Gauß-Fehlerintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Di 13.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
| Aufgabe | Sei I := [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x^2}dx} [/mm] das Gauß-Fehlerintegral. Zeige für n >= 1:
a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-nx^2}dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}_{\wurzel(n)} [/mm] *I
[mm] b)\integral_{0}^{1}{(1-x^2)^n dx} \le \integral_{0}^{1}{e^{-nx^2}dx} \le \integral_{0}^{\infty}{e^{-nx^2}dx} \le \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{(1+x^2)^n}}dx
[/mm]
c) Sei [mm] w_n [/mm] die Wallissche Folge. Für alle n >= 2:
[mm] \bruch{n}{2n+1} *w_n \le I^2 \le \bruch{n}{2n-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{w_{n-1}}* \bruch{\pi^2}{4} [/mm] |
Hallo,
die a) habe ich schon mit Substitution lösen können
die b) jedoch macht mir noch was zu schaffen
zuerst betrachte ich mal die erste ungleichung:
da 1+x [mm] \le e^x:
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{(1-x^2)^n dx} \le \integral_{0}^{1}{e^{-x^2}^ndx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{e^{-nx^2}dx}
[/mm]
funktioniert schon mal
aber dann die zweite ungleichung:
ich hatte mir überlegt zu zeigen dass [mm] \integral_{1}^{\infty}{e^{-nx^2}dx} [/mm] >0 ist
aber das ist ja gleich: [mm] [\bruch{1}{-2nx}*e^{-nx^2}]_1^\infty [/mm]
aber das in der Klammer ist <0 also nicht so offensichtlich.
deswegen wollte ich zeigen dass
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty}(\bruch{1}{-2nm}*e^{-nm^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n}*e^{-n}) [/mm] >0 ist
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty}(\bruch{1}{-2nm}*e^{-nm^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n}*e^{-n}) [/mm]
= [mm] \limes_{m\rightarrow\infty}(\bruch{e^{-n}}{-2n}*(\bruch{1}{m}*e^{m^2}+1)
[/mm]
>= [mm] \limes_{m\rightarrow\infty}(\bruch{e^{-n}}{-2n}*(\bruch{1}{m}*(1+m^2)+1)
[/mm]
= [mm] \limes_{m\rightarrow\infty}(\bruch{e^{-n}}{-2n}*(\bruch{1}{m}+1+m)
[/mm]
[mm] =\bruch{e^{-n}}{-2n}*(\limes_{m\rightarrow\infty} (\bruch{1}{m}+1+m)
[/mm]
Nun geht der Limes gegen unendlich, aber [mm] \bruch{e^{-n}}{-2n} [/mm] ist doch negativ.. also wäre der gesamte term kleiner 0, aber ich will ja das Gegenteil zeigen!
Hab ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Habt ihr vielleicht einen Tipp, wie man es besser machen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> ich hatte mir überlegt zu zeigen dass
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{e^{-nx^2}dx}[/mm] >0 ist
> aber das ist ja gleich:
> [mm][\bruch{1}{-2nx}*e^{-nx^2}]_1^\infty[/mm]
[mm] e^{-nx^2} [/mm] besitzt soweit ich weiss keine Stammfunktion die man 'elementar' angeben kann, also als einen geschlossenen Ausdruck mit irgendwelchen anderen Funktionen.
[mm] \bruch{1}{-2nx}*e^{-nx^2} [/mm] leite das mal ab. Da kommt was total anderes raus, denn du hast anscheinend vergessen, dass du das x im Nenner auch noch ableiten musst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:42 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
ohje ohje danke XD hab ich echt vergessen..
aber wie kann ich denn dann die ungleichung zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> [mm] \integral_{0}^{1}{(1-x^2)^n dx} \le \integral_{0}^{1}{e^{-nx^2}dx}
[/mm]
Im Punkt 0 stimmen beide überein, aber dann fällt [mm] 1-x^2 [/mm] schneller ab - das kannst du zeigen, indem du die Ableitungen vergleichst.
> [mm] \integral_{0}^{1}{e^{-nx^2}dx} \le \integral_{0}^{\infty}{e^{-nx^2}dx}
[/mm]
[mm] exp(-nx^2) [/mm] ist überall positiv, also ist dieser Teil klar.
> [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-nx^2}dx} \le \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{(1+x^2)^n}}dx
[/mm]
Hier könntest du versuchen genauso wie bei der ersten Ungleichung zu argumentieren.. ist bloß etwas schwerer.
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