren?

Ansonsten ja.

> Müsste es in diesem Fall nicht [mm]g - t\varphi[/mm] heißen ? Weil
> wir ziehen ja oben [mm]t \cdot \varphi(x)[/mm] von [mm]g(x)[/mm] ab.

Nein und korrekt.
Einfach mal sauber aufschreiben. Für die Funktion $g + [mm] t\varphi$ [/mm] ist die Güte der Approxmination per Definition $||f - (g + [mm] t\varphi)|| [/mm] = ||f - g - [mm] t\varphi||$ [/mm]

> Bis jetzt meine ich die Argumentation verstanden zu haben.
> Aber warum nimmst du hier die "euklidische Norm" ?

Weil es die euklidische Norm ist ;-)

> Wir haben im Skript nur die Norm [mm]\vert \vert f \vert \vert := \left ( \int_{a}^{b} \vert f(x) \vert^{2} dx \right )^{\frac{1}{2}}[/mm] definiert. Daher verwirrt mir die 2 als Index.

Allgemein definiert man für [mm] $p\ge [/mm] 1$die []p-Norm als [mm]\vert \vert f \vert \vert_p := \left ( \int_{a}^{b} \vert f(x) \vert^{p} dx \right )^{\frac{1}{p}}[/mm]

Den Fall $p=2$ nennt man []euklidische Norm.
Wenn du Lust hast, kannst du den Wikipeda-Artikel dazu überfliegen. Im diskreten Fall für wird das Integral zu einer Summe und man erhält die dir bekannte "euklidische Norm".


> Hierzu habe ich auch noch 2 Frgen:

Ich stelle dir auch gleich noch zwei :-)

>  
>
> 1. Frage
>  _______
>  
>
> Dass [mm]\frac{d}{dt} F(t)_{\vert\; t = 0} = \frac{d}{dt} \vert \vert f - g - t \varphi \vert \vert^{2}_{\vert \;t = 0} = 0[/mm]  gilt, ist klar. Haben wir ja oben besprochen.

Ist es das? Hier mal was zum Überlegen (müssen wir nicht diskutieren, können wir später machen)

1.) Alle Überlegungen oben stimmen nur, wenn $g + [mm] t\varphi \in [/mm] S$ gilt. Das ist aber per se erstmal gar nicht klar, denn in der Aufgabenstellung steht nichts von einem abgeschlossenen Unterraum. Und da $g [mm] \in [/mm] S$ die beste Approximation unter allen Kandidaten aus S darstellt, gilt $||f-g|| [mm] \le [/mm] ||f - g - [mm] t\varphi||$ [/mm] eben nur sicher, wenn $g + [mm] t\varphi \in [/mm] S$.

2.) Wer sagt uns, dass F differenzierbar ist? Nur dann macht der Ausdruck  $ [mm] \frac{d}{dt} F(t)_{\vert\; t = 0}$ [/mm] überhaupt Sinn.

> Aber warum ist [mm]F(t)[/mm] nicht mehr von [mm]\varphi[/mm] abhängig? Weil
> dort steht nur  [mm]\frac{d}{dt} F(t)_{\vert\; t = 0}[/mm], statt
> [mm]\frac{d}{dt} F(t)_{\varphi}_{\vert\; t = 0}[/mm]

"Lazy Notation"… Faulheit vom Autor… nicht notwendig… such dir was aus ;-)
Man könnte jetzt Argumentieren: Da [mm] $\varphi$ [/mm] bereits vor der Wahl von F fest gewählt wird (und damit kein Parameter im eigentlichen Sinne ist), lässt man es weg.

> Was ich nicht verstehe, ist, warum daraus folgt, dass  [mm](f - g - t \varphi, varphi)_{\vert \;t = 0} = 0[/mm]

Es ist [mm] $\frac{d}{dt} [/mm] ||f - g - [mm] t\varphi||^2 [/mm] = 2(f - g [mm] -t\varphi, \varphi)$ [/mm] (und daraus folgt das Gesagte)

Wenn dir das nicht klar ist, rechne es nach!
Hinweise dazu:
1.) Du darfst das [mm] \frac{d}{dt} [/mm] ins Integral ziehen (warum klärt obige Frage, warum [mm] $\frac{d}{dt}F$ [/mm] existiert, diskutieren wir später)
2.) Es ist [mm] $|f|^2 [/mm] = [mm] f^2$ [/mm] (d.h. lass den Betrag im Integral weg)

Mit den Hinweisen steht die Gleichung oben faktisch sofort da.

> Und die Ableitung  [mm]\frac{d}{dt} F(t)[/mm] zu berechnen sieht irgendwie nicht zielführend aus.

Ist es aber in dem Fall… nächste Mal einfach machen statt zu viel zu denken ;-)

> Warum gilt die Gleichung [mm]\vert \vert f - g \vert \vert^{2} = (f - g, f - g) = (f - g, f - \varphi) + (f - g, \varphi - g)[/mm]
> ?

Trivial:  $(f - g, f - g) =  [mm] \left(f - g, (f - \varphi) + (\varphi - g)\right) [/mm] = (f-g, [mm] f-\varphi) [/mm] + (f-g, [mm] \varphi [/mm] - g)$
Man sollte müde nicht versuchen zu lernen…


Gruß,
Gono

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Gauß - Approximation Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:52 So 08.12.2019
Autor: Steve96

Hallo, nochmal :)


> > Aber warum nimmst du hier die "euklidische Norm" ?
> Weil es die euklidische Norm ist ;-)
>
> > Wir haben im Skript nur die Norm [mm]\vert \vert f \vert \vert := \left ( \int_{a}^{b} \vert f(x) \vert^{2} dx \right )^{\frac{1}{2}}[/mm]
> definiert. Daher verwirrt mir die 2 als Index.
>  Allgemein definiert man für [mm]p\ge 1[/mm]die
> []p-Norm als [mm]\vert \vert f \vert \vert_p := \left ( \int_{a}^{b} \vert f(x) \vert^{p} dx \right )^{\frac{1}{p}}[/mm]
>  
> Den Fall [mm]p=2[/mm] nennt man
> []euklidische Norm.
> Wenn du Lust hast, kannst du den Wikipeda-Artikel dazu
> überfliegen. Im diskreten Fall für wird das Integral zu
> einer Summe und man erhält die dir bekannte "euklidische
> Norm".


Achso, diese $p$ - Normen gibt es also auch in unendlichdimensionalen Räumen. Mal so eine Frage nebenbei. Warum definiert man überhaupt solche $p$ - Normen? Ich kann mir nicht vorstellen, dass z.B. die $4$ - Norm irgendwo Anwendung findet.



>
> > Hierzu habe ich auch noch 2 Frgen:
>  Ich stelle dir auch gleich noch zwei :-)
>  >  
> >
> > 1. Frage
>  >  _______
>  >  
> >
> > Dass [mm]\frac{d}{dt} F(t)_{\vert\; t = 0} = \frac{d}{dt} \vert \vert f - g - t \varphi \vert \vert^{2}_{\vert \;t = 0} = 0[/mm]
>  gilt, ist klar. Haben wir ja oben besprochen.
>  Ist es das? Hier mal was zum Überlegen (müssen wir nicht
> diskutieren, können wir später machen)
>  
> 1.) Alle Überlegungen oben stimmen nur, wenn [mm]g + t\varphi \in S[/mm]
> gilt. Das ist aber per se erstmal gar nicht klar, denn in
> der Aufgabenstellung steht nichts von einem abgeschlossenen
> Unterraum. Und da [mm]g \in S[/mm] die beste Approximation unter
> allen Kandidaten aus S darstellt, gilt [mm]||f-g|| \le ||f - g - t\varphi||[/mm]
> eben nur sicher, wenn [mm]g + t\varphi \in S[/mm].


Das stimmt natürlich. Ich habe leider angenommen, dass dieser Unterraum abgeschlossen ist. Woher weiß man, dass dieser Unterraum abgeschlossen ist?

> 2.) Wer sagt uns, dass F differenzierbar ist? Nur dann
> macht der Ausdruck  [mm]\frac{d}{dt} F(t)_{\vert\; t = 0}[/mm]
> überhaupt Sinn.


Wie kann man begründen, dass $F$ differenzierbar ist? Im Satz ist nur von einem unitären Raum $H$ die Rede und nicht beispielsweise von dem Raum $C[a, b]$.


>
> Es ist [mm]\frac{d}{dt} ||f - g - t\varphi||^2 = 2(f - g -t\varphi, \varphi)[/mm]
> (und daraus folgt das Gesagte)
>  
> Wenn dir das nicht klar ist, rechne es nach!
>  Hinweise dazu:
> 1.) Du darfst das [mm]\frac{d}{dt}[/mm] ins Integral ziehen (warum
> klärt obige Frage, warum [mm]\frac{d}{dt}F[/mm] existiert,
> diskutieren wir später)
>  2.) Es ist [mm]|f|^2 = f^2[/mm] (d.h. lass den Betrag im Integral
> weg)
>  
> Mit den Hinweisen steht die Gleichung oben faktisch sofort
> da.
>
> > Und die Ableitung  [mm]\frac{d}{dt} F(t)[/mm] zu berechnen sieht
> irgendwie nicht zielführend aus.
> Ist es aber in dem Fall… nächste Mal einfach machen
> statt zu viel zu denken ;-)


Okay, habe das nachgerechnet und habe folgendes herausbekommen:



[mm] $\frac{d}{dt} \vert \vert [/mm]  f(x) - g(x) - t [mm] \cdot \varphi(x) \vert \vert^{2} [/mm] = [mm] \frac{d}{dt} \int_{a}^{b} \vert [/mm]  f(x) - g(x) - t [mm] \cdot \varphi(x) \vert^{2} [/mm] dx = [mm] \frac{d}{dt} \int_{a}^{b} [/mm] ( f(x) - g(x) - t [mm] \cdot \varphi(x) )^{2} [/mm] dx =  [mm] \int_{a}^{b} \frac{d}{dt} [/mm] ( f(x) - g(x) - t [mm] \cdot \varphi(x) )^{2} [/mm] dx = - 2 [mm] \int_{a}^{b} [/mm]  ( f(x) - g(x) - t [mm] \cdot \varphi(x) [/mm] ) [mm] \cdot \varphi(x) [/mm] dx $

$= - 2 [mm] \int_{a}^{b} [/mm]   f(x) [mm] \cdot \varphi(x) [/mm] - g(x) [mm] \cdot \varphi(x) [/mm] - t [mm] \cdot \varphi(x)^{2} [/mm] dx  = - 2 [mm] \left ( \int_{a}^{b} f(x) \cdot \varphi(x) dx - \int_{a}^{b} g(x) \cdot \varphi(x) dx - \int_{a}^{b} t \cdot \varphi(x)^{2} dx \right [/mm] ) =  - 2 ((f, [mm] \varphi) [/mm] - (g, [mm] \varphi) [/mm] - (t [mm] \varphi, \varphi)) [/mm] = - 2 ((f -  g, [mm] \varphi) [/mm] - (t [mm] \varphi, \varphi)) [/mm]  = - 2 ((f -  g - t [mm] \varphi, \varphi) [/mm] $


Wir haben vorhin herausgefunden, dass [mm] $\frac{d}{dt} F_{\varphi}(t)_{\vert \; t = 0} [/mm] =  - 2 ((f -  g - 0 [mm] \cdot \varphi, \varphi) [/mm] =  - 2 (f -  g , [mm] \varphi) [/mm]  =  0$

Daraus folgt dann sofort, dass $(f -  g , [mm] \varphi) [/mm]  =  0$ gilt.


Passt das so?


Falls ja, dann frage ich mich noch (auch wenn du meintest, dass sich das durch obige Frage klärt)




1.) Warum gilt [mm] $\frac{d}{dt} \int_{a}^{b} [/mm] ( f(x) - g(x) - t [mm] \cdot \varphi(x) )^{2} [/mm] dx =  [mm] \int_{a}^{b} \frac{d}{dt} [/mm] ( f(x) - g(x) - t [mm] \cdot \varphi(x) )^{2} [/mm] dx $ ?


Warum ist also die Ableitung des bestimmten Integrals von $( f(x) - g(x) - t [mm] \cdot \varphi(x) )^{2}$ [/mm] nach $t$ das selbe wie das bestimmte Integral der Ableitung von  $( f(x) - g(x) - t [mm] \cdot \varphi(x) )^{2}$ [/mm] nach $t$ ?

Folgt das aus irgend einem Satz?


2.) Es ist ja [mm] $\vert [/mm] f [mm] \vert^{2} [/mm] = [mm] f^{2}$ [/mm]


Warum definiert man also die Norm mit dem quadratischen Betrag, statt den Betrag einfach wegzulassen? Ich glaube, das ist egal. Aber nach meiner Erfahrung definiert man nie etwas umsonst.


3. )

Warum definiert man das Skalarprodukt folgendermaßen?:


$(f, g) := [mm] \int_{a}^{b} [/mm] f(t) [mm] \overline{g(t)} [/mm] dt$ ?

Also, was soll  [mm] $\overline{g(t)}$ [/mm] bedeuten? Bei meiner vorherigen Rechnung (Ableitung von F(t))$ habe ich den Strich erst einmal ignoriert. Was bedeutet er aber ?



Mit dem restlichen Abschnitt beschäftige ich morgen nochmal, wobei der sicher verständlicher ist, als der vorherige.

Ansonsten: Gute Nacht und danke für deine Geduld.


lg, Steve



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Gauß - Approximation Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:14 So 08.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Achso, diese [mm]p[/mm] - Normen gibt es also auch in
> unendlichdimensionalen Räumen. Mal so eine Frage nebenbei.
> Warum definiert man überhaupt solche [mm]p[/mm] - Normen? Ich kann
> mir nicht vorstellen, dass z.B. die [mm]4[/mm] - Norm irgendwo
> Anwendung findet.

[]Deine Vorstellung ist sehr begrenzt


> Das stimmt natürlich. Ich habe leider angenommen, dass
> dieser Unterraum abgeschlossen ist. Woher weiß man, dass
> dieser Unterraum abgeschlossen ist?

Weiß man nicht, ist nicht gegeben.
Insofern ist die Herleitung lückenhaft. Das Endergebnis nachher, also dass [mm] $(f-g,\varphi) [/mm] = 0$ sein muss, benötigt die Abgeschlossenheit von S nicht mehr.
Kannst ja mal bei deinem Prof nachfragen :-)
Ich gehe davon aus, dass das "nur" eine Anschauung/Begründung geben soll und eben kein formaler Beweis ist.

> Wie kann man begründen, dass [mm]F[/mm] differenzierbar ist? Im
> Satz ist nur von einem unitären Raum [mm]H[/mm] die Rede und nicht
> beispielsweise von dem Raum [mm]C[a, b][/mm].

Grundlagenfrage: Wann ist die Funktion $F: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] differenzierbar?
Dann: Nachrechnen! Schafft man mit Schulwissen ;-)
Und man erhält auch das gewünschte Ergebnis: $F'(t) = 2(f -g - [mm] t\varphi,\varphi)$ [/mm]

Ist im Übrigen auch die bessere Lösung als der Ansatz vorher, weil man das Integral und die Ableitung u.U. nicht immer vertauschen kann.

> Okay, habe das nachgerechnet und habe folgendes
> herausbekommen:
>
> [mm]\frac{d}{dt} \vert \vert f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) \vert \vert^{2} = \frac{d}{dt} \int_{a}^{b} \vert f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) \vert^{2} dx = \frac{d}{dt} \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} dx = \int_{a}^{b} \frac{d}{dt} ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} dx = - 2 \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) ) \cdot \varphi(x) dx[/mm]

Hier bist du doch schon fertig!
Da steht doch schon $(f - g - [mm] t\varphi,\varphi)$, [/mm] wenn dir das nicht klar ist, schreib das mal aus!

> Passt das so?

Ja.
  

> Falls ja, dann frage ich mich noch (auch wenn du meintest,
> dass sich das durch obige Frage klärt)

> 1.) Warum gilt [mm]\frac{d}{dt} \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} dx = \int_{a}^{b} \frac{d}{dt} ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} dx[/mm]

Da muss ich mich korrigieren.
Das gilt nur, wenn  $f(x) - g(x) - t [mm] \cdot \varphi(x) \in C^1$ [/mm] und dann folgt das aus []der Differenzierbarkeit von Parameterintegralen
Nur leider haben wir das hier nicht notwendigerweise. Daher wie oben angemerkt: Mach es mal über die Definition der Differenzierbarkeit.

> Warum ist also die Ableitung des bestimmten Integrals von [mm]( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2}[/mm]
> nach [mm]t[/mm] das selbe wie das bestimmte Integral der Ableitung
> von  [mm]( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2}[/mm] nach [mm]t[/mm] ?
>  
> Folgt das aus irgend einem Satz?

Unter bestimmten Bedingungen, siehe oben: Ja.
Nur leider hier nicht unbedingt.

> 2.) Es ist ja [mm]\vert f \vert^{2} = f^{2}[/mm]
> Warum definiert man also die Norm mit dem quadratischen
> Betrag, statt den Betrag einfach wegzulassen? Ich glaube,
> das ist egal. Aber nach meiner Erfahrung definiert man nie
> etwas umsonst.

Das gilt nur für [mm] $f\in\IR$ [/mm]
Bereits für komplexe Zahlen stimmt ja [mm] $|z|^2 [/mm] = [mm] z^2$ [/mm]  nicht mehr, dort gilt [mm] $|z|^2 [/mm] = [mm] z\overline{z}$ [/mm]
Die Norm-Definition funktioniert aber für beliebige Räume, daher der Betrag.

> 3. )
>  
> Warum definiert man das Skalarprodukt folgendermaßen?:
>
>
> [mm](f, g) := \int_{a}^{b} f(t) \overline{g(t)} dt[/mm] ?
>  
> Also, was soll  [mm]$\overline{g(t)}$[/mm] bedeuten?

Das ist das komplex-konjugierte einer Zahl.

Gruß,
Gono

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Gauß - Approximation Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:13 Mo 09.12.2019
Autor: Steve96

Hallo :-)


>  Grundlagenfrage:
> Wann ist die Funktion [mm]F: \IR \to \IR[/mm] differenzierbar?
>  Dann: Nachrechnen! Schafft man mit Schulwissen ;-)
>  Und man erhält auch das gewünschte Ergebnis: [mm]F'(t) = 2(f -g - t\varphi,\varphi)[/mm]


Es sei $U [mm] \subset \mathbb{R}, [/mm] f: U [mm] \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] eine Funktion und $a [mm] \in [/mm] U$.

$F$ ist differenzierbar in $a$, wenn der Grenzwert [mm] $\lim\limits_{t \rightarrow a} \frac{F(t) - F(a)}{t - a}$ [/mm] des Differenzenquotienten in $a$ existiert.


Damit hätte ich [mm] $\lim\limits_{t \rightarrow a} \frac{F(t) - F(a)}{t - a} [/mm] = [mm] \lim\limits_{t \rightarrow a} \frac{ \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} dx - \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - a \cdot \varphi(x) )^{2} dx }{t - a} [/mm]   $

Aber wie berechne ich hier konkret die Integrale aus? Ich komme mit der Substitution auf keinem gemeinsamen Nenner.
Ich versuche das gleich nochmal.

> Ist im Übrigen auch die bessere Lösung als der Ansatz
> vorher, weil man das Integral und die Ableitung u.U. nicht
> immer vertauschen kann.
>  
> > Okay, habe das nachgerechnet und habe folgendes
> > herausbekommen:
>  >

> > [mm]\frac{d}{dt} \vert \vert f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) \vert \vert^{2} = \frac{d}{dt} \int_{a}^{b} \vert f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) \vert^{2} dx = \frac{d}{dt} \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} dx = \int_{a}^{b} \frac{d}{dt} ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} dx = - 2 \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) ) \cdot \varphi(x) dx[/mm]
>  
> Hier bist du doch schon fertig!
> Da steht doch schon [mm](f - g - t\varphi,\varphi)[/mm], wenn dir
> das nicht klar ist, schreib das mal aus!


Okay, ich sehe ein, dass ich damit schon fertig bin. Aber ich darf das so nicht rechnen, weil hier eben die Differenzierbarkeit von Parameterintegralen nicht notwendigerweise gegeben ist.


> > 2.) Es ist ja [mm]\vert f \vert^{2} = f^{2}[/mm]
>  > Warum

> definiert man also die Norm mit dem quadratischen
> > Betrag, statt den Betrag einfach wegzulassen? Ich glaube,
> > das ist egal. Aber nach meiner Erfahrung definiert man nie
> > etwas umsonst.
>  Das gilt nur für [mm]f\in\IR[/mm]
>  Bereits für komplexe Zahlen stimmt ja [mm]|z|^2 = z^2[/mm]  nicht
> mehr, dort gilt [mm]|z|^2 = z\overline{z}[/mm]
>  Die Norm-Definition
> funktioniert aber für beliebige Räume, daher der Betrag.


Wo entnehme ich eigentlich, dass $f(x), g(x)$ und [mm] $\varphi(x)$ [/mm] reelle Funktionen sind? In der Voraussetzung sind sie nur aus irgendeinem einem Raum $H$.


Nach der Beantwortung dieser Fragen hätte sich für mich erst einmal alles geklärt.

lg, Steve

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Gauß - Approximation Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 Mo 09.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]F[/mm] ist differenzierbar in [mm]a[/mm], wenn der Grenzwert
> [mm]\lim\limits_{t \rightarrow a} \frac{F(t) - F(a)}{t - a}[/mm] des
> Differenzenquotienten in [mm]a[/mm] existiert.

[ok]

> Damit hätte ich [mm]\lim\limits_{t \rightarrow a} \frac{F(t) - F(a)}{t - a} = \lim\limits_{t \rightarrow a} \frac{ \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} dx - \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - a \cdot \varphi(x) )^{2} dx }{t - a} [/mm]
>  
> Aber wie berechne ich hier konkret die Integrale aus? Ich
> komme mit der Substitution auf keinem gemeinsamen Nenner.
>  Ich versuche das gleich nochmal.

Wieso Substitution?
Das brauchst du nicht… Es reicht die binomische Formel [mm] $(x^2 [/mm] - [mm] y^2) [/mm] = (x+y)(x-y)$, denn die liefert uns:

[mm]\frac{F(t) - F(a)}{t - a} = \frac{ \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} dx - \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - a \cdot \varphi(x) )^{2} dx }{t - a}[/mm]

[mm]= \frac{1}{t-a} \int_a^b ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} - ( f(x) - g(x) - a \cdot \varphi(x) )^{2} dx = \frac{1}{t-a} \int_a^b ( 2f(x) - 2g(x) - (t + a) \cdot \varphi(x) )\cdot (a-t) \varphi(x) dx = 2 \int_a^b f(x)\varphi(x) dx - 2 \int g(x)\varphi(x) dx - (t+a) \int_a^b \varphi^2(x)dx[/mm]

Und nun nur noch den Grenzwert bilden und alles wieder unter ein Integral schreiben => fertig.

> Wo entnehme ich eigentlich, dass [mm]f(x), g(x)[/mm] und [mm]\varphi(x)[/mm]
> reelle Funktionen sind? In der Voraussetzung sind sie nur
> aus irgendeinem einem Raum [mm]H[/mm].

müssen sie nicht.
Aber dein Skalarprodukt muss nach [mm] $\IR$ [/mm] abbilden, damit $F: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] gilt.

Gruß,
Gono

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Gauß - Approximation Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Mo 09.12.2019
Autor: Steve96

Hi nochmal!


> Hiho,
>  
> > [mm]F[/mm] ist differenzierbar in [mm]a[/mm], wenn der Grenzwert
> > [mm]\lim\limits_{t \rightarrow a} \frac{F(t) - F(a)}{t - a}[/mm] des
> > Differenzenquotienten in [mm]a[/mm] existiert.
>  [ok]
>  
> > Damit hätte ich [mm]\lim\limits_{t \rightarrow a} \frac{F(t) - F(a)}{t - a} = \lim\limits_{t \rightarrow a} \frac{ \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} dx - \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - a \cdot \varphi(x) )^{2} dx }{t - a} [/mm]
>  
> >  

> > Aber wie berechne ich hier konkret die Integrale aus? Ich
> > komme mit der Substitution auf keinem gemeinsamen Nenner.
>  >  Ich versuche das gleich nochmal.
>  Wieso Substitution?
>  Das brauchst du nicht… Es reicht die binomische Formel
> [mm](x^2 - y^2) = (x+y)(x-y)[/mm], denn die liefert uns:
>  
> [mm]\frac{F(t) - F(a)}{t - a} = \frac{ \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} dx - \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - a \cdot \varphi(x) )^{2} dx }{t - a}[/mm]
>  
> [mm]= \frac{1}{t-a} \int_a^b ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} - ( f(x) - g(x) - a \cdot \varphi(x) )^{2} dx = \frac{1}{t-a} \int_a^b ( 2f(x) - 2g(x) - (t + a) \cdot \varphi(x) )\cdot (a-t) \varphi(x) dx = 2 \int_a^b f(x)\varphi(x) dx - 2 \int g(x)\varphi(x) dx - (t+a) \int_a^b \varphi^2(x)dx[/mm]
>
> Und nun nur noch den Grenzwert bilden und alles wieder
> unter ein Integral schreiben => fertig.


Okay, vielen Dank! Hat alles geklappt.


> > Wo entnehme ich eigentlich, dass [mm]f(x), g(x)[/mm] und [mm]\varphi(x)[/mm]
> > reelle Funktionen sind? In der Voraussetzung sind sie nur
> > aus irgendeinem einem Raum [mm]H[/mm].
>  
> müssen sie nicht.
> Aber dein Skalarprodukt muss nach [mm]\IR[/mm] abbilden, damit [mm]F: \IR \to \IR[/mm]
> gilt.


Jetzt, wo ich nochmal darüber nachdenke. Die Funktion $f$ müssen nicht reell sein, sie können z.B. auch komplex sein.

Aber warum bildet die Funktion $F$ von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] nach [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] ab? Es ist ja $t [mm] \in \mathbb{R}$. [/mm] Aber nehmen wir mal an, $f$ und $g$ wären komplex.

Woher sollte ich dann wissen, dass die Funktion $F(t) = [mm] \int_{a}^{b} \vert [/mm] f(x) - g(x) - t [mm] \cdot \varphi(x) \vert [/mm] ^{2}$ alle $t [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] in den reellen Zahlen abbildet?


Und ich verstehe immer noch nicht, warum man bei $ [mm] \vert [/mm] f(x) - g(x) - t [mm] \cdot \varphi(x) \vert [/mm] ^{2}$ den Betrag weglassen kann.

Ich meine, ich nehme an, dass $f, g, [mm] \varphi$ [/mm] reelle Funktionen sind, da ich diese Funktionen im Skalarprodukt bis jetzt nirgends konjugiert habe.

Muss ich in diesem Fall beim Skalarprodukt in den letzten 2 Fragen die Funktionen jeweils konjugieren, weil ich nicht davon ausgehen darf, dass $f, g, [mm] \varphi$ [/mm] reelle Funktionen sind?

Darüber denke ich noch die ganze Zeit nach, hoffentlich klärt sich das.


lg, Steve

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Gauß - Approximation Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:05 Di 10.12.2019
Autor: fred97


> Hi nochmal!
>  
>
> > Hiho,
>  >  
> > > [mm]F[/mm] ist differenzierbar in [mm]a[/mm], wenn der Grenzwert
> > > [mm]\lim\limits_{t \rightarrow a} \frac{F(t) - F(a)}{t - a}[/mm] des
> > > Differenzenquotienten in [mm]a[/mm] existiert.
>  >  [ok]
>  >  
> > > Damit hätte ich [mm]\lim\limits_{t \rightarrow a} \frac{F(t) - F(a)}{t - a} = \lim\limits_{t \rightarrow a} \frac{ \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} dx - \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - a \cdot \varphi(x) )^{2} dx }{t - a}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Aber wie berechne ich hier konkret die Integrale aus? Ich
> > > komme mit der Substitution auf keinem gemeinsamen Nenner.
>  >  >  Ich versuche das gleich nochmal.
>  >  Wieso Substitution?
>  >  Das brauchst du nicht… Es reicht die binomische
> Formel
> > [mm](x^2 - y^2) = (x+y)(x-y)[/mm], denn die liefert uns:
>  >  
> > [mm]\frac{F(t) - F(a)}{t - a} = \frac{ \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} dx - \int_{a}^{b} ( f(x) - g(x) - a \cdot \varphi(x) )^{2} dx }{t - a}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]= \frac{1}{t-a} \int_a^b ( f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) )^{2} - ( f(x) - g(x) - a \cdot \varphi(x) )^{2} dx = \frac{1}{t-a} \int_a^b ( 2f(x) - 2g(x) - (t + a) \cdot \varphi(x) )\cdot (a-t) \varphi(x) dx = 2 \int_a^b f(x)\varphi(x) dx - 2 \int g(x)\varphi(x) dx - (t+a) \int_a^b \varphi^2(x)dx[/mm]
> >
> > Und nun nur noch den Grenzwert bilden und alles wieder
> > unter ein Integral schreiben => fertig.
>  
>
> Okay, vielen Dank! Hat alles geklappt.
>
>
> > > Wo entnehme ich eigentlich, dass [mm]f(x), g(x)[/mm] und [mm]\varphi(x)[/mm]
> > > reelle Funktionen sind? In der Voraussetzung sind sie nur
> > > aus irgendeinem einem Raum [mm]H[/mm].


f und g sind stetige Funktionen auf [a,b]. Wenn ich mir Deinen Eingangspost anschaue, so dürfen f und g auch komplexwertig sein.


>  >  
> > müssen sie nicht.
> > Aber dein Skalarprodukt muss nach [mm]\IR[/mm] abbilden, damit [mm]F: \IR \to \IR[/mm]
> > gilt.
>  
>
> Jetzt, wo ich nochmal darüber nachdenke. Die Funktion [mm]f[/mm]
> müssen nicht reell sein, sie können z.B. auch komplex
> sein.
>
> Aber warum bildet die Funktion [mm]F[/mm] von [mm]\mathbb{R}[/mm] nach
> [mm]\mathbb{R}[/mm] ab? Es ist ja [mm]t \in \mathbb{R}[/mm]. Aber nehmen wir
> mal an, [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] wären komplex.
>  
> Woher sollte ich dann wissen, dass die Funktion [mm]F(t) = \int_{a}^{b} \vert f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) \vert ^{2}[/mm]
> alle [mm]t \in \mathbb{R}[/mm] in den reellen Zahlen abbildet?


In [mm]F(t) = \int_{a}^{b} \vert f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) \vert ^{2}[/mm]

ist $ [mm] \vert [/mm] f(x) - g(x) - t [mm] \cdot \varphi(x) \vert [/mm] $ der  Betrag im Komplexen von $f(x) - g(x) - t [mm] \cdot \varphi(x)$. [/mm] Der Betrag einer komplexen Zahl $z=x+iy$ ist $|z|= [mm] \sqrt{x^2+y^2} \in \IR.$ [/mm]


>  
>
> Und ich verstehe immer noch nicht, warum man bei [mm]\vert f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) \vert ^{2}[/mm]
> den Betrag weglassen kann.

Wenn f,g und [mm] \varphi [/mm] reelwertige Funktionen sind so ist

[mm]\vert f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x) \vert ^{2}= (f(x) - g(x) - t \cdot \varphi(x))^2[/mm] ,

denn für eine reelle Zahl a gilt [mm] |a|^2=a^2. [/mm]


>
> Ich meine, ich nehme an, dass [mm]f, g, \varphi[/mm] reelle
> Funktionen sind, da ich diese Funktionen im Skalarprodukt
> bis jetzt nirgends konjugiert habe.
>
> Muss ich in diesem Fall beim Skalarprodukt in den letzten 2
> Fragen die Funktionen jeweils konjugieren, weil ich nicht
> davon ausgehen darf, dass [mm]f, g, \varphi[/mm] reelle Funktionen
> sind?
>  

Ja, diese Frage erstaunt mich, denn in Deinem Eingangspost hast du selbst geschrieben:


$ (f, g) := [mm] \int_{a}^{b} [/mm] f(t) [mm] \overline{g(t)} [/mm] dt$



> Darüber denke ich noch die ganze Zeit nach, hoffentlich
> klärt sich das.
>  
>
> lg, Steve


Bezug
                                                                        
Bezug
Gauß - Approximation Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:37 Di 10.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

nochmal zur Klarstellung: Der Beweis bspw. der Differenzierbarkeit setzt implizit voraus, dass wir relle Funktionen haben, weil ich [mm] $|f|^2 [/mm] = [mm] f^2$ [/mm] verwendet habe.

Der Beweis für komplexe Funktionen funktioniert aber analog, wenn du [mm] $|f|^2 [/mm] = [mm] f\overline{f}$ [/mm] nutzt.

Gruß,
Gono


Bezug
        
Bezug
Gauß - Approximation Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 Fr 06.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

als Zusatz: Vielleicht ist dir auch folgendes nicht klar.

Sei [mm] ||\cdot|| [/mm] eine beliebige Norm aus einem Raum X, dann ist $d(x,y) := ||x - y||$ eine Metrik auf X, d.h. anschaulich ein "Abstand".

In deinem Fall also:
$||f - [mm] g||_2$ [/mm] ist der Abstand zwischen f und g, d.h. wenn g eine "beste Approximation" darstellt, dann ist der Abstand zwischen f und g minimal, d.h. eben, dass $||f [mm] -g||_2$ [/mm] minimal ist.

Gruß,
Gono

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