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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Do 18.11.2010 | | Autor: | lenzlein |
| Aufgabe | Ein Polynom f = [mm] a_{k} X_{k} [/mm] + [mm] a_{k-1} X^{k-1} [/mm] + ... + [mm] a_{1} [/mm] X + [mm] a_{0} [/mm] mit [mm] a_{0} [/mm] , ... , [mm] a_{k} \in \IQ [/mm] heißt ganzwertig , wenn f(z) [mm] \in \IZ [/mm] für alle z [mm] \in \IZ [/mm] gilt. Zeigen Sie:
(i) Für r [mm] \in \IN [/mm] ist das folgende Polynom ganzwertig
[mm] \vektor{X \\ r} [/mm] := [mm] \bruch{1}{r!} [/mm] X(X-1)...(X-r+1).
(ii) Jedes Polynom f n-ten Grades mit Koeffizienten in [mm] \IQ [/mm] lässt sich eindeutig in der Form
f = [mm] b_{0} [/mm] + [mm] b_{1} \vektor{X \\ 1} [/mm] + ... + [mm] b_{n} \vektor{X \\ n}
[/mm]
mit [mm] b_{0} [/mm] , ... , [mm] b_{n} \in \IQ [/mm] schreiben.
(iii) In (ii) ist f genau dann ganzwertig, wenn [mm] b_{0} [/mm] , ... , [mm] b_{n} \in \IZ [/mm] gilt. |
Puh das ist ja jetzt erstmal ziemlich viel text
mein problem ist: wir hatten dazu nichts, und zwar wirklich nichts in der vorlesung und ich habe keinen ansatz... habe auch nicht wirklich die aufgabe verstanden.
eigentlich bedeutet die (i) doch, dass ich die funktion als polynom darstellen könnte und die summanden dann ganzwertig sein müssen oder? aber wenn ja, wie mach ich das...ich hab ja nur faktoren und die alle auszumultiplizieren...und die (ii) und die (iii) sinddoch irgendwo identisch oder? und wie mach ich die...ich hab echt kein plan und es wär voll lieb wenn ihr mir auf die sprünge helfen könntet!
LG lenzlein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Fr 19.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ein Polynom f = [mm]a_{k} X_{k}[/mm] + [mm]a_{k-1} X^{k-1}[/mm] + ... + [mm]a_{1}[/mm]
> X + [mm]a_{0}[/mm] mit [mm]a_{0}[/mm] , ... , [mm]a_{k} \in \IQ[/mm] heißt ganzwertig
> , wenn f(z) [mm]\in \IZ[/mm] für alle z [mm]\in \IZ[/mm] gilt. Zeigen Sie:
> (i) Für r [mm]\in \IN[/mm] ist das folgende Polynom ganzwertig
> [mm]\vektor{X \\ r}[/mm] := [mm]\bruch{1}{r!}[/mm] X(X-1)...(X-r+1).
> (ii) Jedes Polynom f n-ten Grades mit Koeffizienten in [mm]\IQ[/mm]
> lässt sich eindeutig in der Form
> f = [mm]b_{0}[/mm] + [mm]b_{1} \vektor{X \\ 1}[/mm] + ... + [mm]b_{n} \vektor{X \\ n}[/mm]
>
> mit [mm]b_{0}[/mm] , ... , [mm]b_{n} \in \IQ[/mm] schreiben.
> (iii) In (ii) ist f genau dann ganzwertig, wenn [mm]b_{0}[/mm] ,
> ... , [mm]b_{n} \in \IZ[/mm] gilt.
> Puh das ist ja jetzt erstmal ziemlich viel text
>
> mein problem ist: wir hatten dazu nichts, und zwar wirklich
> nichts in der vorlesung und ich habe keinen ansatz... habe
> auch nicht wirklich die aufgabe verstanden.
Es ist allerings nicht schwer. Etwas lineare Algebra, etwas Induktion, etwas rechnen, und schon ist man am Ziel.
> eigentlich bedeutet die (i) doch, dass ich die funktion
> als polynom darstellen könnte und die summanden dann
> ganzwertig sein müssen oder?
Was meinst du mit Summanden?
> aber wenn ja, wie mach ich
> das...ich hab ja nur faktoren und die alle
> auszumultiplizieren...
Damit kommst du nicht weiter.
Du sollst zeigen: ist $z [mm] \in \IZ$, [/mm] so ist [mm] $\frac{z (z - 1) (z - 2) \cdots (z - r + 1)}{r!}$ [/mm] eine ganze Zahl.
Fuer $z [mm] \ge [/mm] r$ ist das doch ein Binomialkoeffizient. Und der ist bekanntlich ganzzahlig.
Fuer $0 [mm] \le [/mm] z < r$ ist das 0. Das ist auch einfach nachzurechnen.
Also musst du dir $z < 0$ anschauen. Beachte dazu folgenden Trick: $-x (-x - 1) (-x - 2) = [mm] (-1)^3 [/mm] x (x + 1) (x + 2) = [mm] (-1)^3 [/mm] (x' - 2) (x' - 1) x'$ mit $x' = x + 2$.
Bekommst du jetzt eine Idee?
>und die (ii) und die (iii) sinddoch
> irgendwo identisch oder?
Nein. Lies mal genau. Das eine mal ist von beliebigen Polynomen in [mm] $\IQ[x]$ [/mm] die Rede, das andere mal von ganzwertigen Polynomen!
> und wie mach ich die...ich hab
> echt kein plan und es wär voll lieb wenn ihr mir auf die
> sprünge helfen könntet!
Bei (ii): zeige, dass die Polynome [mm] $\binom{X}{0}, \dots, \binom{X}{n}$ [/mm] eine Basis des Untervektorraums [mm] $\IQ[X]_n [/mm] = [mm] \{ f \in \IQ[X] \mid \deg f \le n\}$ [/mm] ist.
Bei (iii): aus (i) folgt die eine Implikation. Die andere kannst du etwa per Induktion nach $n$ zeigen. Dazu spaeter mehr, wenn du den Rest geschafft hast.
LG Felix
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puh danke für deine große hilfe bei der (i)...hab das jetzt alles hinbekommen...die (ii) und (iii) kapier ich aber immer noch nich
> Bei (ii): zeige, dass die Polynome [mm]\binom{X}{0}, \dots, \binom{X}{n}[/mm]
> eine Basis des Untervektorraums [mm]\IQ[X]_n = \{ f \in \IQ[X] \mid \deg f \le n\}[/mm]
> ist.
> Bei (iii): aus (i) folgt die eine Implikation. Die andere
> kannst du etwa per Induktion nach [mm]n[/mm] zeigen. Dazu spaeter
> mehr, wenn du den Rest geschafft hast.
>
> LG Felix
>
Was bedeutet das? Die (ii) bedeutet doch ,dass ich zeigen soll das f diese Form annehmen kann, aber warum?
Und die (iii) da soll ich jetzt zeigen, wenn diese Funktion die obige Form annehmen kann, dann ist sie bei [mm] b_{0} [/mm] , ... , [mm] b_{n} \in \IZ [/mm] auch noch ganzwertig oder?
Aber wie beginne ich die (ii)?
Lg lenzlein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 19.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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