Gauß-Quadratur < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Mo 21.07.2008 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | Es soll eine Gauß-Quadraturformel für Integrale der Form
[mm] $If=\integral_{0}^{\infty}{e^{-x}f(x) dx}$
[/mm]
entwickelt werden
a.) Berechnen die die Orthogonalpolynome [mm] P_0,P_1,P_2 [/mm] bezüglich des Skalarproduktes
[mm] $(f,g)_w=I(f\cdot [/mm] g)$
b.) Berechnen sie die Stützstellen [mm] t_i [/mm] und Gewichte [mm] a_i [/mm] der Quadraturdormel [mm] Q_1, [/mm] die zu [mm] P_2 [/mm] gehören. |
Ich hab echt keine Ahnung was ich hier machen muss, kann mir jemand dabei helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Mo 21.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es soll eine Gauß-Quadraturformel für Integrale der Form
> [mm]If=\integral_{0}^{\infty}{e^{-x}f(x) dx}[/mm]
> entwickelt
> werden
>
> a.) Berechnen die die Orthogonalpolynome [mm]P_0,P_1,P_2[/mm]
> bezüglich des Skalarproduktes
> [mm](f,g)_w=I(f\cdot g)[/mm]
Die drei Polynome sollen doch konstant [mm] ($P_0$), [/mm] linear [mm] ($P_1$) [/mm] und quadratisch [mm] ($P_2$) [/mm] sein. Die kannst du aus dieser Definition des Skalarprodukts:
[mm] (f,g)_w= \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}f(x) g(x) dx} [/mm]
direkt bestimmen.
> b.) Berechnen sie die Stützstellen [mm]t_i[/mm] und Gewichte [mm]a_i[/mm] der
> Quadraturdormel [mm]Q_1,[/mm] die zu [mm]P_2[/mm] gehören.
> Ich hab echt keine Ahnung was ich hier machen muss, kann
> mir jemand dabei helfen?
Tipp: Gauss-Laguerre.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Mi 23.07.2008 | | Autor: | MacMath |
Danke für die Antwort, so ganz steige ich aber noch nicht durch.
> Die drei Polynome sollen doch konstant ([mm]P_0[/mm]), linear ([mm]P_1[/mm])
> und quadratisch ([mm]P_2[/mm]) sein. Die kannst du aus dieser
> Definition des Skalarprodukts:
>
> [mm](f,g)_w= \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}f(x) g(x) dx}[/mm]
>
> direkt bestimmen.
Ok wegen der Linearität des Integrals kann ich [mm] $P_0=1$ [/mm] setzen (ja?)
Für [mm] $P_1=ax+b$ [/mm] soll
[mm]0= \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}ax+b dx}[/mm] gelten, aber ich kam da bis jetzt nicht auf a und b, oder ist der Ansatz falsch?
> > b.) Berechnen sie die Stützstellen [mm]t_i[/mm] und Gewichte [mm]a_i[/mm] der
> > Quadraturdormel [mm]Q_1,[/mm] die zu [mm]P_2[/mm] gehören.
> > Ich hab echt keine Ahnung was ich hier machen muss,
> kann
> > mir jemand dabei helfen?
>
> Tipp: Gauss-Laguerre.
Werd ich nachsehen sobald ich ein bisschen weiter die a gerallt hab, danke schon mal :)
> Viele Grüße
ebenfalls,
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Blech |
> Ok wegen der Linearität des Integrals kann ich [mm]P_0=1[/mm] setzen
> (ja?)
> Für [mm]P_1=ax+b[/mm] soll
> [mm]0= \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}ax+b dx}[/mm] gelten, aber ich
Das muß
[mm]0= \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}(ax+b)\ dx}=a\int_0^\infty xe^{-x}\ dx+b\int_0^\infty e^{-x}\ dx[/mm]
sein.
[mm] $\int_0^\infty x^{n}e^{-x}\ dx=\Gamma(n+1)=n!$
[/mm]
> kam da bis jetzt nicht auf a und b, oder ist der Ansatz
Du hast auch noch die Bedingung
[mm] $\sqrt{\langle P_1,P_1\rangle}=1$
[/mm]
da die Polynome orthogonal sein sollen. Also muß ihre Länge bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm 1 sein.
Mit anderen Worten:
[mm] $\Leftrightarrow \int_0^\infty (ax+b)^2e^{-x}\ [/mm] dx =1 $
Beide zusammen legen die zwei Konstanten fest.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mi 23.07.2008 | | Autor: | MacMath |
Wäre es nicht orthonormal mit der Zusatzbedingung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mi 23.07.2008 | | Autor: | Blech |
Wenn ihr es ohne die Normierung habt, dann sind die Teile einfach nicht eindeutig, such Dir einfach einen beliebigen Skalierungsfaktor für jedes.
Ich kenne es so, daß die Normierung gefordert wird (analog zu einer Orthogonalmatrix, da kommt ja auch die Einheitsmatrix raus und nicht eine andere Diagonalmatrix), aber ich sehe auch wie man analog zu Vektoren einen Unterschied sehen könnte.
Ob es wirklich sinnvoll ist, ohne Not nicht zu normieren, hab ich mir nicht überlegt. =)
ciao
Stefan
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