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| Aufgabe | fa(x)= [mm] x^4 [/mm] - [mm] \bruch{x^3}{a} [/mm] ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktionenschar.
a) Für welche a ist die Funktionenschar definiert?
b) Untersuche das Verhalten der Scharfunktionen für |x| [mm] \to \infty [/mm] und die Nullstellen in Abhängigkeit von a.
c) Bilde die ersten drei Ableitungen und stelle fest, ob lokale Extrempunkte und Wendepunkte existieren.
d) Gib die Gleichung der Ortskurve der Extrem- und der Wendepunkte an.
e) Diskutiere die Existenz gemeinsamer Punkte verschiedener Kurven der Schar.
g) Stelle, auch mit algebraischer Begründung fest, welche Beziehung zwischen den Graphen von fa und f-a besteht |
Guten mojen,
ich hab jetzt die einzelnen aufgaben bearbeitet und bitte um Korrektur bzw. Hinweise auf Aufgaben. Ich möchte diese Aufgabe nämlich morgen dem Kurs präsentieren.
a) a [mm] \not= [/mm] 0 , da man x durch 0 nicht teilen kann.
b) es gilt für kleiner null und größer null:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
da das vorzeichen positiv und der Exponent gerade ist
Nullstellen: x=0 V x=0 V x= [mm] \wurzel{a} [/mm] V x= - [mm] \wurzel{a}
[/mm]
Abhängigkeit:??? (bitte um hinweise, was genau gemeint sei)
c) Ableitungen: fa'(x)= [mm] 4x^3 [/mm] - [mm] \bruch{3x^2}{a}
[/mm]
fa''(x)=12x² - [mm] \bruch{6x}{a} [/mm]
fa'''(x)=24x - [mm] \bruch{6}{a}
[/mm]
Extrempunkte: x=0 V x=0 V [mm] x^2= \wurzel{\bruch{3}{a}}
[/mm]
bis hierhin mach ich noch eine pause und bitte um kontrolle, danach führe ich die nächsten Aufgaben vor
MfG
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Hallo Milan,
> fa(x)= [mm]x^4[/mm] - [mm]\bruch{x^3}{a}[/mm] ist die Gleichung einer
> ganzrationalen Funktionenschar.
> a) Für welche a ist die Funktionenschar definiert?
> b) Untersuche das Verhalten der Scharfunktionen für |x|
> [mm]\to \infty[/mm] und die Nullstellen in Abhängigkeit von a.
> c) Bilde die ersten drei Ableitungen und stelle fest, ob
> lokale Extrempunkte und Wendepunkte existieren.
> d) Gib die Gleichung der Ortskurve der Extrem- und der
> Wendepunkte an.
> e) Diskutiere die Existenz gemeinsamer Punkte
> verschiedener Kurven der Schar.
> g) Stelle, auch mit algebraischer Begründung fest, welche
> Beziehung zwischen den Graphen von fa und f-a besteht
> Guten mojen,
>
> ich hab jetzt die einzelnen aufgaben bearbeitet und bitte
> um Korrektur bzw. Hinweise auf Aufgaben. Ich möchte diese
> Aufgabe nämlich morgen dem Kurs präsentieren.
>
> a) a [mm]\not=[/mm] 0 , da man x durch 0 nicht teilen kann. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) es gilt für [mm] \red{a} [/mm] kleiner null und größer null:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]+\infty[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}[/mm] = [mm]+\infty[/mm]
>
> da das vorzeichen positiv und der Exponent gerade ist
>
> Nullstellen: x=0 V x=0 V x= [mm]\wurzel{a}[/mm] V x= - [mm]\wurzel{a}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wie kommst du denn auf diese NSTen?
Es ist doch [mm] $f_a(x)=x^4-\frac{x^3}{a}=\frac{ax^4-x^3}{a}=0\gdw x^3\cdot{}(ax-1)=0$ [/mm] ...
>
> Abhängigkeit:??? (bitte um hinweise, was genau gemeint
> sei)
Naja, die eine NST ist ja x=0 und das sogar dreifach, die andere ist je nach a verschieden, wenn du's nochmal richtig nachrechnest, ergibt das (ähnlich wie bei deiner falschen NST) für x einen Ausdruck, der von a abhängt. Du bekommst also neben der dreifachen NST, die für jedes a dieselbe ist (nämlich x=0) noch eine weitere, die je nach a verschieden ist. Für a=4 ist die NST eine andere als für a=-1 (zB) 
>
> c) Ableitungen: fa'(x)= [mm]4x^3[/mm] - [mm]\bruch{3x^2}{a}[/mm]
> fa''(x)=12x² - [mm]\bruch{6x}{a}[/mm]
> fa'''(x)=24x - [mm]\bruch{6}{a}[/mm]
>
> Extrempunkte: x=0 V x=0 V [mm]x^2= \wurzel{\bruch{3}{a}}[/mm]
sagen wir besser erst einmal "Kandidaten für Extremstellen" sind x=0 (2fach)
Der andere Kandidat stimmt aber nicht, rechne nochmal nach (bzw. mal hier vor, wie du darauf gekommen bist)
Ob die Kandidaten dann auch wirklich Extrema sind, musst du aber noch zeigen (oder zumindest hier für die Kontrolle begründen)
>
> bis hierhin mach ich noch eine pause und bitte um
> kontrolle, danach führe ich die nächsten Aufgaben vor
>
> MfG
>
LG
schachuzipus
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Dann wären die nullstelle x=0 v x= [mm] \bruch{1}{a} [/mm] ??
bei der berechnung der Extremstelle ging ich so vor
4x²- [mm] \bruch{3}{a} [/mm] = 0 [mm] \gdw x^2= \bruch{3}{4a}
[/mm]
[mm] \gdw x=\wurzel{\bruch{3}{4a}}
[/mm]
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wenn ich es falshc ausgeklammert hab müsste es dann lediglich ohne wurzel geschrieben werden: x= [mm] \bruch{3}{4a} [/mm]
wenns nicht stimmt korriegiert mich mal bitte und sagt vielleicht die lösung dann könnt ichs viel besser vergleichen
Bei den Wendestellen hakt es jetzt bei mir weil ich eine menge zweifel hab ob ich es überhaupt richtig mache. Ich fände es super wenn Sie es anschreiben könnten.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Do 29.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo expositiv!
So stimmt der Wert nun!
Für die Wendestellen nun die Nullstellen der 2. Ableitung ermitteln. Das geht fast genauso wie eben ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:12 Do 29.05.2008 | | Autor: | expositiv |
hab dann bei den Wendenpunkte: x=0 v x= [mm] \bruch{6}{12a}
[/mm]
könnt ihr bitte eure Ergebnisse von der Prüfung und dem einsetzen ins Funktionswert angeben, damit ich sie mit meinen vergleichen kann ob sie korrekt sind oder nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Do 29.05.2008 | | Autor: | chrisno |
> hab dann bei den Wendenpunkte: x=0 v x= [mm]\bruch{6}{12a}[/mm]
>
Das sind die Kandidaten für Wendepunkte. Nun musst Du noch zeigen, dass es wirklich welche sind. Das geht, indem Du feststellst, dass die dritte Ableitung nicht Null ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo expositiv!
Zum einen möchte ich Dich bitten, eine beantwortete Frage nicht unkommentiert wieder auf "unbeantwortet" zu stellen.
Zudem läuft es hier doch andersrum ... Du lieferst Deine Ergebnisse, und wir kontrollieren das dann gerne.
Gruß
Loddar
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
