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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 So 11.04.2010 | | Autor: | RegelDas |
| Aufgabe | Dem vom Funktionsgraphen von f und der x-Achse im 1. Quadranten eingeschlossenen Flächenstück werde das Dreieck OBC mit O(0/0),B(u/0) und [mm] C(u/f(u)),0\le [/mm] u [mm] \le [/mm] 3, eingeschrieben.
(1) Bestimmen sie einen Term A(u) für den Flächeninhalt des Dreiecks OBC in Abhängigkeit von u.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C(u/f(u)), so dass dieser Flächeninhalt maximal wird.
(Zur Kontrolle: A(u) = [mm] 1/2u^4-3u^3+9/2u2)
[/mm]
(2) Begründen Sie,warum das lokale Extremum auch das absolute Extremum ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Abend,
Die Aufgabe bezieht sich auf ein andere Aufgabe, das Flächenstück befindet sich [mm] zwischenf(x)x^3-6x^2+9x [/mm] und [mm] h(x)=-2x^2+6x.
[/mm]
Mhh ich hab mir gedacht das ich wahrscheinlich die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks brauche also A=1/2 gh.
Aber wie ich das in Abhängikeit zu u aufschreiben soll weiß ich nicht.
Zur bestimmung des Maximalen Flächeninhalts werd ich diese Formel brauchen und die Extrempunkte einsetzten müssen denk ich.
Ich bitte um einen Denkanstoß denn mir will grade nichts mehr einfallen, und ich muss die Aufgabe Morgen komplett abgeben.
Gruß Jonas
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Hallo!
> Ich bitte um einen Denkanstoß denn mir will grade nichts
> mehr einfallen, und ich muss die Aufgabe Morgen komplett
> abgeben.
Einer von der schnellen Sorte 
> Dem vom Funktionsgraphen von f und der x-Achse im 1.
> Quadranten eingeschlossenen Flächenstück werde das
> Dreieck OBC mit O(0/0),B(u/0) und [mm]C(u/f(u)),0\le[/mm] u [mm]\le[/mm] 3,
> eingeschrieben.
> (1) Bestimmen sie einen Term A(u) für den Flächeninhalt
> des Dreiecks OBC in Abhängigkeit von u.
> Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C(u/f(u)), so
> dass dieser Flächeninhalt maximal wird.
>
> (Zur Kontrolle: A(u) = [mm]1/2u^4-3u^3+9/2u2)[/mm]
>
> (2) Begründen Sie,warum das lokale Extremum auch das
> absolute Extremum ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Die Aufgabe bezieht sich auf ein andere Aufgabe, das
> Flächenstück befindet sich [mm]zwischenf(x)x^3-6x^2+9x[/mm] und
> [mm]h(x)=-2x^2+6x.[/mm]
> Mhh ich hab mir gedacht das ich wahrscheinlich die Formel
> für den Flächeninhalt eines Dreiecks brauche also A=1/2
> gh.
> Aber wie ich das in Abhängikeit zu u aufschreiben soll
> weiß ich nicht.
Also es geht jetzt ja in der Aufgabenstellung nur um $f(x) = [mm] x^3-6x^2+9x$.
[/mm]
Du hast schon die richtige Formel für die Berechung des Flächeninhalts hingeschrieben.
Als Grundseite g wählen wir die x-Achse; g wird begrenzt durch die beiden Punkte [mm] $O(\red{0}|0)$ [/mm] und [mm] $B(\blue{u}|0)$.
[/mm]
Das heißt, es gilt $g = [mm] \blue{u} [/mm] - [mm] \red{0} [/mm] = u$.
Die Höhe h des Dreiecks ist dann der Abstand vom Punkt [mm] C(u|\red{f(u)}) [/mm] zur [mm] \blue{x-Achse}.
[/mm]
Das heißt, es gilt $h = [mm] \red{f(u)} [/mm] - [mm] \blue{0} [/mm] = f(u)$.
Also lautet der Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von u:
$A(u) = [mm] \frac{1}{2}*u*f(u)$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 So 11.04.2010 | | Autor: | RegelDas |
Hallo,
naja ich hab ja immerhin fast noch 12 Stunden um die Aufgabe zu Ende zu bringen, Schlafen wird schließlich überbewertet.
Ok und sorry aber ich muss jetzt nochmal nachfragen weil ich immernoch keine rechte Peilung hab. Inwiefern hilft mir die Formel 1/2 u f(u) weiter?
Ich meine ich hab ja nicht die Formel für f(u), und so allgemein kann ich da ja schließlich noch nichts einsetzten. Sorry wenn die Frage aus dem vorher geschriebenen ersichtlich ist aber ich hab grad ein Brett vorm Kopf.
lG Jonas
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Hallo!
> naja ich hab ja immerhin fast noch 12 Stunden um die
> Aufgabe zu Ende zu bringen, Schlafen wird schließlich
> überbewertet.
> Ok und sorry aber ich muss jetzt nochmal nachfragen weil
> ich immernoch keine rechte Peilung hab. Inwiefern hilft mir
> die Formel 1/2 u f(u) weiter?
Du hast doch die Formel für die Funktion f(x) in der Aufgabenstellung gegeben, oder?
Die musst du für f(u) einsetzen. Anstelle von x also einfach u!
Vermutlich ist es diese: $ f(x) = [mm] x^3-6x^2+9x [/mm] $.
Also insgesamt:
$A(u) = [mm] \frac{1}{2}*u*f(u) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}*u*(u^3-6u^2+9u)$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 So 11.04.2010 | | Autor: | RegelDas |
Ahh ok,
war ja gar nicht mehr so viel zu machen.
So nach 4 Tassen Kaffee kann es jetzt weitergehn.
Um den maximalen Flächeninhalt zu ermitteln wird man von f(u) einen Hochpunkt ermitteln müssen oder?
Jonas
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Hallo!
> Ahh ok,
> war ja gar nicht mehr so viel zu machen.
> So nach 4 Tassen Kaffee kann es jetzt weitergehn.
> Um den maximalen Flächeninhalt zu ermitteln wird man von
> f(u) einen Hochpunkt ermitteln müssen oder?
Nicht von f(u), sondern von A(u) !
Die Funktion A(u) gibt doch den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von u an. Wir interessieren uns für ein Maximum des Flächeninhalts, also für ein Maximum von A(u).
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 So 11.04.2010 | | Autor: | RegelDas |
So hab das mal gemacht,
bei mir kommt 1,5 als Hochpunkt raus, ist das korrekt?
Jonas
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Hallo,
> So hab das mal gemacht,
> bei mir kommt 1,5 als Hochpunkt raus, ist das korrekt?
Genau.
Es gibt drei lokale Extrema, nämlich 0, 1.5 und 3.
In Frage kommt nur 1.5.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 So 11.04.2010 | | Autor: | RegelDas |
Hi Steffan,
vielen Dank für deine Hilfe ich glaub ohne deine Hilfe hätte ich Morgen ganz schön alt ausgesehen.
Aber einmal muss ich die Hilfe des Meisters noch in Anspruch nehmen,
die Begründung dass das lokale Extremum auch das absolute ist baut darauf auf das Der Graph zwischen der Stelle 0 und 3 nur einen Extrempunkt hat und nicht ins Unendliche geht oder?
Grüße Jonas
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Hallo!
> die Begründung dass das lokale Extremum auch das absolute
> ist baut darauf auf das Der Graph zwischen der Stelle 0 und
> 3 nur einen Extrempunkt hat und nicht ins Unendliche geht
> oder?
Klingt schon ganz gut.
Argumentation 1:
1. Der Punkt P(1.5|A(1.5)) = [mm] P(1.5|\red{2.53125}) [/mm] ist das einzige lokale Maximum der Funktion A(u) im Intervall [0,3].
2. An den Intervallrändern bei x=0 und x=3 liegen lokale Minima vor, es gilt A(0) = [mm] \blue{0} [/mm] = A(3).
3. Es befinden sich außer diesen drei Extrempunkten keine weiteren Extrempunkte im Intervall [0,3].
3. Weil A(u) stetig ist (man kann den Graphen mit einer Linie malen), befinden sich also alle übrigen Funktionswerte im Intervall [0,3] zwischen [mm] \blue{0} [/mm] und [mm] \red{2.53125}.
[/mm]
4. Damit ist [mm] P(1.5|\red{2.53125}) [/mm] auch das absolute Maximum im Intervall [0,3].
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 So 11.04.2010 | | Autor: | RegelDas |
Vielen Dank nochmal,
jetzt kann ich evtl doch noch ein paar Stunden schlafen, naja wenn das Koffein vllt später nachlässt.
beste Grüße Jonas
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